Bütün, Yarım ve Çeyrek: Kesirle Tanışma

Merhaba, hoş geldin! Bu kursta kesirleri, zamanı ve uzunluğu ölçmeyi ve geometrinin ilk adımlarını birlikte öğreneceğiz. Hiçbir şeyi ezberlemeyeceğiz; her kuralın neden öyle olduğunu adım adım anlayacağız. İlk dersimizde bir bütünü eş parçalara bölmeyi, yarım ve çeyrek kavramlarını keşfedeceğiz. Hazırsan başlayalım!

Günlük hayattan giriş

Akşam yemeğinde masaya bir pizza geldiğini düşün. Pizza henüz hiç kesilmemiş, tek parça hâlinde duruyor. İşte buna bütün diyoruz. Sen ve kardeşin bu pizzayı paylaşacaksınız. Anneniz pizzayı tam ortasından keserek iki eş parçaya ayırıyor. Her birinize düşen parçaya yarım denir. Peki kardeşinin parçası seninkinden daha büyük olsaydı ne olurdu? Büyük ihtimalle itiraz ederdin, çünkü paylaşım adil olmazdı. İşte kesirlerin en önemli kuralı burada saklı: parçalar eş, yani aynı büyüklükte olmalıdır.

Şimdi de dört kişilik bir aile olduğunuzu düşün. Aynı pizzayı bu kez dört eş parçaya bölmek gerekir. Her birinize düşen parçaya çeyrek denir. Dört kişi olunca her parça, iki kişi olduğundaki parçadan daha küçük olur. Ne kadar çok kişiyle paylaşırsan, sana düşen parça o kadar küçülür.

Yarım ve çeyrek sözcüklerini aslında her gün duyuyorsun: yarım ekmek, yarım saat, çeyrek saat, yarım litre su, bir çeyrek elma... Saatte de aynı fikir var: bir saat 60 dakikadır. Bunu iki eş parçaya bölersek yarım saat, yani 30 dakika; dört eş parçaya bölersek çeyrek saat, yani 15 dakika olur. Bu derste bu sözcüklerin matematikteki anlamını ve nasıl yazıldığını öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Bütün: Hiç bölünmemiş, tam olan bir nesnedir. Bir elma, bir pizza, bir çikolata ya da bir saat bütün olabilir.

Kesir: Bir bütünün eş parçalarından bir veya birkaçını gösteren sayıdır. Kesri iki sayı ve arasındaki bir çizgi ile yazarız. Örneğin 1/2, 1/4, 3/4 birer kesirdir.

Payda: Çizginin altındaki sayıdır. Bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü söyler.

Pay: Çizginin üstündeki sayıdır. Bu eş parçalardan kaç tanesini aldığımızı söyler.

Örneğin 3/4 kesrinde payda 4'tür: bütün 4 eş parçaya bölünmüştür. Pay 3'tür: bu parçalardan 3 tanesi alınmıştır.

Parçalar neden eş olmalı? Çünkü kesir, bir parçanın bütünün ne kadarı olduğunu söyler. Bir pizzayı biri çok büyük, biri çok küçük iki parçaya bölersen, her parçaya yarım diyemezsin. Büyük parça bütünün yarısından fazladır, küçük parça ise yarısından azdır. Parçalar eş olduğunda her biri bütünün tam olarak aynı payını gösterir. Bu yüzden kesirde parçalar her zaman eş olmalıdır.

Payda büyüdükçe parça neden küçülür? Aynı pizzayı 2 kişi paylaşınca her kişiye büyük bir parça düşer. 4 kişi paylaşınca aynı pizza daha çok parçaya ayrılır ve her parça küçülür. Bu yüzden 1/4, 1/2'den küçüktür. Paydadaki 4 sayısı, 2'den büyük olduğu hâlde parçayı küçültür.

Kaç yarım, kaç çeyrek bir bütün eder? Yarım, bütünün 2 eş parçasından biridir; bu yüzden 2 yarım bir bütün eder. Çeyrek, bütünün 4 eş parçasından biridir; bu yüzden 4 çeyrek bir bütün eder. 2 çeyrek de bir yarıma eşittir, çünkü dört parçanın ikisi bütünün yarısını kaplar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Bir simit 2 eş parçaya bölündü. Ayşe bu parçalardan 1 tanesini aldı. Ayşe simidin ne kadarını aldı?

Çözüm:

Simit 2 eş parçaya bölündü, bu yüzden payda 2'dir.

Ayşe 1 parça aldı, bu yüzden pay 1'dir.

Ayşe simidin 1/2'sini, yani yarısını aldı.

Örnek 2

Bir çikolata 4 eş parçaya bölündü. Mert 1 parça yedi. Mert çikolatanın ne kadarını yedi? Bu kesrin pay ve paydası nedir?

Çözüm:

Çikolata 4 eş parçaya bölündü, bu yüzden payda 4'tür.

Mert 1 parça yedi, bu yüzden pay 1'dir.

Mert çikolatanın 1/4'ünü, yani çeyreğini yedi. Pay 1, payda 4'tür.

Örnek 3

Bir pasta 4 eş dilime kesildi. Zeynep ile arkadaşları 3 dilim yedi. Pastanın ne kadarı yendi, ne kadarı kaldı?

Çözüm:

Pasta 4 eş dilime kesildi, payda 4'tür.

3 dilim yendi, yenen kısım 3/4'tür.

Toplam 4 dilimden 3 dilim gidince 4 − 3 = 1 dilim kalır.

Kalan kısım 1/4'tür.

Pastanın 3/4'ü yendi, 1/4'ü kaldı.

Örnek 4

Bir pizzayı 4 eş parçaya böldük ve 2 parçasını aldık. Aldığımız kısım pizzanın yarısı mıdır?

Çözüm:

Pizza 4 eş parçaya bölündü, 2 parça aldık. Aldığımız kısım 2/4'tür.

4 parçanın 2'si bir tarafta, 2'si öbür taraftadır. Yani parçalar iki eşit gruba ayrılır.

Bu iki gruptan biri, pizzanın yarısıdır.

Evet, 2/4 ile 1/2 aynı miktardır; 2 çeyrek bir yarım eder.

Örnek 5

Bir tabakta 12 ceviz var. Bu cevizlerin yarısını Ali aldı. Ali kaç ceviz aldı?

Çözüm:

Yarısı demek, 12 cevizi 2 eş gruba ayırmak demektir.

12 ÷ 2 = 6. Her grupta 6 ceviz olur.

Kontrol edelim: 6 + 6 = 12. Doğru.

Ali 6 ceviz aldı.

Örnek 6

Elif'in 16 bilyesi var. Bilyelerinin çeyreğini kardeşine verdi. Kardeşine kaç bilye verdi? Elif'e kaç bilye kaldı?

Çözüm:

Çeyreği demek, 16 bilyeyi 4 eş gruba ayırmak demektir.

16 ÷ 4 = 4. Her grupta 4 bilye olur.

Kontrol edelim: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Doğru.

Elif 1 grubu, yani 4 bilyeyi verdi.

Elif'e kalan: 16 − 4 = 12 bilye.

Kardeşine 4 bilye verdi, Elif'e 12 bilye kaldı.

Örnek 7

Bir kek 4 parçaya bölündü, ama parçalardan biri diğerlerinden çok daha büyük. Bu parçaların her birine çeyrek diyebilir miyiz?

Çözüm:

Çeyrek, bütünün 4 eş parçasından biridir.

Bu kekin parçaları eş değildir; biri büyük, diğerleri küçüktür.

Büyük parça kekin çeyreğinden fazladır, küçük parçalar ise çeyreğinden azdır.

Hayır, parçalar eş olmadığı için bunlara çeyrek diyemeyiz.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 1/4, 1/2'den büyüktür, çünkü 4 sayısı 2'den büyüktür. Doğrusu: Aynı bütün 4 parçaya bölününce parçalar daha küçük olur. Bu yüzden 1/4, 1/2'den küçüktür.
• Yanlış: Bir elmayı rastgele iki parçaya kestim, her parça yarımdır. Doğrusu: Parçalar eş değilse yarım denmez. Yarım için bütün, 2 eş parçaya bölünmelidir.
• Yanlış: 3/4 kesrinde payda 3, pay 4'tür. Doğrusu: Üstteki sayı pay, alttaki sayı paydadır. 3/4'te pay 3, payda 4'tür.
• Yanlış: 8 kalemin çeyreği 4'tür, çünkü çeyrek 4 demektir. Doğrusu: Çeyrek, 4 eş gruptan biridir. 8 ÷ 4 = 2 olduğu için 8 kalemin çeyreği 2 kalemdir.
• Yanlış: 3 çeyrek bir bütün eder. Doğrusu: Bütün 4 eş parçaya bölündüğü için bir bütün 4 çeyrektir. 3 çeyrekte bir çeyrek eksik kalır.

Alıştırma

1) Bir ekmek 2 eş parçaya bölündü. Parçalardan biri ekmeğin kaçta kaçıdır?

2) Bir pizza 4 eş dilime bölündü. 1 dilim pizzanın kaçta kaçıdır?

3) 3/4 kesrinde pay kaçtır, payda kaçtır?

4) Kaç çeyrek bir bütün eder?

5) Kaç yarım bir bütün eder?

6) 10 kalemin yarısı kaç kalemdir?

7) 8 bilyenin çeyreği kaç bilyedir?

8) Aynı büyüklükteki iki pizzadan birinin 1/2'si, diğerinin 1/4'ü alınıyor. Hangisi daha büyük parçadır?

9) Yarım saat kaç dakikadır? Çeyrek saat kaç dakikadır?

10) Bir çikolata 4 eş parçaya bölündü ve 3 parçası yendi. Çikolatanın kaçta kaçı kaldı?

Cevap Anahtarı

• 1) 1/2 — Bütün 2 eş parçaya bölündüğü için payda 2, alınan 1 parça için pay 1'dir.
• 2) 1/4 — Pizza 4 eş dilime bölündüğü için payda 4, alınan 1 dilim için pay 1'dir.
• 3) Pay 3, payda 4 — Çizginin üstündeki sayı pay, altındaki sayı paydadır.
• 4) 4 çeyrek — Çeyrek, bütünün 4 eş parçasından biri olduğu için 4 tanesi bütünü tamamlar.
• 5) 2 yarım — Yarım, bütünün 2 eş parçasından biri olduğu için 2 tanesi bütünü tamamlar.
• 6) 5 kalem — 10 kalemi 2 eş gruba ayırırız: 10 ÷ 2 = 5.
• 7) 2 bilye — 8 bilyeyi 4 eş gruba ayırırız: 8 ÷ 4 = 2.
• 8) 1/2 — Aynı pizza 2 parçaya bölününce parçalar 4 parçaya bölünmesinden daha büyük olur.
• 9) Yarım saat 30 dakika, çeyrek saat 15 dakika — 60 ÷ 2 = 30 ve 60 ÷ 4 = 15.
• 10) 1/4 — 4 parçadan 3 parça yenince 4 − 3 = 1 parça kalır, bu da 1/4'tür.

Dersin özeti

• Hiç bölünmemiş nesneye bütün denir; bütünün eş parçalarını kesir ile gösteririz.
• Kesirde parçalar mutlaka eş olmalıdır; eş olmayan parçalara yarım ya da çeyrek denmez.
• Payda bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, pay kaç parça alındığını söyler.
• Yarım 1/2, çeyrek 1/4 ile gösterilir; 2 yarım bir bütün, 4 çeyrek bir bütün, 2 çeyrek bir yarım eder.
• Bir çokluğun yarısını bulmak için 2'ye, çeyreğini bulmak için 4'e böleriz; aynı bütünde payda büyüdükçe parça küçülür.