Tam Kare Sayılar ve Karekök Kavramı

Tahmini süre: 14 dk

Önceki dersimizde üslü ifadelerle çalıştık ve bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını kısaca yazmayı öğrendik. Örneğin 5 × 5 yerine 5² yazıyorduk. Bu derste soruyu tersine çeviriyoruz: Karesi 25 olan sayı hangisidir? Bu sorunun cevabını arayan işleme karekök diyoruz.

Günlük hayattan giriş

Okul bahçesine kare şeklinde bir çiçek tarhı yapılacağını düşünelim. Belediyeden gelen bilgi şu: Tarhın alanı 36 m² olacak. Tarhın etrafına tel çekmek için önce bir kenarının kaç metre olduğunu bilmemiz gerekiyor. Karenin alanı “kenar × kenar” olduğuna göre, kendisiyle çarpıldığında 36 eden sayıyı arıyoruz. Bu sayı 6’dır, çünkü 6 × 6 = 36. Demek ki tarhın bir kenarı 6 metredir.

Şimdi alanı 40 m² olan kare bir oda düşünelim. Kendisiyle çarpıldığında tam olarak 40 eden bir doğal sayı var mı? 6 × 6 = 36 biraz küçük, 7 × 7 = 49 biraz büyük. O hâlde odanın kenarı 6 metreden uzun, 7 metreden kısadır. Kenarı tam olarak bulamasak da hangi iki sayı arasında olduğunu söyleyebiliyoruz. Bir fayans ustası da malzeme alırken tam olarak bu tahmini yapar.

Karekök; kare şeklindeki bir arsa, bahçe, ekran ya da karo hesabında karşımıza çıkar. Bu derste kareköke bir “kenar uzunluğu bulma aracı” gözüyle bakacağız. Böylece kuralları ezberlemek yerine neden öyle olduğunu kendimiz görebileceğiz.

Tanım ve kural

Tam kare sayı: Bir doğal sayının kendisiyle çarpımı olarak yazılabilen sayıdır. 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4² gibi. Bu sayılara “tam kare” denmesinin nedeni, o kadar birim kareyi yan yana dizerek eksiksiz bir büyük kare oluşturabilmemizdir. 9 tane küçük kare 3’e 3 dizilir; ama 8 tane küçük kareyle eksiksiz bir büyük kare yapılamaz.

Karekök: Negatif olmayan bir a sayısı için √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır. Yani √a = b ise b × b = a ve b ≥ 0’dır. Örneğin √49 = 7, çünkü 7 × 7 = 49.

Neden negatif olmayan sayıyı alıyoruz? (−7) × (−7) de 49 eder. Ama karekökü bir kenar uzunluğu olarak düşündük; bir kenar uzunluğu negatif olamaz. Bu yüzden √49 yazdığımızda yalnızca 7’yi kastederiz. −7’yi yazmak istersek bunu −√49 şeklinde açıkça belirtiriz.

Negatif sayının karekökü: Hiçbir sayının karesi negatif olmaz, çünkü pozitif × pozitif de negatif × negatif de pozitiftir. Bu yüzden √(−9) gibi bir ifade gerçek sayılarda tanımlı değildir. Ayrıca √0 = 0’dır.

Tam kare olmayan sayıların karekökü: a sayısı iki ardışık tam kare arasındaysa √a da bu tam karelerin kökleri arasındadır. Örneğin 36 < 40 < 49 olduğundan 6 < √40 < 7 olur. Bunun nedeni şudur: Alan büyüdükçe karenin kenarı da büyür. Alan 36 ile 49 arasındaysa kenar da 6 ile 7 arasında olmak zorundadır.

Hangi tam sayıya daha yakın? Sayının iki tam kareye olan uzaklığına bakarız. 40 − 36 = 4 ve 49 − 40 = 9 olduğundan 40, 36’ya daha yakındır. Bu yüzden √40, 6’ya daha yakındır. (Gerçekten de 6,3 × 6,3 = 39,69 olur.)

Gerçek sayılara kısa giriş: √4 = 2 gibi bazı kökler tam sayıdır. Ancak √2, √3, √40 gibi tam kare olmayan doğal sayıların kökleri, iki tam sayının oranı (a/b) şeklinde yazılamaz. Bu tür sayılara irrasyonel sayılar denir. Ondalık gösterimleri tekrar etmeden sonsuza kadar devam eder. Örneğin √2 ≈ 1,41’dir, çünkü 1,41² = 1,9881 ve 1,42² = 2,0164 değerleri 2’nin iki yanındadır. Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Kolay)

Alanı 81 m² olan kare şeklindeki bir bahçenin bir kenarı kaç metredir?

Çözüm:

• Karenin alanı = kenar × kenar olduğundan kenar = √81 olur.
• Kendisiyle çarpıldığında 81 eden sayıyı ararız: 9 × 9 = 81.
• Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için yalnızca 9’u alırız.
• Sonuç: Bahçenin bir kenarı 9 metredir.

Örnek 2 (Kolay)

144 ve 150 sayılarından hangisi tam kare sayıdır?

Çözüm:

• 12 × 12 = 144 olduğundan 144 tam karedir.
• 150 için komşu karelere bakalım: 12² = 144 ve 13² = 169.
• 150 bu iki sayının arasında olduğundan hiçbir doğal sayının karesi değildir.
• Sonuç: 144 tam karedir, 150 tam kare değildir.

Örnek 3 (Orta)

√50 hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır? Hangisine daha yakındır?

Çözüm:

• 50’nin altındaki en büyük tam kare 49’dur (7²).
• 50’nin üstündeki en küçük tam kare 64’tür (8²).
• 49 < 50 < 64 olduğundan 7 < √50 < 8 olur.
• Uzaklıklar: 50 − 49 = 1 ve 64 − 50 = 14.
• 50, 49’a çok daha yakın olduğundan √50 de 7’ye daha yakındır.
• Sonuç: √50, 7 ile 8 arasındadır ve 7’ye daha yakındır.

Örnek 4 (Orta)

√9 + √16 ile √(9 + 16) ifadelerinin değerlerini bulup karşılaştırınız.

Çözüm:

• √9 = 3 ve √16 = 4 olduğundan √9 + √16 = 3 + 4 = 7 olur.
• Önce içerideki toplamı yaparız: 9 + 16 = 25.
• √25 = 5 olduğundan √(9 + 16) = 5 olur.
• 7 ≠ 5 olduğundan iki ifade eşit değildir.
• Sonuç: √9 + √16 = 7 ve √(9 + 16) = 5; toplamın karekökü, kareköklerin toplamına eşit değildir.

Örnek 5 (Orta)

√0,09 ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

• Karesi 0,09 olan sayıyı arıyoruz.
• 0,3 × 0,3 = 0,09 olur (3 × 3 = 9 ve virgülden sonra toplam 2 basamak).
• 0,03 × 0,03 = 0,0009 olduğundan 0,03 doğru cevap değildir.
• Sonuç: √0,09 = 0,3

Örnek 6 (Zor)

√30, 6, √40 ve 7 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:

• Hepsini karekök biçiminde yazarsak karşılaştırmak kolaylaşır.
• 6 = √36 ve 7 = √49 olur.
• Kök içindeki sayıları sıralarız: 30 < 36 < 40 < 49.
• Kök içi büyüdükçe karekök de büyüdüğü için sıralama aynı kalır.
• Sonuç: √30 < 6 < √40 < 7

Örnek 7 (Zor – LGS tipi)

n bir doğal sayıdır ve 5 < √n < 6 eşitsizliği sağlanmaktadır. Buna göre n kaç farklı değer alabilir?

Çözüm:

• 5 = √25 ve 6 = √36 olduğundan √25 < √n < √36 yazılır.
• Buradan 25 < n < 36 elde edilir.
• n’nin alabileceği değerler: 26, 27, 28, …, 35.
• Sayı adedi: 35 − 26 + 1 = 10.
• Sonuç: n, 10 farklı değer alabilir.

LGS taktiği: Bu soru tipinde (iki sayı arasında kalma, sıralama, alan-kenar ilişkisi) her şeyi karekök içine taşımak en hızlı yoldur. Soru başına yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmayı hedefleyin. Şık elerken önce tam kareleri kontrol edin: Bir şıkkı karesini alarak doğrulayabilirsiniz. Örneğin “√50 ≈ 8” diyen bir şık, 8² = 64 değeri 50’den epey büyük olduğu için hemen elenir. Eşitsizlikte uç değerlerin (25 ve 36) dahil olup olmadığına mutlaka dikkat edin; sayma hatalarının çoğu buradan çıkar.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: √16 = 8 (sayıyı ikiye bölmek). Doğrusu: √16 = 4, çünkü 4 × 4 = 16. Karekök alırken ikiye bölmeyiz, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren sayıyı ararız.
• Yanlış: √9 + √16 = √25 = 5. Doğrusu: √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Kök içindeki sayılar bu şekilde toplanamaz.
• Yanlış: √9 = −3 veya √9 = ±3. Doğrusu: √9 = 3. Karekök sembolü her zaman negatif olmayan değeri gösterir.
• Yanlış: √(−25) = −5. Doğrusu: (−5)² = 25 olduğundan hiçbir gerçek sayının karesi −25 değildir; √(−25) gerçek sayılarda tanımsızdır. Buna karşılık −√25 = −5 doğrudur.
• Yanlış: √0,04 = 0,02. Doğrusu: √0,04 = 0,2, çünkü 0,2 × 0,2 = 0,04. Cevabı mutlaka karesini alarak kontrol edin.

Alıştırma

• 1) √64 kaçtır?
• 2) √121 kaçtır?
• 3) Alanı 169 m² olan kare şeklindeki bir arsanın çevresi kaç metredir?
• 4) 200 sayısı tam kare midir?
• 5) √70 hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?
• 6) √70 hangi doğal sayıya daha yakındır?
• 7) √36 + √49 işleminin sonucu kaçtır?
• 8) √15, 4, √10 ve 3 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
• 9) n bir doğal sayı ve 7 < √n < 8 ise n kaç farklı değer alabilir?
• 10) √25, √7, √0,16 ve √1 sayılarından hangisi irrasyoneldir?

Cevap Anahtarı

• 1) 8 — 8 × 8 = 64 olduğu için.
• 2) 11 — 11 × 11 = 121 olduğu için.
• 3) 52 m — Kenar √169 = 13 m, çevre 4 × 13 = 52 m.
• 4) Hayır — 14² = 196 ve 15² = 225 olduğundan 200 arada kalır.
• 5) 8 ile 9 arasında — 64 < 70 < 81 olduğu için.
• 6) 8 — 70 − 64 = 6 ve 81 − 70 = 11 olduğundan 70, 64’e daha yakındır.
• 7) 13 — √36 = 6 ve √49 = 7, toplam 6 + 7 = 13.
• 8) 3 < √10 < √15 < 4 — 3 = √9 ve 4 = √16 yazılıp 9 < 10 < 15 < 16 sıralanır.
• 9) 14 — 49 < n < 64 olduğundan n = 50, 51, …, 63 olur; 63 − 50 + 1 = 14.
• 10) √7 — √25 = 5, √0,16 = 0,4 ve √1 = 1 rasyoneldir; 7 tam kare olmadığı için √7 irrasyoneldir.

Dersin özeti

• Bir doğal sayının kendisiyle çarpımı olan sayılara tam kare sayı denir (1, 4, 9, 16, 25, …).
• √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır; alanı a olan karenin kenar uzunluğu gibi düşünülebilir. Negatif sayıların karekökü gerçek sayılarda tanımlı değildir.
• Tam kare olmayan bir sayının karekökü, iki ardışık tam karenin kökleri arasındadır: 36 < 40 < 49 ise 6 < √40 < 7.
• Karşılaştırma ve sıralama yaparken tüm sayıları karekök içine taşımak en güvenli yoldur; ayrıca √a + √b, √(a + b)’ye eşit değildir.
• √2, √7 gibi sayılar irrasyoneldir; rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayıları oluşturur. Bir sonraki ve kursun son dersinde bu kareköklü ifadelerle işlem yapmaya başlayacağız.