Tam Sayılar ve Sayı Doğrusu: Toplama ve Çıkarma

Hoş geldin! Bu kursta tam sayılardan başlayıp üslü ifadelere ve kareköklü ifadelere doğru adım adım ilerleyeceğiz. Kurstaki her ders bir öncekinin üzerine kurulu. Bu yüzden ilk derste temeli sağlam atmak çok önemli. Burada kuralları ezberlemeyeceğiz. Her kuralın neden öyle olduğunu birlikte göreceğiz. Kalem ve kâğıdını yanına al, başlayalım.

Günlük hayattan giriş

Kış sabahı hava durumunu açtığında ‘Erzurum’da sıcaklık eksi 12 derece’ gibi bir cümle duymuşsundur. Eksi 12 derece, sıfırın 12 derece altı demektir. Sıfır derece suyun donmaya başladığı sıcaklıktır. Hava bundan daha soğuksa sıcaklığı sıfırdan küçük, yani negatif bir sayıyla gösteririz. Öğlene doğru hava ısınır ve sıcaklık örneğin +3 dereceye çıkar. Peki hava kaç derece ısınmıştır? Bu sorunun cevabı, bu derste öğreneceğimiz tam sayılarla çıkarma işlemidir.

Negatif sayıları para konusunda da kullanırız. Cebinde hiç para yokken arkadaşından 50 TL ödünç aldığını düşün. Bu durumda elindeki paranın durumu ‘eksi 50 TL’dir. Yani sıfırın bile altındasın, çünkü önce 50 TL kazanıp borcunu ödemen gerekiyor. Bankalar da hesaptaki parayı artı ya da eksi sayılarla gösterir.

Deniz seviyesi de güzel bir örnektir. Deniz seviyesini sıfır kabul ederiz. Bir dağın zirvesi deniz seviyesinin üzerindeyse yüksekliği pozitif sayıyla, bir denizaltı deniz seviyesinin altındaysa derinliği negatif sayıyla gösterilir. 30 metre derinlikteki bir dalgıcın konumu −30 m olarak yazılır. Bir binadaki asansörde gördüğün −1, −2 katları da aynı fikre dayanır: zemin kat 0, altındaki katlar negatif.

Tanım ve kural

Tam sayılar ve sayı doğrusu

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … sayılarının hepsine tam sayılar denir. Sıfırdan büyük olanlar pozitif tam sayılar, sıfırdan küçük olanlar negatif tam sayılardır. Sıfır ise ne pozitif ne negatiftir.

Tam sayıları bir sayı doğrusu üzerinde gösteririz. Ortaya 0 konur. Sağa doğru gittikçe sayılar büyür: 1, 2, 3, … Sola doğru gittikçe sayılar küçülür: −1, −2, −3, … Bu yüzden sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman soldakinden büyüktür. Örneğin −2, −10’un sağında olduğu için −2 > −10’dur. Termometreyi düşün: −2 derece, −10 dereceden daha sıcaktır.

Mutlak değer

Bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir ve |−5| şeklinde yazılır. −5 sayısı sıfırdan 5 birim uzaktadır, +5 sayısı da sıfırdan 5 birim uzaktadır. Bu yüzden |−5| = 5 ve |+5| = 5 olur. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamayacağı için mutlak değer asla negatif çıkmaz. Ayrıca |0| = 0’dır.

Toplama neden böyle yapılır?

Sayı doğrusunda artı bir sayı eklemek sağa, eksi bir sayı eklemek sola yürümek demektir. Bir de şöyle düşünebilirsin: +1 bir kazanç, −1 bir borçtur. Bir kazanç ile bir borç yan yana gelince birbirini sıfırlar.

Aynı işaretli sayılar: (−3) + (−4) işleminde önce 3 TL borçlusun, sonra 4 TL daha borçlanıyorsun. Toplam borcun 7 TL olur. Yani mutlak değerleri toplarız ve ortak işareti koyarız: (−3) + (−4) = −7.

Farklı işaretli sayılar: (−9) + (+4) işleminde 9 TL borcun var ve 4 TL kazanıyorsun. 4 TL, borcunun 4 lirasını kapatır. Geriye 9 − 4 = 5 TL borç kalır. Yani mutlak değeri büyük olandan küçüğü çıkarırız ve mutlak değeri büyük olan sayının işaretini koyarız: (−9) + (+4) = −5.

Çıkarma neden böyle yapılır?

Çıkarma, iki sayı arasındaki farkı sorar. (+5) − (−3) işlemini sayı doğrusunda düşün: −3’ten +5’e gitmek için kaç adım sağa yürümek gerekir? −3’ten 0’a 3 adım, 0’dan 5’e 5 adım; toplam 8 adım. Demek ki (+5) − (−3) = +8. Bu da (+5) + (+3) işleminin sonucuyla aynıdır.

Borç örneğiyle de anlaşılır: Birinin senin üzerindeki 3 TL borcunu silmesi, sana 3 TL vermesiyle aynı etkiyi yapar. Bir borcu çıkarmak, kazanç eklemek demektir. Bu yüzden kural şudur: Çıkarma işlemini toplamaya çevir ve çıkan sayının işaretini değiştir. Sonra toplama kurallarını uygula.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

(−4) + (−6) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

İki sayı da negatif, yani işaretleri aynı.

Mutlak değerleri toplarız: 4 + 6 = 10.

Ortak işaret olan eksiyi koyarız.

Sonuç: −10

Örnek 2

(−9) + (+4) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

İşaretler farklı. Mutlak değerlere bakarız: |−9| = 9, |+4| = 4.

Büyükten küçüğü çıkarırız: 9 − 4 = 5.

Mutlak değeri büyük olan −9 olduğu için sonuç negatiftir.

Sonuç: −5

Örnek 3

(+7) − (−3) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Çıkarmayı toplamaya çeviririz, çıkan sayının işaretini değiştiririz: (+7) + (+3).

İki sayı da pozitif: 7 + 3 = 10.

Sonuç: +10

Örnek 4

Bir şehirde sabah sıcaklık −6 °C’dir. Öğlene kadar sıcaklık 11 derece artıyor, akşam ise 8 derece düşüyor. Akşam sıcaklık kaç derecedir?

Çözüm:

Artış toplama, düşüş çıkarmadır: (−6) + 11 − 8.

Önce (−6) + (+11): işaretler farklı, 11 − 6 = 5, büyük olan pozitif. Sonuç +5.

Sonra 5 − 8 = 5 + (−8): işaretler farklı, 8 − 5 = 3, büyük olan negatif. Sonuç −3.

Akşam sıcaklığı: −3 °C

Örnek 5

Bir dalgıç deniz seviyesinin 45 metre altında, bir martı ise deniz seviyesinin 28 metre üstünde bulunuyor. Aralarındaki yükseklik farkı kaç metredir?

Çözüm:

Dalgıcın konumu −45 m, martının konumu +28 m.

Fark, büyük olandan küçük olanı çıkararak bulunur: 28 − (−45).

Çıkan sayının işaretini değiştiririz: 28 + 45.

28 + 45 = 73.

Aralarındaki fark: 73 metre

Örnek 6

(−12) − (+5) + (−3) − (−20) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Bütün çıkarmaları toplamaya çeviririz: (−12) + (−5) + (−3) + (+20).

Negatifleri birleştiririz: (−12) + (−5) = −17.

(−17) + (−3) = −20.

Son olarak (−20) + (+20): Bir sayı ile işaret değiştirilmiş hâli birbirini sıfırlar.

Sonuç: 0

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: (−3) − (−5) = −8. Doğrusu: Çıkan sayının işareti değişir: (−3) + (+5) = +2. İki eksi yan yana gördün diye sayıları toplayıp eksi koyma.
• Yanlış: |−7| = −7. Doğrusu: Mutlak değer bir uzaklıktır, uzaklık negatif olmaz: |−7| = 7.
• Yanlış: (−8) + (+3) = −11. Doğrusu: İşaretler farklı olduğunda mutlak değerler çıkarılır: 8 − 3 = 5, büyük olan negatif, sonuç −5.
• Yanlış: −10 > −2, çünkü 10 büyüktür. Doğrusu: −10 sayı doğrusunda daha solda olduğu için −10 < −2. −10 derece, −2 dereceden daha soğuktur.
• Yanlış: (+4) − (+9) = +5. Doğrusu: (+4) + (−9) işleminde büyük mutlak değer 9’dur ve negatiftir: sonuç −5.

LGS ipucu: Tam sayı sorularında şıkları incelerken önce sonucun işaretini belirle. Örneğin sonucun negatif olacağını görürsen pozitif şıkları hemen elersin. Sonra sayının büyüklüğünü hesapla. Birden fazla işlem varsa bütün çıkarmaları başta toplamaya çevirmek, işaret hatası yapma ihtimalini azaltır.

Alıştırma

1) (−8) + (−5) = ?

2) (+12) + (−7) = ?

3) (−15) + (+9) = ?

4) (−6) − (+4) = ?

5) (+3) − (−11) = ?

6) (−20) − (−8) = ?

7) |−14| + |+6| = ?

8) −3, 5, −8, 0, −1 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

9) Bir kasabada gece sıcaklık −4 °C, gündüz ise +9 °C ölçülüyor. Gece ile gündüz arasındaki sıcaklık farkı kaç derecedir?

10) Banka hesabında 250 TL bulunan Deniz, hesabından 400 TL harcama yapıyor. Ardından hesabına 120 TL yatırıyor. Hesabın son durumu kaç TL’dir?

Cevap Anahtarı

• 1) −13 — İşaretler aynı, 8 + 5 = 13 ve ortak işaret eksidir.
• 2) +5 — İşaretler farklı, 12 − 7 = 5 ve mutlak değeri büyük olan pozitiftir.
• 3) −6 — İşaretler farklı, 15 − 9 = 6 ve mutlak değeri büyük olan negatiftir.
• 4) −10 — (−6) + (−4) işlemine çevrilir, aynı işaretli olduğundan 6 + 4 = 10 ve eksi konur.
• 5) +14 — (+3) + (+11) işlemine çevrilir ve 3 + 11 = 14 olur.
• 6) −12 — (−20) + (+8) işlemine çevrilir, 20 − 8 = 12 ve büyük olan negatiftir.
• 7) 20 — Mutlak değerler 14 ve 6’dır, toplamları 20 eder.
• 8) −8, −3, −1, 0, 5 — Sayı doğrusunda en soldaki sayı en küçüktür.
• 9) 13 °C — 9 − (−4) = 9 + 4 = 13.
• 10) −30 TL — 250 − 400 = −150, sonra (−150) + 120 = −30.

Dersin özeti

• Tam sayılar negatif sayılar, sıfır ve pozitif sayılardan oluşur. Sıcaklık, borç ve deniz seviyesi negatif sayıların günlük hayattaki karşılıklarıdır.
• Sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman soldakinden büyüktür. Bu yüzden −2 > −10’dur.
• Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve asla negatif olmaz.
• Aynı işaretli sayılar toplanırken mutlak değerler toplanır ve ortak işaret konur. Farklı işaretli sayılar toplanırken büyük mutlak değerden küçüğü çıkarılır ve büyük olanın işareti konur.
• Çıkarma işleminde çıkan sayının işareti değiştirilip toplama yapılır. Çünkü bir borcu çıkarmak, kazanç eklemekle aynı etkiyi yapar.