Paydaları Eşit Kesirlerle Toplama ve Çıkarma

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde bir bütünü eş parçalara bölmeyi, kesrin payını ve paydasını tanımayı öğrendik. Paydanın bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, payın ise bu parçalardan kaç tanesini aldığımızı gösterdiğini hatırlıyoruz. Bu derste bu bilgileri kullanarak kesirleri toplayıp çıkaracağız.

Bir pizzanın 4 eş dilime bölündüğünü düşünelim. Sen 1 dilim yedin, kardeşin de 2 dilim yedi. İkiniz birlikte kaç dilim yediniz? Tabii ki 3 dilim. Her dilim pizzanın 1/4'ü olduğuna göre ikiniz birlikte pizzanın 3/4'ünü yediniz. İşte kesirlerle toplama yaptık! Dilimlerin sayısı arttı ama dilimlerin büyüklüğü değişmedi. Her dilim yine pizzanın dörtte biri.

Günlük hayatta buna çok benzeyen durumlar vardır. Bir çikolata tabletinin bazı karelerini yeriz ve kalan kareleri merak ederiz. Bir şişedeki suyun bir kısmını içeriz ve şişede ne kadar su kaldığını düşünürüz. Bir yolun bir kısmını sabah, bir kısmını öğleden sonra yürürüz ve toplam ne kadar yürüdüğümüzü bulmak isteriz. Bu derste parçalar aynı büyüklükte olduğunda, yani paydalar eşit olduğunda toplama ve çıkarmanın ne kadar kolay olduğunu göreceğiz.

Tanım ve kural

Paydaları eşit kesirleri toplarken paylar toplanır, payda aynen yazılır.

Paydaları eşit kesirleri çıkarırken paylar çıkarılır, payda aynen yazılır.

Peki payda neden değişmiyor? Şöyle düşünelim: Payda, parçanın adıdır. 1/4 dediğimizde “dörtte bir” deriz. Yani parçanın adı “dörtte bir”dir. 1 tane dörtte bir ile 2 tane dörtte biri topladığımızda 3 tane dörtte bir elde ederiz. Tıpkı 1 elma ile 2 elmayı topladığımızda 3 elma elde etmemiz gibi. Elmaları toplarken “elma” kelimesi “elma” olarak kalır, değişmez. Kesirlerde de parçanın adı olan payda değişmez. Sadece kaç tane parça olduğunu gösteren pay değişir.

Bir de şöyle bakalım: Pizzamız hâlâ 4 eş dilime bölünmüş durumda. Dilim yedik diye pizza 8 dilime bölünmüş olmaz. Bütün kaç parçaya bölündüyse o kadar parçaya bölünmüş olarak kalır. Bu yüzden payda aynı kalır.

Çıkarmada da aynı düşünce geçerlidir. 8 dilimlik bir kekin 5 dilimi tabakta duruyorsa bu kekin 5/8'idir. Bunun 2 dilimini yersek tabakta 3 dilim kalır. Yani 5/8 − 2/8 = 3/8 olur. Dilimlerin büyüklüğü yine değişmedi; sadece dilim sayısı azaldı.

Bir önemli bilgi daha: Payı ile paydası aynı olan kesir 1 bütüne eşittir. Örneğin 4/4, 6/6, 10/10 kesirlerinin her biri 1 bütündür. Çünkü bütünün bütün parçalarını almış oluruz. Payı 0 olan kesir ise hiç parça almadığımızı gösterir ve 0'a eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

1/4 + 2/4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Paydalara bakalım. İkisinin de paydası 4. Paydalar eşit.

Adım 2: Payları toplayalım: 1 + 2 = 3.

Adım 3: Paydayı aynen yazalım: 4.

Sonuç: 1/4 + 2/4 = 3/4

Örnek 2

2/6 + 3/6 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Paydalar 6 ve 6. Paydalar eşit.

Adım 2: Payları toplayalım: 2 + 3 = 5.

Adım 3: Payda 6 olarak kalır.

Sonuç: 2/6 + 3/6 = 5/6

Örnek 3

5/8 − 2/8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Paydalar 8 ve 8. Paydalar eşit.

Adım 2: Payları çıkaralım: 5 − 2 = 3.

Adım 3: Payda 8 olarak kalır.

Sonuç: 5/8 − 2/8 = 3/8

Örnek 4

Bir ekmek 5 eş dilime bölünmüştür. Kahvaltıda ekmeğin 3/5'i, akşam yemeğinde ise 2/5'i yeniyor. Toplam ekmeğin ne kadarı yenmiştir?

Çözüm:

Adım 1: Toplam yenen miktarı bulmak için toplama yaparız: 3/5 + 2/5.

Adım 2: Paydalar eşit, payları toplayalım: 3 + 2 = 5.

Adım 3: Payda 5 olarak kalır: 5/5.

Adım 4: Payı ile paydası eşit olduğu için 5/5, 1 bütündür. Yani ekmeğin tamamı yenmiştir.

Sonuç: 5/5 = 1 bütün ekmek yenmiştir.

Örnek 5

Bir su şişesi 12 eş bölmeye ayrılmıştır. Şişenin 9/12'si su ile doludur. Önce şişedeki suyun 4/12'si içiliyor, sonra şişeye 2/12 kadar su ekleniyor. Şişenin ne kadarı su ile doludur?

Çözüm:

Adım 1: Önce içilen suyu çıkaralım: 9/12 − 4/12.

Adım 2: Payları çıkaralım: 9 − 4 = 5. Şişede 5/12 su kaldı.

Adım 3: Şimdi eklenen suyu toplayalım: 5/12 + 2/12.

Adım 4: Payları toplayalım: 5 + 2 = 7. Payda 12 olarak kalır.

Sonuç: Şişenin 7/12'si su ile doludur.

Örnek 6

□/9 + 4/9 = 7/9 işleminde kutuya hangi sayı gelmelidir?

Çözüm:

Adım 1: Paydalar eşit olduğu için sadece paylara bakarız: □ + 4 = 7.

Adım 2: 4'e kaç eklersek 7 olur? 7 − 4 = 3.

Adım 3: Kontrol edelim: 3/9 + 4/9 = 7/9. Doğru.

Sonuç: Kutuya 3 gelmelidir.

Sık yapılan hatalar

• Paydaları da toplamak: Yanlış: 1/4 + 2/4 = 3/8. Doğrusu: 1/4 + 2/4 = 3/4. Pizza 8 dilime bölünmedi, hâlâ 4 dilim. Payda aynen kalır.
• Paydaları da çıkarmak: Yanlış: 5/8 − 2/8 = 3/0. Doğrusu: 5/8 − 2/8 = 3/8. Bütün hiçbir zaman 0 parçaya bölünmez; payda aynen yazılır.
• Tüm parçaları alınca 1 bütün olduğunu fark etmemek: Yanlış: 3/5 + 2/5 = 5/5 der ve bırakırız, bunun ne demek olduğunu düşünmeyiz. Doğrusu: 5/5 = 1 bütün, yani bütünün tamamıdır.
• Büyük paydan küçük payı değil, küçükten büyüğü çıkarmaya çalışmak: Yanlış: 3/7 − 5/7 işlemi yapılabilir sanmak. Doğrusu: 3 parçadan 5 parça alamayız. Çıkarmada ilk kesrin payı büyük (ya da eşit) olmalıdır, örneğin 5/7 − 3/7 = 2/7.
• Paydaları farklı kesirleri aynı kuralla toplamak: Yanlış: 1/2 + 1/3 = 2/5. Doğrusu: Bu derste öğrendiğimiz kural sadece paydaları eşit kesirler içindir. Yarım ile üçte bir farklı büyüklükte parçalardır; onları bu yolla toplayamayız.

Alıştırma

1) 1/5 + 2/5 = ?

2) 3/7 + 2/7 = ?

3) 4/6 − 1/6 = ?

4) 8/9 − 5/9 = ?

5) 2/10 + 3/10 + 4/10 = ?

6) 7/8 − 7/8 = ?

7) 4/7 + 3/7 = ? Sonuç kaç bütündür?

8) 8 eş dilime bölünmüş bir pastanın 3/8'i yenmiştir. Pastanın ne kadarı kalmıştır?

9) □/11 + 5/11 = 9/11 işleminde kutuya hangi sayı gelmelidir?

10) Bir yol 9 eş parçaya ayrılmıştır. Bir çocuk bu yolun 2/9'unu sabah, 5/9'unu öğleden sonra yürüyor. Yolun ne kadarı yürünmemiştir?

Cevap Anahtarı

1) 3/5 — Paylar toplanır: 1 + 2 = 3, payda 5 kalır.

2) 5/7 — Paylar toplanır: 3 + 2 = 5, payda 7 kalır.

3) 3/6 — Paylar çıkarılır: 4 − 1 = 3, payda 6 kalır.

4) 3/9 — Paylar çıkarılır: 8 − 5 = 3, payda 9 kalır.

5) 9/10 — Üç pay sırayla toplanır: 2 + 3 + 4 = 9, payda 10 kalır.

6) 0/8 = 0 — Paylar çıkarılır: 7 − 7 = 0, yani hiç parça kalmaz.

7) 7/7 = 1 bütün — 4 + 3 = 7 olur, payı ile paydası eşit olduğu için sonuç 1 bütündür.

8) 5/8 — Pastanın tamamı 8/8'dir, 8/8 − 3/8 = 5/8 olur.

9) 4 — □ + 5 = 9 olmalı, 9 − 5 = 4'tür.

10) 2/9 — Yürünen yol 2/9 + 5/9 = 7/9, yürünmeyen yol 9/9 − 7/9 = 2/9'dur.

Dersin özeti

• Paydaları eşit kesirleri toplarken paylar toplanır, payda aynen yazılır.
• Paydaları eşit kesirleri çıkarırken paylar çıkarılır, payda aynen yazılır.
• Payda değişmez, çünkü payda parçanın adıdır ve parçaların büyüklüğü işlem yapınca değişmez.
• Payı ile paydası eşit olan kesir 1 bütündür; payı 0 olan kesir 0'dır.
• Bu derste parçaları birleştirip ayırmayı öğrendik. Bir sonraki derste de kesirlerle düşünmeye devam edecek, bugünkü “aynı büyüklükteki parçalar” fikrini yeni durumlarda kullanacağız.