Sıfır ve Negatif Kuvvetler: Neden a⁰ = 1?

Tahmini süre: 13 dk

Önceki dersten köprü: Bir önceki derste üslü ifadenin aslında tekrarlı çarpma olduğunu gördük. Örneğin 2⁴, 2’nin kendisiyle 4 kez çarpılmasıdır: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Üs bize tabanın kaç kez çarpıldığını söylüyordu. Peki üs 0 olursa ne olur? Bir sayıyı sıfır kez çarpmak ne demek? Üs −2 olursa, bir sayıyı eksi iki kez çarpmak mümkün mü? Bu derste bu soruların cevabını ezberleyerek değil, bir örüntüyü takip ederek bulacağız.

Günlük hayattan giriş

Elinizde büyük bir kâğıt olduğunu düşünün. Kâğıdı ortadan ikiye kesip bir parçasını alıyorsunuz, sonra o parçayı yine ikiye kesip bir parçasını alıyorsunuz. Her kesişte elinizdeki parça bir öncekinin yarısı kadar oluyor. Başta kâğıdın tamamı yani 1 bütün vardı; bir kesişten sonra 1/2, iki kesişten sonra 1/4, üç kesişten sonra 1/8 kaldı. Burada her adımda 2’ye bölüyoruz. Çarpmayı ileri doğru tekrarlamak kuvvetleri büyütüyorsa, bölmeyi tekrarlamak da kuvvetleri küçültür. İşte negatif kuvvetler tam olarak bu küçülmeyi anlatır.

Ölçü birimlerinde de aynı fikirle karşılaşırız. 1 metre 10 desimetredir, 100 santimetredir, 1000 milimetredir. Tersinden bakarsak 1 milimetre, metrenin binde biridir: 1 mm = 0,001 m. Bilim insanları çok küçük uzunlukları, örneğin bir hücrenin ya da bir tozun boyunu anlatırken 0,001, 0,0001 gibi sıfırı bol sayıları sürekli yazmak yerine 10’un negatif kuvvetlerini kullanır. Böylece hem yazmak kolaylaşır hem de sıfır saymakta hata yapılmaz.

Kısacası sıfır ve negatif kuvvetler havadan uydurulmuş kurallar değildir. Kuvvetler tablosunda aşağı doğru inmeye devam ettiğimizde kendiliğinden ortaya çıkarlar. Şimdi bu inişi adım adım yapalım.

Tanım ve kural

Örüntüyü inceleyelim. 2’nin kuvvetlerini büyükten küçüğe yazalım:

2⁴ = 16

2³ = 8

2² = 4

2¹ = 2

Üs 1 azaldıkça sonuç ne oluyor? 16’dan 8’e, 8’den 4’e, 4’ten 2’ye iniyoruz. Yani üs 1 azalınca sonuç 2’ye bölünüyor. Bu kuralı bozmadan devam edersek:

2⁰ = 2 ÷ 2 = 1

2⁻¹ = 1 ÷ 2 = 1/2

2⁻² = 1/2 ÷ 2 = 1/4

2⁻³ = 1/4 ÷ 2 = 1/8

Aynı şeyi 3’ün kuvvetleriyle yaparsak her adımda 3’e böleriz: 3² = 9, 3¹ = 3, 3⁰ = 1, 3⁻¹ = 1/3, 3⁻² = 1/9. Taban ne olursa olsun, üs 1’den 0’a inerken tabanın kendisini yine tabana bölüyoruz. Bir sayıyı kendisine bölmek her zaman 1 verir. Bu yüzden sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.

İkinci bir açıklama: sadeleştirme. 2³’ü yine 2³’e bölelim: (2 × 2 × 2) ÷ (2 × 2 × 2) = 1. Payda ve paydadaki bütün 2’ler sadeleşti, geriye hiç 2 kalmadı. Hiç 2 kalmadığı için bunu 2⁰ gibi düşünebiliriz ve sonuç 1’dir. Şimdi 2³’ü 2⁵’e bölelim: (2 × 2 × 2) ÷ (2 × 2 × 2 × 2 × 2). Üç tane 2 sadeleşir, paydada iki tane 2 kalır: sonuç 1/(2 × 2) = 1/4 olur. Paydada fazladan kalan bu iki 2, üssün −2 olmasının anlamıdır: 2⁻² = 1/4.

Neden taban 0 olamaz? Örüntüde her adımda tabana bölüyoruz. Taban 0 olsaydı 0’a bölmemiz gerekirdi, sıfıra bölme ise tanımsızdır. Bu nedenle kurallar a ≠ 0 için geçerlidir.

Negatif üs ne demek? Negatif üs, sayının eksi olacağı anlamına gelmez. Negatif üs, çarpmaya göre ters almak demektir. Bir sayının çarpmaya göre tersi, o sayıyla çarpıldığında 1 veren sayıdır. 5’in çarpmaya göre tersi 1/5’tir, çünkü 5 × 1/5 = 1. İşte 5⁻¹ = 1/5 olmasının sebebi budur. Benzer şekilde 5⁻² = 1/5² = 1/25 olur.

Kesirli tabanda negatif üs: 2/3 kesrinin çarpmaya göre tersi 3/2’dir, çünkü 2/3 × 3/2 = 1. Bu yüzden (2/3)⁻¹ = 3/2 olur. Kısacası kesir ters çevrilir, üsteki eksi işareti kalkar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 7⁰, (−5)⁰ ve −5⁰ ifadelerinin değerlerini bulunuz.

Çözüm:

7 sıfırdan farklı olduğu için 7⁰ = 1.

(−5)⁰ ifadesinde parantez olduğu için taban −5’tir. −5 ≠ 0 olduğundan (−5)⁰ = 1.

−5⁰ ifadesinde parantez yoktur; üs yalnızca 5’e aittir. Önce 5⁰ = 1 hesaplanır, sonra başındaki eksi eklenir: −5⁰ = −(5⁰) = −1.

Sonuç: 7⁰ = 1, (−5)⁰ = 1, −5⁰ = −1

Örnek 2: 2⁻³ ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm:

Negatif üs, çarpmaya göre ters demektir: 2⁻³ = 1/2³.

2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Öyleyse 2⁻³ = 1/8.

Sonuç: 2⁻³ = 1/8

Örnek 3: (−3)⁻² ve (−2)⁻³ ifadelerinin değerlerini bulunuz.

Çözüm:

(−3)⁻² = 1/(−3)².

(−3)² = (−3) × (−3) = 9, çünkü iki negatifin çarpımı pozitiftir.

Öyleyse (−3)⁻² = 1/9.

(−2)⁻³ = 1/(−2)³.

(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8.

Öyleyse (−2)⁻³ = 1/(−8) = −1/8.

Sonuç: (−3)⁻² = 1/9, (−2)⁻³ = −1/8

Dikkat: Sonucun işaretini negatif üs değil, tabanın işareti ve üssün tek-çift olması belirler.

Örnek 4: (2/3)⁻² ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm:

Negatif üs için kesri ters çeviririz: (2/3)⁻² = (3/2)².

(3/2)² = 3/2 × 3/2.

Paylar çarpılır: 3 × 3 = 9. Paydalar çarpılır: 2 × 2 = 4.

Sonuç: (2/3)⁻² = 9/4

Örnek 5: 10⁻³ sayısını ondalık gösterimle yazınız. Ayrıca 0,0001 sayısını 10’un kuvveti olarak yazınız.

Çözüm:

10⁻³ = 1/10³ = 1/1000.

1/1000, binde bir demektir ve ondalık gösterimi 0,001’dir. Virgülden sonra 3 basamak vardır.

0,0001 sayısında virgülden sonra 4 basamak vardır ve son basamak 1’dir. Bu, onbinde bir yani 1/10000 demektir.

10000 = 10⁴ olduğundan 1/10⁴ = 10⁻⁴.

Sonuç: 10⁻³ = 0,001 ve 0,0001 = 10⁻⁴

Örnek 6: 3⁻¹ + 2⁻¹ işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

3⁻¹ = 1/3 ve 2⁻¹ = 1/2.

1/3 + 1/2 toplamı için paydaları 6’da eşitleriz: 1/3 = 2/6 ve 1/2 = 3/6.

2/6 + 3/6 = 5/6.

Sonuç: 5/6

Uyarı: 3⁻¹ + 2⁻¹ ifadesini 5⁻¹ = 1/5 yazmak yanlıştır; önce her kuvvet ayrı ayrı hesaplanır.

Örnek 7: 4⁻¹ + 5⁰ − (1/2)⁻² işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

4⁻¹ = 1/4.

5⁰ = 1.

(1/2)⁻² = (2/1)² = 2² = 4.

İşlem: 1/4 + 1 − 4.

1 − 4 = −3.

1/4 + (−3) = 1/4 − 12/4 = −11/4.

Sonuç: −11/4

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 2⁻³ = −8. Doğrusu: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Negatif üs sonucu eksi yapmaz, çarpmaya göre ters aldırır.
• Yanlış: 5⁰ = 0 ya da 5⁰ = 5. Doğrusu: 5⁰ = 1. Kuvvetler tablosunda 5¹ = 5’ten bir adım aşağı inince 5’e böleriz: 5 ÷ 5 = 1.
• Yanlış: −5⁰ = 1. Doğrusu: −5⁰ = −(5⁰) = −1. Parantez yoksa üs sadece sayıya aittir, eksi işaretine ait değildir. Parantezli yazılırsa (−5)⁰ = 1 olur.
• Yanlış: (2/5)⁻¹ = −2/5. Doğrusu: (2/5)⁻¹ = 5/2. Kesir ters çevrilir, işaret değişmez.
• Yanlış: 10⁻³ = 0,0001. Doğrusu: 10⁻³ = 0,001. Virgülden sonraki basamak sayısı üssün sayı değerine eşittir: 3 basamak.

LGS’de bu konu

Soru tipleri: LGS’de bu konu genellikle tek başına değil, başka bilgilerle birlikte gelir. Sık görülen tipler şunlardır: bir ifadenin değerini bulma, 0,001 gibi ondalık sayıları 10’un kuvveti olarak yazma, küçük ölçüleri (milimetre, gram gibi) 10’un negatif kuvvetleriyle ifade etme ve verilen sayıları büyükten küçüğe sıralama.

Süre: Sayısal bölümde matematik ve fen soruları birlikte çözülür ve soru başına ortalama 2 dakika kadar zaman düşer. Bu konudaki doğrudan hesap soruları çoğunlukla bundan çok daha kısa sürede çözülebilir; kazandığınız zamanı uzun sorulara ayırın.

Şık eleme taktikleri:

• Taban pozitifse, negatif üslü ifadenin sonucu da pozitiftir. Böyle bir soruda eksi işaretli şıkları hemen eleyin.
• Tabanı 1’den büyük bir sayının negatif kuvveti 0 ile 1 arasında bir sayıdır. Örneğin 3⁻² için 1’den büyük şıklar yanlıştır.
• 10⁻ⁿ sorularında sıfırları tek tek saymak yerine virgülden sonraki basamak sayısına bakın: 0,00001’de 5 basamak var, yani 10⁻⁵.
• Parantez var mı yok mu, mutlaka kontrol edin. −2⁰ ile (−2)⁰ arasındaki fark, soru hazırlayanların sık kullandığı bir tuzaktır.

Alıştırma

1) 9⁰ ifadesinin değeri kaçtır?

2) −8⁰ ifadesinin değeri kaçtır?

3) 3⁻² ifadesinin değeri kaçtır?

4) (−4)⁻¹ ifadesinin değeri kaçtır?

5) (−2)⁻⁴ ifadesinin değeri kaçtır?

6) (3/4)⁻² ifadesinin değeri kaçtır?

7) 10⁻⁵ sayısını ondalık gösterimle yazınız.

8) 0,001 sayısını 10’un kuvveti olarak yazınız.

9) 2⁻¹ + 4⁻¹ işleminin sonucu kaçtır?

10) (1/3)⁻² − 2⁰ işleminin sonucu kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 1 — Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.
• 2) −1 — Parantez olmadığı için önce 8⁰ = 1 bulunur, sonra eksi eklenir.
• 3) 1/9 — 3⁻² = 1/3² = 1/9.
• 4) −1/4 — (−4)⁻¹ = 1/(−4) = −1/4.
• 5) 1/16 — (−2)⁴ = 16 olur, çünkü çift kuvvet negatifliği ortadan kaldırır; tersi 1/16’dır.
• 6) 16/9 — Kesir ters çevrilir: (4/3)² = 16/9.
• 7) 0,00001 — 10⁻⁵ = 1/100000, virgülden sonra 5 basamak vardır.
• 8) 10⁻³ — 0,001 = 1/1000 = 1/10³.
• 9) 3/4 — 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.
• 10) 8 — (1/3)⁻² = 3² = 9 ve 2⁰ = 1 olduğundan 9 − 1 = 8.

Dersin özeti

• Kuvvetler tablosunda üs 1 azaldıkça sonuç tabana bölünür; bu örüntüyü sürdürünce a⁰ = 1 (a ≠ 0) kendiliğinden ortaya çıkar.
• Negatif üs, sayının eksi olduğunu değil, çarpmaya göre tersinin alındığını gösterir: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Kesirli tabanda negatif üs kesri ters çevirir: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
• 10⁻ⁿ sayısının ondalık gösteriminde virgülden sonra n basamak bulunur ve son basamak 1’dir: 10⁻³ = 0,001.
• Parantez önemlidir: (−5)⁰ = 1 iken −5⁰ = −1’dir.

Sonraki derse köprü: Artık 10’un negatif kuvvetlerinin 0,1, 0,01, 0,001 gibi ondalık sayılara karşılık geldiğini biliyoruz. Bir sonraki derste bu bilgiyi kullanarak üslü ifadelerle çalışmaya devam edecek, özellikle 10’un kuvvetleri yardımıyla çok büyük ve çok küçük sayıları daha kısa ve düzenli yazmanın yollarını göreceğiz.