Sayı Problemlerine Giriş: Sözel İfadeyi Denkleme Çevirme

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derslerde sayılarla işlem yapmayı ve temel kavramları konuştuk. Bu derste öğrendiklerimizi bir üst basamağa taşıyoruz: Türkçe yazılmış bir cümleyi matematik diline, yani bir denkleme çeviriyoruz. TYT problemlerinin büyük kısmında zorluk hesapta değil, bu çeviridedir. Bu beceriyi burada sağlam kurarsan sonraki derslerdeki problem türleri çok daha kolay gelir.

Günlük hayattan giriş

Bir arkadaşın sana şöyle desin: “Aklımdan bir sayı tuttum. Onu 3 ile çarpıp 5 ekledim, 26 çıktı.” Muhtemelen hemen geriye doğru düşünürsün: 26'dan 5 çıkarırsın, 21 kalır; 21'i 3'e bölersin, 7 bulursun. Aslında farkında olmadan bir denklem kurup çözdün. Bu derste o içgüdüsel düşünceyi düzenli bir yönteme dönüştüreceğiz.

Günlük hayatta da benzer cümleler sık kullanılır: “Bu ayki faturamız geçen ayın iki katından 40 lira fazla geldi.”, “Kardeşimin yaşının 3 fazlası benim yaşımın yarısına eşit.” Bu cümlelerde bilinmeyen bir miktar ve o miktarla yapılan işlemler vardır. Cümleyi doğru okursan işlem sırası kendiliğinden ortaya çıkar.

Sınavda da durum aynıdır: Soru uzun bir paragraf gibi görünür ama içinde genellikle bir iki basit denklem saklıdır. Problemin yarısı bilinmeyeni doğru seçmek, diğer yarısı da denklemi sade kurmaktır. Çözmek çoğu zaman en kolay kısımdır.

Tanım ve kural

Bilinmeyen: Değerini bilmediğimiz sayıya bir harf veririz; genellikle x. Önce “x neyi gösteriyor?” sorusunu kendine açıkça cevapla. Örneğin “x = küçük sayı” gibi bir not düş.

Temel kural: Türkçe tamlamayı içten dışa oku. “Bir sayının 3 katının 5 fazlası” ifadesinde önce “bir sayının 3 katı” vardır, yani 3x. Sonra “bunun 5 fazlası” gelir: 3x + 5. Cümlede en son söylenen işlem, en dışta yapılan işlemdir.

Neden öyle? “5 fazlası” kimin 5 fazlası? “Sayının 3 katının” 5 fazlası. Yani 5'i ekleyeceğimiz şey artık x değil, 3x'tir. Tersine “bir sayının 5 fazlasının 3 katı” dersek 3 ile çarpacağımız şey x + 5 olur. Bütün bir ifadeyi çarptığımız için paranteze alırız: 3(x + 5). Parantez, “bu grubun tamamı” demenin matematikteki karşılığıdır.

İkinci kural: “eşittir” kelimesini bul. “…dır, …dir, …e eşittir, …verir, …olur” gibi ifadeler eşittir işaretinin yeridir. Eşitliğin sol tarafına bir ifadeyi, sağ tarafına diğerini yazarsın.

Üçüncü kural: bilinmeyeni akıllıca seç. Birden fazla bilinmeyen varsa hepsini tek harfle yazmaya çalış. Oran veya kesir varsa paydaları yok edecek şekilde seç. Örneğin kızlar erkeklerin 3/5'i ise erkeklere 5k, kızlara 3k demek kesirden kurtarır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir sayının 3 katının 5 fazlası 26'dır. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayıya x diyelim.

Adım 2: “3 katı” → 3x; “bunun 5 fazlası” → 3x + 5.

Adım 3: “26'dır” → 3x + 5 = 26.

Adım 4: İki taraftan 5 çıkar: 3x = 21.

Adım 5: İki tarafı 3'e böl: x = 7.

Kontrol: 3 × 7 + 5 = 21 + 5 = 26. Doğru.

Sonuç: x = 7

Örnek 2: Bir sayının 5 fazlasının 3 katı 36'dır. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayıya x diyelim.

Adım 2: “5 fazlası” → x + 5; “bunun 3 katı” → 3(x + 5).

Adım 3: Denklem: 3(x + 5) = 36.

Adım 4: İki tarafı 3'e böl: x + 5 = 12.

Adım 5: İki taraftan 5 çıkar: x = 7.

Kontrol: (7 + 5) × 3 = 12 × 3 = 36. Doğru.

Sonuç: x = 7. Örnek 1 ile karşılaştır: kelimelerin sırası değişince denklem de değişti.

Örnek 3: Bir sayının 4 katı ile 6 fazlasının farkı 21'dir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayı x olsun. 4 katı: 4x. 6 fazlası: x + 6.

Adım 2: Fark: 4x − (x + 6). Parantez şart, çünkü çıkarılan şey x + 6'nın tamamıdır.

Adım 3: Parantezi aç: 4x − x − 6 = 3x − 6.

Adım 4: Denklem: 3x − 6 = 21 → 3x = 27 → x = 9.

Kontrol: 4 × 9 = 36; 9 + 6 = 15; 36 − 15 = 21. Doğru.

Sonuç: x = 9

Örnek 4: Bir sayının yarısının 4 eksiği, aynı sayının üçte birine eşittir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Sayı x olsun. Yarısının 4 eksiği: x/2 − 4. Üçte biri: x/3.

Adım 2: Denklem: x/2 − 4 = x/3.

Adım 3: Paydalardan kurtulmak için her terimi 6 ile çarp: 3x − 24 = 2x.

Adım 4: 2x'i sola al: 3x − 2x = 24 → x = 24.

Kontrol: 24/2 − 4 = 12 − 4 = 8; 24/3 = 8. Doğru.

Sonuç: x = 24

Örnek 5: Ardışık üç tek sayının toplamı 81'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Tek sayılar ikişer ikişer artar. En küçüğüne x dersek sayılar: x, x + 2, x + 4.

Adım 2: Toplam: x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6.

Adım 3: Denklem: 3x + 6 = 81 → 3x = 75 → x = 25.

Adım 4: Soru en büyüğü istiyor: x + 4 = 29.

Kontrol: 25 + 27 + 29 = 81. Doğru.

Sonuç: 29

Örnek 6: İki sayının toplamı 50'dir. Büyük sayı, küçük sayının 4 katından 5 eksiktir. Büyük sayı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: İki bilinmeyen var ama tek harf yeter. Küçük sayı = x.

Adım 2: “4 katından 5 eksik” → büyük sayı = 4x − 5.

Adım 3: Toplam: x + 4x − 5 = 50 → 5x − 5 = 50.

Adım 4: 5x = 55 → x = 11.

Adım 5: Büyük sayı: 4 × 11 − 5 = 44 − 5 = 39.

Kontrol: 11 + 39 = 50. Doğru.

Sonuç: 39

Örnek 7: Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 3/5'i kadardır. Sınıf mevcudu 40 olduğuna göre sınıfta kaç kız öğrenci vardır?

Çözüm:

Adım 1: Erkeklere x dersek kızlar 3x/5 olur ve kesirle uğraşırız. Bunun yerine erkek = 5k, kız = 3k seçelim.

Adım 2: Kontrol et: 3k, 5k'nin gerçekten 3/5'i mi? 5k × 3/5 = 3k. Evet.

Adım 3: Toplam: 5k + 3k = 8k = 40 → k = 5.

Adım 4: Kız sayısı: 3k = 3 × 5 = 15.

Kontrol: Erkek 25, kız 15; 25 + 15 = 40 ve 25'in 3/5'i 15'tir. Doğru.

Sonuç: 15 kız öğrenci

TYT'de bu soru tipi: süre ve şık eleme

• Soru tipi: Genellikle kısa bir sözel ifade verilir ve bir sayı, en büyük/en küçük değer ya da iki sayının toplamı/farkı istenir.
• Süre: Bu tür bir sorunun çözümü için yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmayı hedefle. Denklemi kurduktan sonra çözüm birkaç satır sürmeli; uzuyorsa bilinmeyeni yeniden seçmeyi düşün.
• Şıkları yerine koy: Denklem kurmakta zorlanırsan şıkları sırayla cümleye yerleştir. Örnek 1'de 7'yi koyunca 3 × 7 + 5 = 26 hemen doğrulanır.
• Mantıkla ele: Ardışık tek sayılar soruluyorsa çift şıklar elenir. Kişi sayısı soruluyorsa tam sayı olmayan şıklar elenir. Kız sayısı 3k biçimindeyse 3'e bölünmeyen şıklar elenir.
• Soruyu tekrar oku: x'i bulunca durma; soru x'i mi, yoksa x + 4 gibi başka bir şeyi mi istiyor, kontrol et.

Sık yapılan hatalar

• Kelime sırasını karıştırmak: “Bir sayının 5 fazlasının 3 katı” için 3x + 5 yazmak yanlıştır. Doğrusu: 3(x + 5). Çünkü 3 ile çarpılan şey x + 5'in tamamıdır.
• Eksiği ters yazmak: “Bir sayının 7 eksiği” için 7 − x yazmak yanlıştır. Doğrusu: x − 7. 7 − x ise “7'nin bir sayı kadar eksiği” demektir.
• Farkta parantezi unutmak: “4 katı ile 6 fazlasının farkı 21” için 4x − x + 6 = 21 yazıp x = 5 bulmak yanlıştır. Doğrusu: 4x − (x + 6) = 21 → 3x − 6 = 21 → x = 9.
• Ardışık tek/çift sayıları 1'er artırmak: Ardışık tek sayılar için x, x + 1, x + 2 yazmak yanlıştır; x + 1 çift sayı olur. Doğrusu: x, x + 2, x + 4.
• x'i cevap sanmak: Örnek 5'te x = 25 bulup “25” işaretlemek yanlıştır. Soru en büyük sayıyı istiyor: x + 4 = 29.

Alıştırma

1) Bir sayının 4 katının 3 eksiği 25'tir. Bu sayı kaçtır?

2) Bir sayının 3 eksiğinin 4 katı 28'dir. Bu sayı kaçtır?

3) Bir sayının yarısı ile aynı sayının 6 fazlasının toplamı 30'dur. Bu sayı kaçtır?

4) Ardışık üç tam sayının toplamı 72'dir. En küçüğü kaçtır?

5) Ardışık iki çift sayının toplamı 94'tür. Büyük olanı kaçtır?

6) İki sayının toplamı 60'tır. Sayılardan biri diğerinin 2 katıdır. Büyük sayı kaçtır?

7) Bir sayının 2 katının 9 fazlası, aynı sayının 5 katından 6 eksiktir. Bu sayı kaçtır?

8) Bir sayının 3 katı ile 4 eksiğinin farkı 18'dir. Bu sayı kaçtır?

9) Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 4/5'idir. Sınıf mevcudu 36 ise kaç erkek öğrenci vardır?

10) Bir sayının üçte birinin 2 fazlası, aynı sayının dörtte birinin 4 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 7 — 4x − 3 = 25 → 4x = 28 → x = 7.
• 2) 10 — 4(x − 3) = 28 → x − 3 = 7 → x = 10.
• 3) 16 — x/2 + x + 6 = 30 → 3x/2 = 24 → x = 16.
• 4) 23 — x + (x + 1) + (x + 2) = 72 → 3x + 3 = 72 → x = 23.
• 5) 48 — x + (x + 2) = 94 → 2x = 92 → x = 46, büyük olan x + 2 = 48.
• 6) 40 — x + 2x = 60 → x = 20, büyük sayı 2x = 40.
• 7) 5 — 2x + 9 = 5x − 6 → 15 = 3x → x = 5.
• 8) 7 — 3x − (x − 4) = 18 → 2x + 4 = 18 → x = 7.
• 9) 20 — Erkek 5k, kız 4k seç: 9k = 36 → k = 4, erkek 5k = 20.
• 10) 24 — x/3 + 2 = x/4 + 4 → her terimi 12 ile çarp: 4x + 24 = 3x + 48 → x = 24.

Dersin özeti

• Önce bilinmeyeni seç ve neyi gösterdiğini açıkça yaz; birden fazla bilinmeyeni mümkünse tek harfle ifade et.
• Türkçe tamlamayı içten dışa oku: “3 katının 5 fazlası” 3x + 5, “5 fazlasının 3 katı” 3(x + 5) olur.
• Bir grubun tamamı çarpılıyor ya da çıkarılıyorsa parantez kullan; “eşittir, …dır” gibi kelimeler eşittir işaretinin yeridir.
• Oran veya kesir varsa 5k, 3k gibi seçimlerle kesirden kurtul; ardışık tek/çift sayıları 2'şer artır.
• Sonucu cümleye yerleştirerek kontrol et, sorunun tam olarak neyi istediğini tekrar oku; sınavda şıkları yerine koyarak ve mantıkla eleyerek zaman kazan. Sonraki derste bu çeviri becerisini daha kapsamlı problem türlerinde kullanacağız.