İşçi ve Havuz Problemleri

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde bir problemi okuyup bilinmeyene harf vermeyi, oran kurmayı ve denklemi adım adım çözmeyi çalıştık. Bu derste aynı beceriyi çok sevilen bir soru ailesine uygulayacağız: işçi ve havuz problemleri. Bu soruların hepsinde tek bir fikir vardır: bir iş belli bir sürede bitiyorsa, her saatte (ya da her günde) o işin belli bir parçası yapılır.

Bir boyacı bir odayı 6 saatte boyuyorsa 1 saatte odanın 1/6'sını boyar. Arkadaşı aynı odayı 3 saatte boyuyorsa 1 saatte odanın 1/3'ünü boyar. İkisi birlikte çalışınca her saat bu iki parça toplanır. Bir bahçe hortumu havuzu doldururken dipteki tıkaç açık kalmışsa, doldurulan kısımdan boşalan kısım çıkar. Sınavdaki havuz soruları tam olarak bu durumu anlatır.

Bu tür soruları ezberle çözmeye çalışan öğrenci en çok süreleri toplama hatasına düşer. Oysa iki kişi birlikte çalışınca iş daha kısa sürede biter; süre artmaz. Bu dersin sonunda "süreleri değil, 1 saatte yapılan işleri toplarız" cümlesinin nedenini anlamış olacaksın.

Tanım ve kural

Temel fikir: Bir işi t saatte bitiren kişi, 1 saatte işin 1/t'sini yapar. Buna o kişinin iş hızı diyebiliriz.

Neden? İş t eşit saate yayılıyor. Hız sabitse her saatte eşit miktar yapılır. Bütünü t eşit parçaya bölünce her parça 1/t olur.

Birlikte çalışma: İki kişi aynı anda çalışıyorsa 1 saatte yaptıkları işler toplanır: 1/a + 1/b = 1/t. Burada t, birlikte bitirme süresidir. Toplamı bulduktan sonra ters çevirmeyi unutma; çünkü bulduğun sayı süre değil, 1 saatte yapılan iş miktarıdır.

Havuz: Dolduran musluklar işi ileri götürür (+), boşaltan gider geri götürür (−). Boş havuz için: 1/a − 1/b = 1/t (a: doldurma süresi, b: boşaltma süresi, a < b olmalı; yoksa havuz hiç dolmaz).

Hesabı kısaltma taktiği: İşin tamamını 1 almak yerine sürelerin ortak katı kadar birim alabilirsin. Örneğin süreler 6 ve 3 ise işi 6 birim say. Böylece hızlar tam sayı olur ve paydalarla uğraşmazsın. Sonucu değiştirmez, çünkü yalnızca ölçü birimini değiştirmiş olursun.

Kısa formüller (iki kişi için): Birlikte süre = a·b/(a+b). Musluk-gider süresi = a·b/(b−a). Bunları ezberlemek yerine nereden geldiğini bil: 1/a + 1/b = (a+b)/(a·b), ters çevirince a·b/(a+b) olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Kolay)

Ali bir işi 6 saatte, Ayşe aynı işi 3 saatte bitiriyor. İkisi birlikte bu işi kaç saatte bitirir?

Çözüm:

Süreler 6 ve 3; ortak kat 6. İşi 6 birim alalım.

Ali 1 saatte 6 ÷ 6 = 1 birim yapar.

Ayşe 1 saatte 6 ÷ 3 = 2 birim yapar.

Birlikte 1 saatte 1 + 2 = 3 birim yaparlar.

6 birimlik iş 6 ÷ 3 = 2 saatte biter.

Kontrol: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2, ters çevirince 2.

Sonuç: 2 saat

Örnek 2 (Kolay)

Aynı hızda çalışan 4 işçi bir işi 12 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 6 işçi bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm:

İşin büyüklüğü: 4 işçi × 12 gün = 48 işçi-gün.

Yani tek işçi bu işi 48 günde bitirirdi.

6 işçi: 48 ÷ 6 = 8 gün.

Mantık kontrolü: işçi arttı, süre azaldı. Doğru yöndeyiz.

Sonuç: 8 gün

Örnek 3 (Orta)

Bir musluk boş havuzu 12 saatte dolduruyor. Dipteki gider dolu havuzu 18 saatte boşaltıyor. Havuz boşken ikisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm:

12 ve 18'in ortak katı 36. Havuzu 36 birim alalım.

Musluk 1 saatte 36 ÷ 12 = 3 birim doldurur.

Gider 1 saatte 36 ÷ 18 = 2 birim boşaltır.

Net olarak 1 saatte 3 − 2 = 1 birim dolar.

36 birim 36 ÷ 1 = 36 saatte dolar.

Formülle kontrol: 12·18/(18 − 12) = 216/6 = 36.

Sonuç: 36 saat

Örnek 4 (Orta)

A işçisi bir işi 10 günde, B işçisi 15 günde bitiriyor. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra A ayrılıyor. Kalan işi B tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm:

10 ve 15'in ortak katı 30. İşi 30 birim alalım.

A günde 30 ÷ 10 = 3 birim, B günde 30 ÷ 15 = 2 birim yapar.

Birlikte günde 3 + 2 = 5 birim yaparlar.

4 günde 4 × 5 = 20 birim yapılır.

Kalan iş: 30 − 20 = 10 birim.

B bunu 10 ÷ 2 = 5 günde bitirir.

Sonuç: 5 gün

Örnek 5 (Orta, sonradan katılma)

A bir işi 12 saatte, B aynı işi 8 saatte bitiriyor. A işe başlıyor, 2 saat sonra B de katılıyor. İş, A başladıktan kaç saat sonra biter?

Çözüm:

12 ve 8'in ortak katı 24. İşi 24 birim alalım.

A saatte 24 ÷ 12 = 2 birim, B saatte 24 ÷ 8 = 3 birim yapar.

A'nın tek başına çalıştığı 2 saatte 2 × 2 = 4 birim yapılır.

Kalan iş: 24 − 4 = 20 birim.

Birlikte saatte 2 + 3 = 5 birim; 20 ÷ 5 = 4 saat.

Toplam süre: 2 + 4 = 6 saat.

Sonuç: 6 saat

Örnek 6 (Zor, bilinmeyen süre)

A ve B birlikte bir işi 6 günde bitiriyor. A tek başına aynı işi 10 günde bitiriyor. B tek başına bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm:

Birlikte 1 günde: 1/6. A 1 günde: 1/10.

B 1 günde: 1/6 − 1/10.

Paydaları eşitle: 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15.

B günde işin 1/15'ini yapıyorsa işi 15 günde bitirir.

Kontrol: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6. Doğru.

Sonuç: 15 gün

Örnek 7 (Zor, hız oranı ve üç kaynak)

A, B'den 2 kat hızlı çalışıyor ve ikisi birlikte bir işi 6 günde bitiriyor. A tek başına bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm:

B'nin günlük işine x diyelim; A'nın günlük işi 2x olur.

Birlikte günde 2x + x = 3x iş yaparlar.

6 günde işin tamamı biter: 3x · 6 = 1, yani 18x = 1.

x = 1/18 olur; A'nın günlük işi 2x = 2/18 = 1/9.

A işi 9 günde bitirir (B ise 18 günde).

Kontrol: 1/9 + 1/18 = 2/18 + 1/18 = 3/18 = 1/6. Doğru.

Sonuç: 9 gün

Sık yapılan hatalar

• Süreleri toplamak: "6 saat ve 3 saat, birlikte 9 saat" yanlıştır. → Doğrusu 1 saatlik işleri toplamaktır: 1/6 + 1/3 = 1/2, yani 2 saat. Birlikte süre, en hızlı kişinin süresinden bile kısa olmalıdır.
• Süreleri çıkarmak: Musluk 12, gider 18 saat ise "18 − 12 = 6 saat" yanlıştır. → Doğrusu 1/12 − 1/18 = 1/36, yani 36 saat.
• Ters çevirmeyi unutmak: 1/6 + 1/3 = 1/2 bulup "yarım saat" demek yanlıştır. → 1/2, 1 saatte yapılan iş miktarıdır; süre 2 saattir.
• Önceden yapılan işi unutmak: Örnek 5'te A'nın tek başına yaptığı 4 birimi atlayıp 24 ÷ 5 hesaplamak yanlıştır. → Önce kalan işi bul (24 − 4 = 20), sonra hıza böl; soru toplam süreyi soruyorsa ilk 2 saati de ekle.
• İşçi sayısıyla süreyi doğru orantılı sanmak: "4 işçi 12 gün ise 6 işçi 18 gün" yanlıştır. → İşçi sayısı ile süre ters orantılıdır: 4 × 12 = 6 × t, t = 8 gün.

TYT taktikleri

• Soru tipi: TYT'de genellikle birlikte çalışma, bir kişinin ayrılması ya da sonradan katılması, musluk-gider ve hız oranı verilen sorular gelir.
• Süre: Bu tür bir soruya yaklaşık 1,5-2 dakika ayırmayı hedefle. İşi ortak kat kadar birim almak çoğu zaman bu süreyi kısaltır.
• Şık eleme: Birlikte çalışma sorusunda en kısa tek kişilik süreden büyük ya da eşit olan şıkları hemen ele. Musluk-gider sorusunda ise cevap, musluğun tek başına doldurma süresinden büyük olmalıdır.
• Kontrol: Bulduğun cevabı geri yerleştir: hızların toplamı × süre = 1 çıkıyor mu?

Alıştırma

1) A bir işi 4 saatte, B aynı işi 12 saatte bitiriyor. İkisi birlikte kaç saatte bitirir?

2) Bir musluk boş havuzu 5 saatte dolduruyor, gider dolu havuzu 20 saatte boşaltıyor. Havuz boşken ikisi açılırsa havuz kaç saatte dolar?

3) Aynı hızda çalışan 3 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 5 işçi bu işi kaç günde bitirir?

4) A ve B birlikte bir işi 4 saatte, A tek başına 6 saatte bitiriyor. B tek başına kaç saatte bitirir?

5) A bir işi 8 günde, B 12 günde bitiriyor. Birlikte 3 gün çalıştıktan sonra B ayrılıyor. Kalan işi A kaç günde bitirir?

6) Üç musluk boş bir havuzu ayrı ayrı 6, 10 ve 15 saatte dolduruyor. Üçü birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

7) A, B'den 3 kat hızlı çalışıyor ve ikisi birlikte bir işi 3 günde bitiriyor. B tek başına bu işi kaç günde bitirir?

8) Bir havuzun 1/3'ü dolu. Boş havuzu 9 saatte dolduran musluk açılırsa havuzun geri kalanı kaç saatte dolar?

9) Bir musluk boş havuzu 3 saatte dolduruyor, gider dolu havuzu 4 saatte boşaltıyor. Havuz boşken ikisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

10) A bir işi 10 saatte, B 15 saatte bitiriyor. A 5 saat tek başına çalıştıktan sonra B de katılıyor. İş, A başladıktan kaç saat sonra biter?

Cevap Anahtarı

• 1) 3 saat — 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3, ters çevir.
• 2) 20/3 saat (6 saat 40 dakika) — 1/5 − 1/20 = 4/20 − 1/20 = 3/20, ters çevir.
• 3) 6 gün — 3 × 10 = 30 işçi-gün, 30 ÷ 5 = 6.
• 4) 12 saat — 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12.
• 5) 3 gün — İş 24 birim, birlikte günde 5 birimle 3 günde 15 birim, kalan 9 birimi A günde 3 birimle 3 günde bitirir.
• 6) 3 saat — Havuz 30 birim, saatte 5 + 3 + 2 = 10 birim dolar.
• 7) 12 gün — B'nin günlük işi x ise 4x · 3 = 1, x = 1/12.
• 8) 6 saat — Kalan kısım 2/3, bu da 9 saatin 2/3'ü yani 6 saat sürer.
• 9) 12 saat — 1/3 − 1/4 = 4/12 − 3/12 = 1/12.
• 10) 8 saat — İş 30 birim, A 5 saatte 15 birim yapar, kalan 15 birimi birlikte saatte 5 birimle 3 saatte bitirirler; 5 + 3 = 8.

Dersin özeti

• Bir işi t saatte bitiren kişi 1 saatte işin 1/t'sini yapar; süreler değil, bu 1 saatlik işler toplanır.
• Birlikte çalışmada 1/a + 1/b, musluk-giderde 1/a − 1/b hesaplanır ve sonuç ters çevrilerek süre bulunur.
• İşin tamamını sürelerin ortak katı kadar birim almak, paydalardan kurtarıp hesabı kısaltır.
• Sonradan katılma ya da ayrılma sorularında önce yapılan işi bul, kalan işi yeni hıza böl, gerekiyorsa süreleri topla.
• Birlikte çalışma süresi en kısa tek kişilik süreden kısa olmalıdır; bu kural şık elemede işe yarar. Kursun son dersinde bu düşünme biçimini diğer problem türleriyle birlikte kullanacağız.