Kareköklü İfadelerde İşlemler ve LGS Taktikleri

Tahmini süre: 18 dk

Günlük hayattan giriş

Alanı 50 m² olan kare şeklinde bir bahçenin etrafını çitle çevirmek istediğini düşün. Karenin alanı kenar × kenar olduğuna göre, kenar uzunluğu karesi 50 olan sayıdır, yani √50 metredir. Ama 50 bir tam kare değil: 7² = 49, 8² = 64. Bu yüzden kenar 7 ile 8 metre arasında bir değerdir. Marangozlar, fayans döşeyenler ve mimarlar böyle ölçülerle sık sık karşılaşır. İşte bu derste √50 gibi ifadeleri daha sade yazmayı (√50 = 5√2) ve bunlarla hesap yapmayı öğreneceğiz.

Bir başka örnek: İki kare şeklinde halın alanları 18 m² ve 8 m² olsun. Kenarları √18 m ve √8 m olur. Bu iki halıyı yan yana koyduğunda toplam uzunluk ne kadar olur? √18 + √8 = √26 demek çok cazip görünür ama yanlıştır. Doğrusu 3√2 + 2√2 = 5√2 metredir. Bunun nedenini birlikte keşfedeceğiz.

Bu ders kursumuzun son dersi. Tam sayılar, üslü ifadeler ve kareköklü ifadelerle ilgili öğrendiklerimizi birleştirip LGS'de karşına çıkabilecek soru tiplerini, zamanı nasıl kullanacağını ve yanlış şıkları nasıl eleyebileceğini de konuşacağız.

Tanım ve kural

1) Kareköklü ifadeyi a√b biçiminde yazmak

Kural: Kök içindeki sayıyı, biri tam kare olan iki çarpana ayır. Tam kare olan çarpan kökün dışına kökü alınarak çıkar.

Neden? √(16 · 3) sayısının karesini alalım: önce 4√3 sayısının karesine bakalım. (4√3)² = 4² · (√3)² = 16 · 3 = 48. Karesi 48 olan pozitif sayı √48 olduğuna göre √48 = 4√3 olmak zorundadır.

Örnek: √48 = √(16 · 3) = √16 · √3 = 4√3

İpucu: Sayıyı ayırırken en büyük tam kare çarpanı seç. √48 = √(4 · 12) = 2√12 yazarsan iş bitmez; √12 = 2√3 olduğundan tekrar sadeleştirmen gerekir.

2) Katsayıyı kök içine almak

Kural: Kökün dışındaki pozitif katsayının karesi alınarak kök içindeki sayıyla çarpılır: a√b = √(a² · b).

Neden? Dışarı çıkarırken kök alıyorduk; içeri alırken tersini, yani kare almayı yaparız.

Örnek: 3√2 = √(9 · 2) = √18

Bu yöntem, kareköklü sayıları sıralarken çok işe yarar: Hepsini tek kök içine alırsın, kök içi büyük olan sayı daha büyüktür.

3) Toplama ve çıkarma

Kural: Yalnızca kök içleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Katsayılar toplanır, kök aynen yazılır.

Neden? √3 bir birim gibi düşünülebilir: 2 elma + 5 elma = 7 elma olduğu gibi, 2√3 + 5√3 = 7√3 olur. Ama 2 elma + 3 armut toplamını tek bir meyve adıyla yazamayız; √2 + √3 de √5 değildir. Kontrol edelim: √2 ≈ 1,41 ve √3 ≈ 1,73; toplamları yaklaşık 3,14 olur. √5 ise yaklaşık 2,24'tür. Eşit değiller.

Kök içleri farklıysa önce a√b biçimine getirmeyi dene; çoğu zaman aynı köke ulaşırsın.

4) Çarpma ve bölme

Kural: Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır (ya da bölünür).

a√b · c√d = (a · c)√(b · d)

a√b ÷ c√d = (a ÷ c)√(b ÷ d)

Neden? (√2 · √8)² = (√2)² · (√8)² = 2 · 8 = 16, yani √2 · √8 = 4 = √16. Kareyi alınca kökler kaybolur ve çarpma kuralı ortaya çıkar.

5) Ondalık ifadelerin karekökü

Kural: Karesi o ondalık sayıyı veren sayıyı bul. Virgülden sonraki basamak sayısı çift olmalıdır; kökün virgülden sonraki basamak sayısı bunun yarısıdır.

Örnek: √0,16 = 0,4 çünkü 0,4 · 0,4 = 0,16. Virgülden sonra 2 basamak var, sonuçta 1 basamak olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

√75 ifadesini a√b biçiminde yazınız.

Çözüm:

75'in en büyük tam kare çarpanını ararız: 75 = 25 · 3.

√75 = √25 · √3

√25 = 5 olduğundan sonuç: 5√3

Örnek 2

4√2 ve 3√3 sayılarından hangisi daha büyüktür?

Çözüm:

Katsayıları kök içine alalım: 4√2 = √(16 · 2) = √32

3√3 = √(9 · 3) = √27

32 > 27 olduğundan √32 > √27.

Sonuç: 4√2 daha büyüktür.

Örnek 3

√18 + √50 − √8 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

√18 = √(9 · 2) = 3√2

√50 = √(25 · 2) = 5√2

√8 = √(4 · 2) = 2√2

Kök içleri aynı oldu: 3√2 + 5√2 − 2√2 = (3 + 5 − 2)√2

Sonuç: 6√2

Örnek 4

3√6 · 2√15 işleminin sonucunu en sade biçimde yazınız.

Çözüm:

Katsayılar: 3 · 2 = 6

Kök içleri: 6 · 15 = 90, yani 6√90

90 = 9 · 10 olduğundan √90 = 3√10

6 · 3√10 = 18√10

Sonuç: 18√10

Örnek 5

(√80 − √20) ÷ √5 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

√80 = √(16 · 5) = 4√5

√20 = √(4 · 5) = 2√5

Parantez içi: 4√5 − 2√5 = 2√5

2√5 ÷ √5 = 2 · (√5 ÷ √5) = 2 · 1

Sonuç: 2

Örnek 6

√0,49 + √1,21 işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

0,7 · 0,7 = 0,49 olduğundan √0,49 = 0,7

1,1 · 1,1 = 1,21 olduğundan √1,21 = 1,1

0,7 + 1,1 = 1,8

Sonuç: 1,8

Örnek 7 (LGS tarzı)

Kenar uzunlukları √12 cm ve √27 cm olan dikdörtgenin alanını ve çevresini bulunuz.

Çözüm:

Alan = √12 · √27 = √(12 · 27) = √324

18 · 18 = 324 olduğundan alan 18 cm² olur.

Çevre için önce sadeleştirelim: √12 = √(4 · 3) = 2√3 ve √27 = √(9 · 3) = 3√3

Çevre = 2 · (2√3 + 3√3) = 2 · 5√3

Sonuç: çevre 10√3 cm

Örnek 8 (LGS tarzı)

Alanı 72 m² olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresi hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Çözüm:

Kenar = √72 = √(36 · 2) = 6√2 m

Çevre = 4 · 6√2 = 24√2 m

Katsayıyı içeri alalım: 24√2 = √(576 · 2) = √1152

33² = 1089 ve 34² = 1156. 1089 < 1152 < 1156

Sonuç: çevre 33 ile 34 metre arasındadır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: √9 + √16 = √25 = 5. Doğrusu: √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Kök içleri toplanmaz.
• Yanlış: √2 + √3 = √5. Doğrusu: Kök içleri farklı ve sadeleşmiyorsa ifade √2 + √3 olarak kalır.
• Yanlış: 2√3 = √6. Doğrusu: Katsayı içeri alınırken karesi alınır: 2√3 = √(4 · 3) = √12.
• Yanlış: √0,9 = 0,3. Doğrusu: 0,3 · 0,3 = 0,09 olduğundan √0,09 = 0,3 olur; √0,9 ise 0,3 değildir.
• Yanlış: 3√5 · 2√5 = 6√5. Doğrusu: √5 · √5 = 5 olduğundan 3√5 · 2√5 = 6 · 5 = 30.

LGS taktikleri

Soru tipleri

• Doğrudan işlem: Sadeleştirme, toplama, çarpma, bölme sonucu sorulur.
• Sıralama ve tahmin: Kareköklü bir sayının hangi iki tam sayı arasında olduğu ya da sayıların sıralaması sorulur.
• Geometri bağlamı: Kare, dikdörtgen gibi şekillerin alan ve çevresi kareköklü ifadelerle verilir.
• Tablo, grafik ve yeni nesil metin: Uzun bir metin içindeki bilgileri kullanarak işlem kurman beklenir.

Süre yönetimi

• Soruyu okurken verilenleri ve isteneni kısa not al; uzun metinde kaybolma.
• Bir soruda takılırsan işaretleyip geç, sonra dön. Tek soruya takılıp kolay soruları kaçırmak en büyük kayıptır.
• LGS'de 3 yanlış 1 doğruyu götürür; hiçbir şık elenemiyorsa rastgele işaretleme yapmak yerine boş bırakmayı düşün, en az iki şık elenebiliyorsa denemek daha mantıklıdır.

Şık eleme örneği

Soru: √48 + √27 işleminin sonucu hangisidir? A) √75 B) 7√3 C) 5√3 D) 12√3

Taktik 1 (tuzak şıkları tanı): A şıkkı kök içlerini toplamanın tuzağıdır, elenir. C şıkkı √75 = 5√3 ile aynı değerdir, o da elenir.

Taktik 2 (yaklaşık değer): √48 yaklaşık 6,9 (7² = 49), √27 yaklaşık 5,2 (5² = 25). Toplam yaklaşık 12,1. √3 ≈ 1,73 alırsak 7√3 ≈ 12,1 ve 12√3 ≈ 20,8 olur. D elenir.

Kontrol: √48 = 4√3, √27 = 3√3, toplam 7√3. Cevap: B

Alıştırma

1) √28 ifadesini a√b biçiminde yazınız.

2) 5√3 ifadesini tek kök içinde yazınız.

3) √20 + √45 = ?

4) √98 − √32 = ?

5) √3 · √12 = ?

6) 4√6 · 3√2 = ?

7) √150 ÷ √6 = ?

8) √0,36 + √0,04 = ?

9) √1,69 − √0,81 = ?

10) 3√5 sayısı hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Cevap Anahtarı

1) 2√7 — 28 = 4 · 7 olduğundan √4 = 2 dışarı çıkar.

2) √75 — 5'in karesi 25, 25 · 3 = 75.

3) 5√5 — √20 = 2√5 ve √45 = 3√5; 2√5 + 3√5 = 5√5.

4) 3√2 — √98 = 7√2 ve √32 = 4√2; 7√2 − 4√2 = 3√2.

5) 6 — √(3 · 12) = √36 = 6.

6) 24√3 — 12√12 bulunur, √12 = 2√3 olduğundan 12 · 2√3 = 24√3.

7) 5 — √(150 ÷ 6) = √25 = 5.

8) 0,8 — √0,36 = 0,6 ve √0,04 = 0,2; toplamları 0,8.

9) 0,4 — √1,69 = 1,3 ve √0,81 = 0,9; farkları 0,4.

10) 6 ile 7 — 3√5 = √45 ve 36 < 45 < 49 olduğundan 6 < √45 < 7.

Dersin özeti

• Kök içindeki en büyük tam kare çarpan dışarı çıkarılır: √48 = 4√3. Katsayı içeri alınırken karesi alınır: 3√2 = √18.
• Toplama ve çıkarma yalnızca kök içleri aynı olan ifadelerde yapılır; kök içleri asla toplanmaz: √2 + √3 ≠ √5.
• Çarpma ve bölmede katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında işleme girer: √a · √b = √(a · b).
• Ondalık sayının karekökünü bulmak için karesi o sayıyı veren ondalık sayıyı ararız: √0,49 = 0,7.
• LGS'de tuzak şıkları tanı, yaklaşık değerle kontrol et, takıldığın soruyu işaretleyip geç.

Kurs kapanışı

Tebrikler, kursu tamamladın! Tam sayılarla işlem yapmayı, üslü ifadelerin kurallarını ve kareköklü ifadelerle çalışmayı öğrendin. Bu konuların hepsi aynı fikre dayanıyor: Bir kuralı ezberlemek yerine neden öyle olduğunu anlarsan, unuttuğunda kendin yeniden bulabilirsin. Örneğin √a · √b = √(a · b) kuralını hatırlayamazsan her iki tarafın karesini alıp kontrol edebilirsin. Düzenli tekrar ve bol soru çözümüyle bu konular senin için LGS'de güçlü bir puan kaynağı olacak.