10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derste üslü ifadelerle işlem yapmayı öğrendik. Tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarparken üsleri topladık, bölerken çıkardık. Negatif üssün bir bölme anlamına geldiğini de gördük. Bu derste o kuralların en çok kullanıldığı tabana bakacağız: 10. Çok büyük ve çok küçük sayıları kısa ve düzenli yazmayı öğreneceğiz.

Günlük hayattan giriş

Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 150 000 000 km'dir. Bu sayıyı her yazışımızda sıfırları tek tek saymak zorunda kalırız. Bir sıfır eksik yazarsak mesafe on kat küçülür. Bilim insanları bu yüzden aynı sayıyı 1,5 × 10⁸ km biçiminde yazar. Hem kısadır hem de yanlış okunması zordur.

Tersi durumlar da vardır. Bazı bakteriler yaklaşık 0,000002 metre uzunluğundadır. Virgülden sonraki sıfırları saymak burada da zahmetlidir. Aynı uzunluk 2 × 10⁻⁶ m olarak yazılabilir. Negatif üs, sayının 1'den küçük olduğunu hemen gösterir.

Hesap makineleri de ekrana sığmayan sonuçları bu şekilde gösterir. Fen bilimleri derslerinde ışık hızı, atom boyutları ve gezegen kütleleri gibi değerler hep bu gösterimle karşımıza çıkar. Kısacası 10'un kuvvetleri, büyük ve küçük sayılarla rahatça konuşabilmemizi sağlayan ortak bir dildir.

Tanım ve kural

1. 10'un kuvvetleri neden bu kadar kullanışlı?

Sayı sistemimiz onluk sistemdir. Her basamak, sağındaki basamağın 10 katıdır. Bu yüzden 10'un kuvvetleri doğrudan basamak değerlerini verir.

10'un pozitif kuvvetinde üs, 1'in sağına kaç sıfır geleceğini söyler: 10³ = 1000 (üç sıfır). Üssü bir azaltmak, sayıyı 10'a bölmek demektir. 1000'den başlayıp 10'a bölerek aşağı inelim: 1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01 … Bu örüntü bize iki önemli sonucu açıklar:

• 10⁰ = 1: 10¹ = 10 sayısını 10'a bölünce 1 kalır.
• 10⁻¹ = 0,1: 1'i 10'a bölünce 0,1 olur. Yani 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ'dir. Bu sayıda virgülden sonra n basamak vardır ve 1 rakamı son basamaktadır.

2. Çözümleme

Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaya çözümleme denir. Her rakam, bulunduğu basamağın 10'un kuvveti ile çarpılır. Örneğin 352 = 3 × 10² + 5 × 10¹ + 2 × 10⁰ olur. Ondalık kısımdaki basamaklar negatif üslerle yazılır.

3. Bilimsel gösterim

Bir sayının a × 10ⁿ biçiminde yazılmasına bilimsel gösterim denir. Burada iki şart vardır:

• 1 ≤ |a| < 10 olmalıdır. Yani a'nın virgülden önceki kısmında sıfırdan farklı tek bir rakam bulunur.
• n bir tam sayı olmalıdır.

Neden a için 1 ile 10 arası seçilmiş? Çünkü bir sayıyı 64 × 10⁵, 6,4 × 10⁶ ya da 0,64 × 10⁷ gibi pek çok şekilde yazabiliriz. Hepsi aynı sayıdır. Herkes aynı yazımı kullansın diye tek bir kalıp seçilmiştir. Bu sayede iki sayıyı karşılaştırmak için çoğu zaman üslere bakmak yeter.

Dönüştürme mantığı (denge kuralı): Virgülü kaydırınca katsayı değişir. Sayının değeri değişmesin diye üs, bu değişimi dengeler.

• Virgülü sola kaydırırsak katsayı küçülür. Dengelemek için üs, kaydırılan basamak sayısı kadar artar.
• Virgülü sağa kaydırırsak katsayı büyür. Dengelemek için üs, kaydırılan basamak sayısı kadar azalır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (çözümleme)

4 053 sayısını 10'un kuvvetleriyle çözümleyiniz.

Çözüm:

Rakamların basamaklarını belirleyelim: 4 binler, 0 yüzler, 5 onlar, 3 birler basamağındadır.

Basamak değerlerini 10'un kuvveti olarak yazalım: binler = 10³, yüzler = 10², onlar = 10¹, birler = 10⁰.

Kontrol: 4000 + 0 + 50 + 3 = 4053.

4 053 = 4 × 10³ + 0 × 10² + 5 × 10¹ + 3 × 10⁰

Örnek 2 (ondalık sayıyı çözümleme)

32,07 sayısını çözümleyiniz.

Çözüm:

Virgülden önce: 3 onlar (10¹), 2 birler (10⁰) basamağındadır.

Virgülden sonra: 0 onda birler (10⁻¹), 7 yüzde birler (10⁻²) basamağındadır.

Kontrol: 30 + 2 + 0 + 0,07 = 32,07.

32,07 = 3 × 10¹ + 2 × 10⁰ + 0 × 10⁻¹ + 7 × 10⁻²

Örnek 3 (büyük sayıyı bilimsel gösterimle yazma)

6 400 000 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.

Çözüm:

Sayının sonunda gizli bir virgül vardır: 6 400 000,0

Katsayının 1 ile 10 arasında olması için virgülü 6'nın hemen sağına getiririz: 6,4

Bunun için virgülü 6 basamak sola kaydırdık, yani katsayıyı 1 000 000'a böldük.

Değer değişmesin diye 10⁶ ile çarparız.

Kontrol: 6,4 × 1 000 000 = 6 400 000.

6 400 000 = 6,4 × 10⁶

Örnek 4 (küçük sayıyı bilimsel gösterimle yazma)

0,00052 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.

Çözüm:

Sıfırdan farklı ilk rakam 5'tir. Virgülü 5'in hemen sağına getiririz: 5,2

Bunun için virgülü 4 basamak sağa kaydırdık, yani katsayıyı 10 000 ile çarptık.

Dengelemek için üssü 4 azaltırız: 10⁻⁴.

Kontrol: 5,2 × 0,0001 = 0,00052.

0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴

Örnek 5 (bilimsel gösterim olmayanı düzeltme)

0,45 × 10³ ifadesini bilimsel gösterimle yazınız.

Çözüm:

0,45 < 1 olduğu için bu ifade bilimsel gösterim değildir.

0,45 sayısını 4,5 × 10⁻¹ olarak yazarız (virgül 1 basamak sağa gitti, üs 1 azaldı).

İfade 4,5 × 10⁻¹ × 10³ olur.

Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: −1 + 3 = 2.

Kontrol: 0,45 × 1000 = 450 ve 4,5 × 100 = 450.

0,45 × 10³ = 4,5 × 10²

Örnek 6 (karşılaştırma)

a = 2,1 × 10⁸ ve b = 9,8 × 10⁷ sayılarından hangisi büyüktür?

Çözüm:

İki sayı da bilimsel gösterimdedir. Bu durumda önce üslere bakılır.

8 > 7 olduğu için a'nın basamak sayısı daha fazladır.

Kontrol: a = 210 000 000, b = 98 000 000.

Katsayısı büyük olan (9,8) daha büyük değildir. Üs belirleyicidir.

a > b

Örnek 7 (gerçek hayat problemi)

Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık yaklaşık 1,5 × 10⁸ km, ışığın hızı yaklaşık 3 × 10⁵ km/s'dir. Güneş ışığı Dünya'ya yaklaşık kaç saniyede ulaşır?

Çözüm:

Süre = yol ÷ hız olduğundan (1,5 × 10⁸) ÷ (3 × 10⁵) işlemini yaparız.

Katsayıları bölelim: 1,5 ÷ 3 = 0,5

10'un kuvvetlerini bölelim: 10⁸ ÷ 10⁵ = 10⁸⁻⁵ = 10³

Sonuç 0,5 × 10³ olur. 0,5 < 1 olduğu için düzeltiriz: 0,5 = 5 × 10⁻¹

5 × 10⁻¹ × 10³ = 5 × 10²

Yani yaklaşık 500 saniye, bu da yaklaşık 8 dakika 20 saniye eder.

Yaklaşık 5 × 10² saniye

LGS'de bu konu nasıl sorulur?

• Soru tipi: Genellikle bilimsel bir metin veya tablo verilir (gezegen uzaklıkları, hücre boyutları gibi). Sizden sayıyı bilimsel gösterimle yazmanız, sıralamanız ya da iki değerin oranını bulmanız istenir. Sorular dört şıklıdır.
• Süre: Sayısal oturumda matematik ve fen soruları aynı sürede çözülür. Soru başına ortalama 2 dakika civarında süre düşer. Bu konudaki sorular kural bilindiğinde genellikle bundan daha kısa sürede çözülebilir. Kazandığınız süreyi uzun sorulara ayırın.
• Şık eleme taktiği 1: Katsayısı 1'den küçük ya da 10 veya daha büyük olan şıkları "bilimsel gösterim" sorusunda hemen eleyin.
• Şık eleme taktiği 2: Sayı 1'den büyükse üs negatif olamaz. Sayı 0 ile 1 arasındaysa üs pozitif olamaz. Üssün işaretine bakarak çoğu zaman iki şık elenir.
• Şık eleme taktiği 3: Kalan şıklarda katsayıyı tek bir basamakla kontrol edin. Örneğin 0,00052 için "ilk anlamlı rakam 5" bilgisi yeterlidir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 0,0007 = 7 × 10⁴ → Doğrusu: 0,0007 = 7 × 10⁻⁴. Sayı 1'den küçük olduğu için üs negatif olmalıdır.
• Yanlış: 23 × 10⁵ bilimsel gösterimdir → Doğrusu: 23 ≥ 10 olduğu için değildir. Bilimsel gösterimi 2,3 × 10⁶'dır.
• Yanlış: 0,45 × 10³ = 4,5 × 10⁴ → Doğrusu: 4,5 × 10². Katsayı büyüdüyse üs azalmalıdır. Üs ters yönde değiştirilirse sayının değeri değişir.
• Yanlış: 9 × 10³ > 2 × 10⁵, çünkü 9 > 2 → Doğrusu: 9 × 10³ = 9 000 ve 2 × 10⁵ = 200 000 olduğundan 9 × 10³ < 2 × 10⁵. Bilimsel gösterimde önce üslere bakılır.
• Yanlış: 10⁰ = 0 ve 10⁻³ = −1000 → Doğrusu: 10⁰ = 1 ve 10⁻³ = 0,001. Negatif üs sayıyı negatif yapmaz, 1'den küçük yapar.

Alıştırma

• 1) 10⁻³ sayısını ondalık gösterimle yazınız.
• 2) 70 305 sayısını 10'un kuvvetleriyle çözümleyiniz.
• 3) 5,06 sayısını 10'un kuvvetleriyle çözümleyiniz.
• 4) 380 000 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.
• 5) 0,000091 sayısını bilimsel gösterimle yazınız.
• 6) 2,7 × 10⁴ sayısını ondalık gösterimle yazınız.
• 7) 6 × 10⁻³ sayısını ondalık gösterimle yazınız.
• 8) 520 × 10⁻⁶ ifadesini bilimsel gösterimle yazınız.
• 9) a = 4 × 10⁻³, b = 3,9 × 10⁻², c = 5 × 10⁻⁴ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
• 10) (1,2 × 10⁶) ÷ (4 × 10²) işleminin sonucunu bilimsel gösterimle yazınız.

Cevap Anahtarı

• 1) 0,001. 1'i üç kez 10'a böleriz, virgülden sonra üç basamak oluşur.
• 2) 7 × 10⁴ + 0 × 10³ + 3 × 10² + 0 × 10¹ + 5 × 10⁰. Kontrol: 70 000 + 300 + 5 = 70 305.
• 3) 5 × 10⁰ + 0 × 10⁻¹ + 6 × 10⁻². 6 rakamı yüzde birler basamağındadır.
• 4) 3,8 × 10⁵. Virgül 5 basamak sola kaydı, üs 5 arttı.
• 5) 9,1 × 10⁻⁵. Virgül 5 basamak sağa kaydı, üs 5 azaldı.
• 6) 27 000. 2,7'nin virgülünü 4 basamak sağa kaydırırız.
• 7) 0,006. 6'nın virgülünü 3 basamak sola kaydırırız.
• 8) 5,2 × 10⁻⁴. 520 = 5,2 × 10² olduğundan 10² × 10⁻⁶ = 10⁻⁴ olur.
• 9) c < a < b. Üsler −4 < −3 < −2 olduğundan sıralama doğrudan bulunur (0,0005 < 0,004 < 0,039).
• 10) 3 × 10³. 1,2 ÷ 4 = 0,3 ve 10⁶ ÷ 10² = 10⁴ olur, 0,3 × 10⁴ ise 3 × 10³'e düzeltilir.

Dersin özeti

• 10'un kuvvetleri basamak değerlerini verir. 10⁰ = 1'dir ve 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ, yani 1'den küçük bir sayıdır.
• Çözümlemede her rakam, basamağına karşılık gelen 10'un kuvvetiyle çarpılıp toplanır. Ondalık kısımda üsler negatiftir.
• Bilimsel gösterim a × 10ⁿ biçimindedir. Burada 1 ≤ |a| < 10 ve n bir tam sayıdır.
• Virgül sola kayarsa üs artar, sağa kayarsa üs azalır. Böylece sayının değeri korunur.
• Bilimsel gösterimdeki sayılar karşılaştırılırken önce üslere, üsler eşitse katsayılara bakılır.

Bir sonraki derste üslü ifadelerden kareköklü ifadelere geçeceğiz. Bu derste kullandığımız "bir sayının karesi" fikrini tersinden düşünerek √16 gibi ifadelerin ne anlama geldiğini keşfedeceğiz.