Yaş Problemleri

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde sözel bir problemi okuyup bilinmeyeni seçmeyi ve denklem kurmayı çalıştık. Bu derste o beceriyi TYT'de sık çıkan bir soru türünde kullanacağız: yaş problemleri. Yaş problemleri ilk bakışta karışık görünür, çünkü içinde "5 yıl önce", "8 yıl sonra", "ben senin yaşındayken" gibi zaman ifadeleri geçer. Ama arkalarında çok basit iki gerçek vardır. Bu iki gerçeği kavrayınca soruların çoğu birkaç satırda çözülür.

Bir aileyi düşün. Bu yıl sen 17, kardeşin 12 yaşında olsun. Aranızda 5 yaş var. Seneye sen 18, kardeşin 13 olur; aradaki fark yine 5'tir. On yıl sonra 27 ile 22 olursunuz; fark hâlâ 5'tir. Çünkü takvim herkes için aynı hızla ilerler. Kimse ötekinden daha hızlı yaşlanmaz, kimse geride kalmaz. Hayatta "ağabeyime yetiştim" diye bir şey olmaz.

Öte yandan oranlar değişir. Kardeşin 1 yaşındayken sen 6 yaşındaydın; o zaman senin yaşın onunkinin 6 katıydı. Bugün 17 ile 12 arasında böyle bir kat ilişkisi yok. Farkın sabit kalıp oranın değişmesi, yaş problemlerinin asıl konusudur. Sorular genellikle şunu sorar: "Kaç yıl sonra biri diğerinin 2 katı olur?" ya da "Şimdiki yaşlar nedir?"

Tanım ve kural

Kural 1: Herkesin yaşı aynı miktarda artar. x yıl sonra her kişinin yaşı x artar, x yıl önce her kişinin yaşı x azalır. Bunun nedeni, zamanın herkes için aynı akmasıdır.

Kural 2: İki kişinin yaş farkı hiç değişmez. Birinin yaşı A, diğerininki B olsun. x yıl sonra yaşlar A + x ve B + x olur. Farkı hesaplayalım: (A + x) − (B + x) = A − B. Buradaki x'ler birbirini götürür. İşte farkın sabit kalmasının matematiksel nedeni budur.

Kural 3: n kişinin yaş toplamı, x yılda n·x kadar değişir. Her kişi x yaş büyüdüğü için n kişinin toplamı n tane x kadar artar. Örneğin 3 kişilik bir grubun toplam yaşı 4 yıl sonra 3 × 4 = 12 artar. Dikkat: Geçmişe giderken o tarihte henüz doğmamış biri varsa, o kişi hesaba katılmaz.

Kural 4: Oranlı sorularda yaşlar bir k sayısıyla yazılır. Yaşların oranı 3/5 ise yaşlar 3 ve 5 değil, 3k ve 5k olur. Bu durumda fark 2k'dir ve fark sabit olduğu için bu bilgi çok işe yarar.

Çözüm yöntemimiz geçmiş – şimdi – gelecek tablosu kurmaktır. Tabloda her kişi bir satır, her zaman bir sütundur. Genellikle bilinmeyen "şimdi" sütununa yazılır, diğer sütunlar ondan türetilir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Ali 12, babası 40 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı Ali'nin yaşının 2 katı olur?

Çözüm:

1. x yıl sonra Ali 12 + x, babası 40 + x yaşında olur.

2. Koşulu yazalım: 40 + x = 2 · (12 + x).

3. Sağ tarafı açalım: 40 + x = 24 + 2x.

4. Düzenleyelim: 40 − 24 = 2x − x, yani x = 16.

5. Kontrol: 16 yıl sonra Ali 28, babası 56 olur. 56 = 2 × 28 doğru.

Cevap: 16 yıl sonra.

Örnek 2 (kolay)

Bir anne ile kızının yaşları toplamı 48, yaşları farkı 24'tür. 6 yıl önce yaşları toplamı kaçtı ve anne şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

1. Toplam ile farkı toplarsak annenin yaşının 2 katını buluruz: 48 + 24 = 72.

2. Anne: 72 ÷ 2 = 36, kız: 48 − 36 = 12.

3. 6 yıl önce iki kişinin her biri 6 yaş küçüktü; toplam 2 × 6 = 12 azalır.

4. 6 yıl önceki toplam: 48 − 12 = 36. (Kontrol: 30 + 6 = 36.)

Cevap: Anne 36 yaşında; 6 yıl önceki toplam 36.

Örnek 3 (orta)

Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Baba şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

1. Tablo: Şimdi oğul x, baba 4x. 5 yıl sonra oğul x + 5, baba 4x + 5.

2. Koşul: 4x + 5 = 3 · (x + 5).

3. Açalım: 4x + 5 = 3x + 15.

4. x = 10, baba 4 × 10 = 40.

5. Kontrol: 5 yıl sonra 45 ve 15; 45 = 3 × 15 doğru.

Cevap: Baba 40 yaşında.

Örnek 4 (orta – oranlı)

Ayşe'nin yaşının Fatma'nın yaşına oranı 3/5'tir. 8 yıl sonra bu oran 5/7 olacaktır. Ayşe şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm (fark yöntemi):

1. Şimdi: Ayşe 3k, Fatma 5k. Fark 5k − 3k = 2k.

2. 8 yıl sonra: Ayşe 5m, Fatma 7m. Fark 7m − 5m = 2m.

3. Fark değişmediği için 2k = 2m, yani k = m.

4. Ayşe'nin yaşı 3k'dan 5k'ya çıkmış, yani 2k artmış. Bu artış 8 yıldır: 2k = 8, k = 4.

5. Ayşe 3 × 4 = 12, Fatma 5 × 4 = 20.

6. Kontrol: 8 yıl sonra 20 ve 28; 20/28 = 5/7 doğru.

Cevap: Ayşe 12 yaşında.

Örnek 5 (zor – toplam yaş)

Bir babanın yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. 12 yıl sonra çocukların yaşları toplamı, babanın yaşının 3/2 katı olacaktır. Baba şimdi kaç yaşındadır?

Çözüm:

1. Şimdi baba B, çocukların toplamı da B.

2. 12 yıl sonra baba B + 12 olur.

3. Üç çocuğun her biri 12 yaş büyür; toplam 3 × 12 = 36 artar: B + 36.

4. Koşul: B + 36 = (3/2) · (B + 12).

5. İki tarafı 2 ile çarpalım: 2B + 72 = 3B + 36.

6. 72 − 36 = 3B − 2B, yani B = 36.

7. Kontrol: 12 yıl sonra baba 48, çocuklar 36 + 36 = 72; 48 × 3/2 = 72 doğru.

Cevap: Baba 36 yaşında.

Örnek 6 (zor – "ben senin yaşındayken")

Bir kişi arkadaşına şöyle diyor: "Ben senin yaşındayken sen 4 yaşındaydın. Sen benim yaşıma geldiğinde ben 31 yaşında olacağım." İkisinin şimdiki yaşları nedir?

Çözüm:

1. Yaş farkına d diyelim. Konuşan büyük olan: şimdi A, arkadaşı B, A − B = d.

2. "Ben senin yaşındayken" demek d yıl öncesi demektir; o zaman arkadaş B − d = 4 yaşındaydı. Buradan B = 4 + d.

3. "Sen benim yaşıma geldiğinde" demek d yıl sonrası demektir; o zaman konuşan A + d = 31 olacak.

4. A = B + d = 4 + 2d olduğundan A + d = 4 + 3d = 31.

5. 3d = 27, d = 9. Buradan B = 13, A = 22.

6. Kontrol: 9 yıl önce konuşan 13, arkadaşı 4 yaşındaydı. 9 yıl sonra arkadaş 22, konuşan 31 olacak. İkisi de tutuyor.

Cevap: Konuşan 22, arkadaşı 13 yaşında.

Örnek 7 (TYT tipi – şık eleme)

Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katıdır. 5 yıl sonra annenin yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı olacaktır. Anne şimdi kaç yaşındadır?

A) 40   B) 42   C) 44   D) 45   E) 50

Çözüm (şık eleme):

1. Annenin yaşı, çocukların toplamının 3 katı olduğu için 3'e bölünmeli. 40, 44 ve 50 elenir. Geriye 42 ve 45 kalır.

2. 42'yi deneyelim: çocukların toplamı 14. 5 yıl sonra anne 47, çocuklar 14 + 10 = 24 olur. 2 × 24 = 48 ≠ 47. Elenir.

3. 45'i deneyelim: çocukların toplamı 15. 5 yıl sonra anne 50, çocuklar 15 + 10 = 25 olur. 2 × 25 = 50 doğru.

Çözüm (denklem): Çocukların toplamı S olsun. 3S + 5 = 2 · (S + 10), yani 3S + 5 = 2S + 20 ve S = 15. Anne 45.

Cevap: D) 45.

TYT için sınav taktikleri

• Süre: Yaş problemlerine ortalama 1–1,5 dakika ayır. Tabloyu kafanda değil, kâğıda kısaca çiz.
• Tam sayı süzgeci: Yaşlar genellikle tam sayıdır. "4 katı" diyorsa yaş 4'e bölünmelidir. Bu bilgi bazı şıkları hemen eler.
• Fark sabit: Oranlı sorularda önce farkı k cinsinden yaz; çoğu zaman denklem kurmadan k bulunur.
• Toplamda kişi sayısı: "Toplam yaş" gördüğünde kaç kişi olduğunu say ve yılı o sayıyla çarp.
• Kalan şıkları dene: Eleme sonrası 1–2 şık kalırsa, denklem çözmek yerine şıkları koşula koymak çoğu zaman daha hızlıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: "10 yıl sonra baba 50, oğul 20 olur; fark 30 olduğu için bugünkü fark da farklıdır." Doğrusu: Fark hiç değişmez. Bugün baba 40, oğul 10 ise fark bugün de 30'dur.
• Yanlış: 3 kişinin yaş toplamı 60 ise 5 yıl sonra toplam 65 olur. Doğrusu: Her kişi 5 yaş büyür, toplam 3 × 5 = 15 artar; yeni toplam 75'tir.
• Yanlış: "x yıl sonra baba oğlunun 2 katı" için 40 + x = 2 · 12 + x yazmak. Doğrusu: Parantezi unutma; 2 katı alınan şey oğlun o zamanki yaşıdır: 40 + x = 2 · (12 + x).
• Yanlış: Anne 30, çocuk 3 yaşında; 5 yıl önceki toplam 33 − 10 = 23. Doğrusu: 5 yıl önce çocuk henüz doğmamıştı. O yıl sadece anne vardı; toplam 25'tir.
• Yanlış: Yaşların oranı 3/5 ise yaşlar 3 ve 5'tir. Doğrusu: Oran yalnızca "kaç parça" olduğunu söyler; yaşlar 3k ve 5k'dır, k ayrıca bulunur.

Alıştırma

1. Can 8, ablası 14 yaşındadır. 10 yıl sonra aralarındaki yaş farkı kaç olur?

2. İki kardeşin yaşları toplamı 30'dur. 4 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?

3. Bir baba 42, oğlu 10 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?

4. Bir annenin yaşı kızının yaşının 5 katıdır. Aralarındaki yaş farkı 28 ise anne kaç yaşındadır?

5. Dört kişilik bir ailenin yaşları toplamı 96'dır. En küçük çocuk 5 yaşında olduğuna göre, 3 yıl önce ailenin yaşları toplamı kaçtı?

6. İki kişinin yaşlarının oranı 2/3'tür. 6 yıl sonra bu oran 3/4 olacaktır. Küçük olan şimdi kaç yaşındadır?

7. Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 6 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 7 katıydı. Baba şimdi kaç yaşındadır?

8. Üç kardeşin yaşları toplamı 27'dir. Kaç yıl sonra yaşları toplamı 45 olur?

9. Bir kişi kardeşine şöyle diyor: "Ben senin yaşındayken sen 6 yaşındaydın. Sen benim yaşıma geldiğinde ben 36 yaşında olacağım." İkisinin şimdiki yaşları nedir?

10. Bir anne ile iki çocuğunun yaşları toplamı 55'tir. 5 yıl önce annenin yaşı, çocukların yaşları toplamının 3 katıydı. Çocukların ikisi de 5 yaşından büyük olduğuna göre anne şimdi kaç yaşındadır? A) 30 B) 32 C) 35 D) 38 E) 40

Cevap Anahtarı

• 1) 6 – Fark zamanla değişmez: 14 − 8 = 6.
• 2) 38 – İki kişi 4'er yaş büyür: 30 + 2 × 4 = 38.
• 3) 6 yıl – 42 + x = 3 · (10 + x) ise 12 = 2x, x = 6 (48 = 3 × 16).
• 4) 35 – Kız x, anne 5x ise 4x = 28, x = 7, anne 35.
• 5) 84 – Herkes 3 yıl önce doğmuştu: 96 − 4 × 3 = 84.
• 6) 12 – Fark önce k, sonra m olduğundan k = m; küçüğün yaşı 2k'dan 3k'ya çıkar, k = 6, yaşlar 12 ve 18 (18/24 = 3/4).
• 7) 48 – 4x − 6 = 7 · (x − 6) ise 3x = 36, x = 12, baba 48 (6 yıl önce 42 = 7 × 6).
• 8) 6 yıl – Toplam her yıl 3 artar: 3x = 45 − 27 = 18, x = 6.
• 9) 26 ve 16 – Fark d ise kardeş 6 + d, konuşan 6 + 2d ve 6 + 3d = 36, d = 10.
• 10) C) 35 – A − 5 = 3 · (S − 10) ve A + S = 55 ise S = 20, A = 35 (5 yıl önce 30 = 3 × 10).

Dersin özeti

• Zaman herkes için aynı akar: x yıl sonra her kişinin yaşı x artar, x yıl önce x azalır.
• İki kişinin yaş farkı hiç değişmez; oranlı sorularda bu bilgi en hızlı çözüm yoludur.
• n kişinin yaş toplamı x yılda n·x değişir; geçmişe giderken henüz doğmamış kişiyi hesaba katma.
• Geçmiş – şimdi – gelecek tablosunu kur, bilinmeyeni "şimdi" sütununa yaz, koşulu parantezle denkleme çevir.
• TYT'de önce bölünebilme ve tam sayı süzgeciyle şıkları ele, kalanları koşula koyarak dene. Sıradaki derste başka bir problem türünde de aynı "tablo kur, bilinmeyeni seç, kontrol et" yaklaşımını kullanacağız.