Birim Kesirler ve Kesirleri Karşılaştırma

Tahmini süre: 14 dk

Önceki dersten köprü: Geçen derste bir bütünü eş parçalara bölmeyi ve kesrin ne anlama geldiğini öğrendik. Kesirde alttaki sayıya payda, üstteki sayıya pay dedik. Payda, bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü; pay ise bu parçalardan kaç tanesini aldığımızı gösterir. Bu derste bu bilgiyi kullanarak kesirleri birbiriyle karşılaştıracağız.

Günlük hayattan giriş

Bir pizza düşünelim. Bu pizzayı iki kardeş eşit olarak paylaşırsa her biri pizzanın yarısını, yani 1/2'sini alır. Aynı büyüklükteki pizzayı dört arkadaş eşit olarak paylaşırsa her birine 1/4 düşer. Peki hangisinde daha büyük bir dilim yersin? Tabii ki iki kişiyle paylaşırken! Çünkü pizzayı ne kadar çok kişiyle paylaşırsan, her kişiye düşen dilim o kadar küçük olur.

Bu durumu her gün yaşarız. Bir şişe meyve suyunu iki kişi paylaşınca herkesin bardağı daha dolu olur, altı kişi paylaşınca bardaklar daha az dolar. Bir kalıp çikolatayı üç parçaya bölmekle sekiz parçaya bölmek arasındaki fark da aynıdır: sekiz parçaya bölünen çikolatanın her parçası daha küçüktür.

Kesirleri karşılaştırmayı da sık kullanırız. Örneğin bir sınıftaki öğrencilerin bir kısmının kırmızı, bir kısmının mavi kalem seçtiğini düşün. Hangi rengin daha çok seçildiğini anlamak için kesirleri karşılaştırırız. Ayrıca bir tabaktaki 12 kurabiyenin yarısını yersek kaç kurabiye yediğimizi bulmak için de bir çokluğun kesir kadarını hesaplarız. Bu derste bunların hepsini adım adım öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Birim kesir: Payı 1 olan kesre birim kesir denir. 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 birer birim kesirdir. Birim kesir, bütünün eş parçalarından yalnızca bir tanesini gösterir.

Kural 1: Birim kesirlerde payda büyüdükçe kesir küçülür.

Neden? Payda, bütünü kaç eş parçaya böldüğümüzü söyler. Aynı bütünü daha çok parçaya bölersek her parça daha küçük olur. Bu yüzden 1/8, 1/4'ten küçüktür. 8 sayısı 4'ten büyük olduğu hâlde 1/8 kesri 1/4'ten küçüktür; çünkü 8 parçaya bölünen bütünün parçaları, 4 parçaya bölünen bütünün parçalarından daha küçüktür.

Kural 2: Paydaları eşit olan kesirlerde payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Neden? Paydalar eşitse bütün aynı sayıda eş parçaya bölünmüştür, yani bütün parçalar aynı büyüklüktedir. Aynı büyüklükteki parçalardan daha çok alan, daha fazla almış olur. Örneğin 5/7, 3/7'den büyüktür; çünkü ikisinde de parçalar yedide birlik ama 5 parça, 3 parçadan fazladır.

Kural 3: Bir çokluğun kesir kadarını bulma.

Önce çokluğu paydaya böleriz. Böylece bir eş parçada kaç tane olduğunu buluruz. Sonra bulduğumuz sayıyı pay ile çarparız. Böylece istenen parça sayısı kadarını buluruz.

Neden? 12 cevizin 1/4'ü demek, 12 cevizi 4 eş gruba ayırıp bir grubu almak demektir. 12 ÷ 4 = 3 olduğu için bir grupta 3 ceviz vardır. 3/4'ü isteseydik bu gruplardan 3 tanesini alırdık: 3 × 3 = 9.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 1/2 ile 1/4 kesirlerinden hangisi daha büyüktür?

Çözüm:

1. adım: İki kesrin de payı 1, yani ikisi de birim kesir.

2. adım: 1/2'de bütün 2 eş parçaya, 1/4'te ise 4 eş parçaya bölünmüş.

3. adım: Daha az parçaya bölünen bütünün parçaları daha büyüktür.

Sonuç: 1/2 > 1/4

Örnek 2: 1/3, 1/8 ve 1/5 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:

1. adım: Üçü de birim kesir. Payda büyüdükçe kesir küçülür.

2. adım: Paydalar: 3, 8 ve 5. En büyük payda 8 olduğu için en küçük kesir 1/8'dir.

3. adım: Sonra paydası 5 olan 1/5 gelir.

4. adım: En küçük payda 3 olduğu için en büyük kesir 1/3'tür.

Sonuç: 1/8 < 1/5 < 1/3

Örnek 3: 3/7 ile 5/7 kesirlerinden hangisi daha büyüktür?

Çözüm:

1. adım: İki kesrin paydası da 7. Yani bütün iki kesirde de 7 eş parçaya bölünmüş ve parçalar aynı büyüklükte.

2. adım: Birinde 3 parça, diğerinde 5 parça alınmış.

3. adım: 5, 3'ten büyük olduğu için 5 parça daha fazladır.

Sonuç: 5/7 > 3/7

Örnek 4: 2/9, 7/9, 4/9 ve 5/9 kesirlerini büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözüm:

1. adım: Bütün paydalar 9, yani eşit. Sadece paylara bakmamız yeterli.

2. adım: Paylar: 2, 7, 4 ve 5.

3. adım: Payları büyükten küçüğe sıralarsak: 7, 5, 4, 2.

Sonuç: 7/9 > 5/9 > 4/9 > 2/9

Örnek 5: Bir tabakta 12 ceviz var. Bu cevizlerin 1/4'ü kaç cevizdir?

Çözüm:

1. adım: Payda 4, yani 12 cevizi 4 eş gruba ayırıyoruz.

2. adım: 12 ÷ 4 = 3. Her grupta 3 ceviz var.

3. adım: Pay 1, yani bu gruplardan 1 tanesini alıyoruz: 3 × 1 = 3.

Sonuç: 12 cevizin 1/4'ü 3 cevizdir.

Örnek 6: Bir kutuda 20 bilye var. Bu bilyelerin 3/5'i mavidir. Kutuda kaç mavi bilye vardır?

Çözüm:

1. adım: Payda 5, yani 20 bilyeyi 5 eş gruba ayırıyoruz.

2. adım: 20 ÷ 5 = 4. Her grupta 4 bilye var.

3. adım: Pay 3, yani bu gruplardan 3 tanesini alıyoruz: 4 × 3 = 12.

Sonuç: Kutuda 12 mavi bilye vardır.

Örnek 7: Bir sınıfta 24 öğrenci var. Öğrencilerin 3/8'i gözlük takıyor. Gözlük takmayan kaç öğrenci vardır?

Çözüm:

1. adım: Önce gözlük takanları bulalım. Payda 8: 24 ÷ 8 = 3. Bir eş grupta 3 öğrenci var.

2. adım: Pay 3: 3 × 3 = 9. Gözlük takan 9 öğrenci var.

3. adım: Gözlük takmayanları bulmak için toplamdan çıkarıyoruz: 24 − 9 = 15.

4. adım: Kontrol: 9 + 15 = 24. Doğru!

Sonuç: Gözlük takmayan 15 öğrenci vardır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 8 sayısı 4'ten büyük, o hâlde 1/8 > 1/4. Doğrusu: Payda büyüdükçe parça küçülür. Bu yüzden 1/8 < 1/4.
• Yanlış: 12'nin 1/4'ünü bulmak için 12 × 4 = 48 yapmak. Doğrusu: Önce paydaya böleriz: 12 ÷ 4 = 3.
• Yanlış: 20'nin 3/5'ini bulmak için 20'yi 3'e bölmeye çalışmak. Doğrusu: Paydaya böl, payla çarp: 20 ÷ 5 = 4, 4 × 3 = 12.
• Yanlış: 20'nin 3/5'ini bulurken sadece 20 ÷ 5 = 4 yazıp bırakmak. Doğrusu: 4 sayısı sadece 1/5'tir. 3/5 için 3 ile çarpmayı unutma: 4 × 3 = 12.
• Yanlış: Bir bütünü eşit olmayan parçalara bölüp parçalardan birine 1/4 demek. Doğrusu: Kesir ancak parçalar eş (aynı büyüklükte) ise söylenebilir.

Alıştırma

1) 1/6 ile 1/9 kesirlerinden hangisi daha büyüktür?

2) 1/2, 1/10 ve 1/5 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

3) 4/11 ile 9/11 kesirlerinden hangisi daha büyüktür?

4) 2/6, 5/6 ve 1/6 kesirlerini büyükten küçüğe sıralayınız.

5) 18 elmanın 1/3'ü kaç elmadır?

6) 35 kalemin 1/7'si kaç kalemdir?

7) 16 balonun 3/4'ü kırmızıdır. Kaç balon kırmızıdır?

8) 30 sayfalık bir kitabın 2/5'i okundu. Kaç sayfa okundu, kaç sayfa kaldı?

9) 1/4 ile 1/3 arasına < veya > işaretlerinden uygun olanı koyunuz.

10) Bir tabakta 40 çilek var. Çileklerin 1/8'i yendi. Tabakta kaç çilek kaldı?

Cevap Anahtarı

• 1) 1/6 — İkisi de birim kesir; paydası küçük olan daha büyüktür.
• 2) 1/10 < 1/5 < 1/2 — Birim kesirlerde en büyük payda en küçük kesri verir.
• 3) 9/11 — Paydalar eşit olduğu için payı büyük olan daha büyüktür.
• 4) 5/6 > 2/6 > 1/6 — Paydalar eşit; paylar 5, 2, 1 diye sıralanır.
• 5) 6 elma — 18 ÷ 3 = 6.
• 6) 5 kalem — 35 ÷ 7 = 5.
• 7) 12 balon — 16 ÷ 4 = 4, sonra 4 × 3 = 12.
• 8) 12 sayfa okundu, 18 sayfa kaldı — 30 ÷ 5 = 6, 6 × 2 = 12 ve 30 − 12 = 18.
• 9) 1/4 < 1/3 — 4 parçaya bölünen bütünün parçası, 3 parçaya bölünenin parçasından küçüktür.
• 10) 35 çilek — 40 ÷ 8 = 5 çilek yendi, 40 − 5 = 35 çilek kaldı.

Dersin özeti

• Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir: 1/2, 1/3, 1/4 gibi.
• Birim kesirlerde payda büyüdükçe kesir küçülür; çünkü bütün daha çok parçaya bölünür ve her parça küçülür.
• Paydaları eşit kesirlerde payı büyük olan kesir daha büyüktür; çünkü parçalar aynı büyüklüktedir.
• Bir çokluğun kesir kadarını bulmak için önce paydaya böl, sonra payla çarp.
• Kesir söyleyebilmek için bütünün eş parçalara bölünmüş olması gerekir.

Sonraki derse köprü: Artık kesirleri tanıyor, karşılaştırıyor ve bir çokluğun kesir kadarını bulabiliyorsun. Bir sonraki derste bu bilgilerin üzerine yeni bir adım ekleyeceğiz. Oraya geçmeden önce alıştırmaları kendi başına çözmeyi dene; takıldığın yerde tablolara ve çözümlü örneklere geri dönebilirsin.