Hareket Problemleri

Tahmini süre: 16 dk

Günlük hayattan giriş

Navigasyon uygulamasına bir adres yazdığında ekranda 'Tahmini varış: 2 saat 15 dakika' gibi bir yazı görürsün. Uygulama bu süreyi gideceğin yolun uzunluğuna ve o yolda ne kadar hızlı gidebileceğine bakarak hesaplar. Otoyolda hızlı, şehir içinde yavaş gidersin. Bu yüzden tahmin, yolun her parçası için ayrı ayrı hesaplanır. Bu derste kullanacağımız temel fikir tam olarak bu: yol, hız ve zaman birbirine bağlıdır.

Bir arkadaşınla iki ayrı şehirden birbirinize doğru yola çıktığınızı düşün. İkiniz de hareket ettiğiniz için aradaki mesafe tek başına gitseydin olacağından çok daha hızlı kapanır. Otobüsü kaçırıp arkasından taksiyle yetişmeye çalıştığında ise durum tersidir: Otobüs de ilerlediği için aradaki farkı yalnızca taksinin 'fazladan' hızı kapatır. TYT'deki karşılaşma ve yakalama soruları bu iki gündelik duruma dayanır.

Bir de şu soruyu düşün: Okula giderken saatte 60 km, dönerken saatte 40 km hızla gittin. Ortalama hızın kaç? Çoğu kişi hemen '50' der ama bu yanlıştır. Neden yanlış olduğunu bu derste adım adım göreceğiz. Bu, TYT'de en çok kullanılan tuzaklardan biridir. Bu ders kursumuzun son dersi. Önceki derslerde öğrendiğin denklem kurma ve oran-orantı becerilerini burada bir arada kullanacağız.

Tanım ve kural

Temel bağıntı şudur: Yol = Hız × Zaman. Kısaca d = v × t yazarız. Neden böyle? Hız, bir saatte (ya da bir saniyede) ne kadar yol gidildiğini söyler. Saatte 80 km giden bir araç 1 saatte 80 km, 2 saatte 80 + 80 = 160 km, 3 saatte 80 × 3 = 240 km gider. Yani her saat aynı miktar eklenir. Bu da çarpma işlemidir. Aynı bağıntıdan şunları elde ederiz: v = d ÷ t ve t = d ÷ v.

Birimler uyumlu olmalı. Hız km/sa ise zaman saat, yol km olmalıdır. 20 dakika 20 saat değildir, 20/60 = 1/3 saattir. km/sa'i m/sn'ye çevirmek için: 1 km = 1000 m ve 1 saat = 3600 sn olduğundan 1 km/sa = 1000/3600 = 5/18 m/sn olur. Pratikte km/sa ÷ 3,6 = m/sn diye hatırlanır.

Karşılaşma (zıt yönde, birbirine doğru): Her saatte A kendi hızı kadar, B de kendi hızı kadar yaklaşır. Aradaki mesafe her saatte v₁ + v₂ kadar azalır. Bu yüzden karşılaşma süresi = mesafe ÷ (v₁ + v₂) olur.

Yakalama (aynı yönde, arkadaki hızlı): Öndeki de ilerlediği için her saatte arka araç yalnızca v₁ − v₂ kadar yaklaşır. Bu yüzden yakalama süresi = aradaki mesafe ÷ (v₁ − v₂) olur.

Ortalama hız: Tanımı toplam yol ÷ toplam zaman şeklindedir. Hızların aritmetik ortalaması değildir. Neden mi? Yavaş gidilen kısımda daha uzun zaman geçer, yani yavaş hız sonuca daha çok ağırlık verir. Gidiş ve dönüş yolu eşitse (her biri d):

Gidiş süresi = d/v₁, dönüş süresi = d/v₂

Toplam yol = 2d, toplam süre = d/v₁ + d/v₂ = d(v₁ + v₂)/(v₁v₂)

Ortalama hız = 2d ÷ [d(v₁ + v₂)/(v₁v₂)] = 2v₁v₂/(v₁ + v₂)

Sürenin yarısında v₁, diğer yarısında v₂ ile gidilirse iki kısımda geçen süre eşit olur. O zaman ortalama hız gerçekten (v₁ + v₂)/2 olur.

Akıntı: Akıntı yönünde gidilirse hızlar toplanır (v + a), akıntıya karşı gidilirse çıkarılır (v − a).

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Saatte 72 km hızla giden bir araç 3 saatte kaç km yol alır? Bu aracın hızı kaç m/sn'dir?

Çözüm:

Yol = hız × zaman = 72 × 3 = 216 km.

m/sn'ye çevirmek için 3,6'ya bölelim: 72 ÷ 3,6 = 20.

Kontrol: 20 m/sn × 3600 sn = 72 000 m = 72 km. Tutuyor.

Yol 216 km, hız 20 m/sn.

Örnek 2: Aralarında 420 km bulunan A ve B kentlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. A'dan çıkanın hızı 60 km/sa, B'den çıkanın hızı 80 km/sa'tir. Kaç saat sonra karşılaşırlar? Karşılaşma noktası A'ya kaç km uzaktadır?

Çözüm:

Birbirlerine doğru gittikleri için mesafe her saatte 60 + 80 = 140 km azalır.

Süre = 420 ÷ 140 = 3 saat.

A'dan çıkan araç 3 saatte 60 × 3 = 180 km gider.

Kontrol: Diğer araç 80 × 3 = 240 km gider. 180 + 240 = 420. Tutuyor.

3 saat sonra, A'dan 180 km uzakta karşılaşırlar.

Örnek 3: Aynı yolda aynı yöne giden iki araçtan öndeki 45 km/sa, arkadaki 75 km/sa hızla gidiyor. Aralarında 90 km varken arkadaki araç öndekini kaç saatte yakalar?

Çözüm:

Aynı yönde gittikleri için arkadaki araç her saatte 75 − 45 = 30 km yaklaşır.

Süre = 90 ÷ 30 = 3 saat.

Kontrol: Arkadaki 75 × 3 = 225 km, öndeki 45 × 3 = 135 km gider. 135 + 90 = 225. Tutuyor.

3 saatte yakalar.

Örnek 4: Bir araç A'dan B'ye 60 km/sa hızla gidip aynı yoldan 40 km/sa hızla dönüyor. Tüm yolculuğun ortalama hızı kaç km/sa'tir?

Çözüm:

Yol belli değil. İşimizi kolaylaştırmak için 60 ve 40'a tam bölünen bir sayı seçelim: AB = 120 km.

Gidiş süresi = 120 ÷ 60 = 2 saat.

Dönüş süresi = 120 ÷ 40 = 3 saat.

Toplam yol = 240 km, toplam süre = 5 saat.

Ortalama hız = 240 ÷ 5 = 48 km/sa.

Formülle kontrol: 2 × 60 × 40 / (60 + 40) = 4800 / 100 = 48. Tutuyor.

Ortalama hız 48 km/sa'tir (50 değil).

Örnek 5: Bir motorun durgun sudaki hızı 20 km/sa, nehrin akıntı hızı 4 km/sa'tir. Motor akıntı yönünde 48 km gidip aynı yoldan geri dönüyor. Toplam kaç saat geçer?

Çözüm:

Akıntı yönünde hız = 20 + 4 = 24 km/sa, süre = 48 ÷ 24 = 2 saat.

Akıntıya karşı hız = 20 − 4 = 16 km/sa, süre = 48 ÷ 16 = 3 saat.

Toplam süre = 2 + 3 = 5 saat.

Toplam 5 saat geçer.

Örnek 6: Bir araç saat 09.00'da bir noktadan 50 km/sa hızla yola çıkıyor. Aynı noktadan saat 11.00'de ikinci bir araç aynı yöne 75 km/sa hızla çıkıyor. İkinci araç birinciyi saat kaçta yakalar?

Çözüm:

Saat 11.00'de birinci araç 2 saattir yoldadır, yani 50 × 2 = 100 km öndedir.

Aradaki fark her saatte 75 − 50 = 25 km kapanır.

Yakalama süresi = 100 ÷ 25 = 4 saat. 11.00 + 4 saat = 15.00.

Kontrol: Saat 15.00'e kadar birinci araç 6 saatte 300 km, ikinci araç 4 saatte 300 km gider. Tutuyor.

Saat 15.00'te yakalar.

Örnek 7: Bir araç A'dan B'ye 60 km/sa hızla giderse planlanan süreden 1 saat geç, 80 km/sa hızla giderse 1 saat erken varıyor. AB arası kaç km'dir?

Çözüm:

Yola d diyelim. İki durum arasındaki süre farkı 1 + 1 = 2 saattir.

d/60 − d/80 = 2

Paydaları 240'ta eşitleyelim: 4d/240 − 3d/240 = 2

d/240 = 2, buradan d = 480.

Kontrol: 480 ÷ 60 = 8 saat, 480 ÷ 80 = 6 saat. Fark 2 saat. Planlanan süre 7 saattir. Tutuyor.

AB = 480 km.

Örnek 8: 400 metrelik dairesel bir pistte iki koşucu aynı noktadan aynı anda 3 m/sn ve 5 m/sn hızla koşmaya başlıyor. Zıt yönde koşarlarsa ilk kez kaç saniye sonra karşılaşırlar? Aynı yönde koşarlarsa hızlı olan yavaşı ilk kez kaç saniye sonra yakalar?

Çözüm:

Zıt yönde koşarlarsa ikisinin koştuğu yolun toplamı bir tur (400 m) olunca karşılaşırlar: 400 ÷ (3 + 5) = 50 sn.

Aynı yönde koşarlarsa hızlı olan yavaştan bir tur (400 m) fazla koşunca onu yakalar: 400 ÷ (5 − 3) = 200 sn.

Zıt yönde 50 sn, aynı yönde 200 sn.

Sık yapılan hatalar

• Hızların ortalamasını almak: 'Gidiş 60, dönüş 40 ise ortalama (60 + 40)/2 = 50' yanlıştır. Doğrusu: toplam yol ÷ toplam zaman = 240 ÷ 5 = 48 km/sa. Yavaş gidilen kısımda daha çok zaman geçtiği için sonuç 50'nin altında kalır.
• Dakikayı saat gibi kullanmak: '90 km/sa ile 20 dakikada 90 × 20 = 1800 km' yanlıştır. Doğrusu: 20 dk = 1/3 saat, yol = 90 × 1/3 = 30 km.
• Yakalamada hızları toplamak: Aynı yönde giden araçlar için 90 ÷ (75 + 45) yazmak yanlıştır. Doğrusu: aynı yönde hızlar çıkarılır, 90 ÷ (75 − 45) = 3 saat.
• Geç çıkan aracın arayı açtığını unutmak: Örnek 6'da 'aynı noktadan çıktılar, fark 0' demek yanlıştır. Doğrusu: ikinci araç yola çıktığında birinci araç 2 saattir yoldadır ve 100 km öndedir.
• Birim çevirisini ters yapmak: 36 km/sa = 36 × 3,6 m/sn yazmak yanlıştır. Doğrusu: km/sa'ten m/sn'ye geçerken 3,6'ya bölünür, 36 ÷ 3,6 = 10 m/sn.

Alıştırma

TYT taktikleri: Hareket soruları genelde metinli problem şeklinde gelir. Bir soruya yaklaşık 1,5-2 dakika ayırmayı hedefle. Soruyu okurken önce 'birbirine doğru mu, aynı yönde mi?' sorusunu sor. Sonra birimleri kontrol et. Şıkları elerken şunlar işine yarar: Eşit yollarda ortalama hız iki hızın arasında olur ve aritmetik ortalamadan küçüktür. Bu yüzden aritmetik ortalama olan şık neredeyse her zaman tuzaktır. Yol verilmemişse hızlara tam bölünen bir sayı seç. Şıklardan birini soruda yerine koyup kontrol etmek de hızlı bir yöntemdir.

1) 75 km/sa hızla giden bir araç 4 saatte kaç km yol alır?

2) 210 km'lik yol 70 km/sa hızla kaç saatte gidilir?

3) 80 km/sa hızla giden bir araç 45 dakikada kaç km yol alır?

4) 108 km/sa kaç m/sn'dir?

5) Aralarında 500 km bulunan iki araç 55 km/sa ve 45 km/sa hızla aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

6) Aralarında 60 km bulunan iki araç aynı yöne gidiyor. Arkadakinin hızı 90 km/sa, öndekinin hızı 70 km/sa'tir. Arkadaki öndekini kaç saatte yakalar?

7) Bir araç bir yolu 30 km/sa hızla gidip aynı yolu 60 km/sa hızla dönüyor. Ortalama hızı kaç km/sa'tir?

8) 400 m'lik dairesel bir pistte aynı noktadan zıt yönlere 4 m/sn ve 6 m/sn hızla koşmaya başlayan iki koşucu ilk kez kaç saniye sonra karşılaşır?

9) Bir araç yolculuk süresinin ilk yarısında 50 km/sa, ikinci yarısında 70 km/sa hızla gidiyor. Ortalama hızı kaç km/sa'tir?

10) Bir araç A'dan B'ye 40 km/sa hızla giderse planlanan süreden 1 saat geç, 60 km/sa hızla giderse 1 saat erken varıyor. AB kaç km'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) 300 km: Yol = 75 × 4.
• 2) 3 saat: Süre = 210 ÷ 70.
• 3) 60 km: 45 dk = 3/4 saat olduğundan 80 × 3/4 = 60.
• 4) 30 m/sn: 108 ÷ 3,6 = 30.
• 5) 5 saat: Birbirine doğru gittikleri için 500 ÷ (55 + 45) = 5.
• 6) 3 saat: Aynı yönde gittikleri için 60 ÷ (90 − 70) = 3.
• 7) 40 km/sa: 2 × 30 × 60 / (30 + 60) = 3600 / 90 = 40 (yolu 60 km alırsan 120 km ÷ 3 saat = 40).
• 8) 40 sn: Zıt yönde 400 ÷ (4 + 6) = 40.
• 9) 60 km/sa: Süreler eşit olduğu için (50 + 70)/2 = 60.
• 10) 240 km: d/40 − d/60 = 2 denkleminden d/120 = 2, yani d = 240 (6 saat ile 4 saat arasında 2 saat fark var).

Dersin özeti

• Temel bağıntı yol = hız × zaman'dır. Birimler uyumlu olmalı: dakikayı saate çevir, km/sa'ten m/sn'ye geçerken 3,6'ya böl.
• Birbirine doğru giden araçlarda hızlar toplanır, aynı yönde giden araçlarda hızlar çıkarılır.
• Ortalama hız = toplam yol ÷ toplam zaman. Yollar eşitse 2v₁v₂/(v₁ + v₂), süreler eşitse (v₁ + v₂)/2 olur.
• Geç çıkan araç sorularında önce öndeki aracın ne kadar yol aldığını bul. Dairesel pistte karşılaşma ya da yakalama bir tur farkla olur.
• Kurs kapanışı: Bu kursta temel kavramlardan başlayıp problemlere kadar geldin. Hepsinde aynı yolu izledik: Metni oku, bilinmeyene isim ver, verilenler arasındaki bağıntıyı yaz, çöz ve sonucu kontrol et. TYT'de bu alışkanlık hem doğru cevabı bulmanı hem de tuzak şıkları elemeni sağlar. Bol soru çözerek bu yolu otomatik hâle getir.