Basit Olayların Olasılığını Hesaplama

Günlük hayattan giriş

Hava durumunda “yarın yağış ihtimali yüksek” dendiğini duymuşsundur. Bir kura çekilişinde “Benim adımın çıkma şansı ne kadar?” diye düşünmüşsündür. Masa oyununda zar atmadan önce “Keşke 6 gelse” diye beklemişsindir. Bu cümlelerin hepsinde aynı soru var: Bir şeyin olma şansı ne kadar? Matematikte bu şansı bir sayıyla gösteririz. Bu sayıya olasılık deriz.

Önceki derste bir deneyin olası durumlarını yazmayı öğrendik. Zar atınca 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelebileceğini, torbadan hangi renklerin çıkabileceğini tek tek listeledik. Eşit şanslı durumları ve “kesin”, “imkânsız” olayları da tanıdık. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz. Listelediğimiz durumları sayıp bir oran kuracağız. Böylece “şans” sözünü bir sayıya çevireceğiz.

Şöyle düşün: Sınıfta 30 öğrencinin adı kâğıtlara yazılıp bir kutuya atılıyor. İçinden bir kâğıt çekiliyor. Senin adının çıkma şansı 30'da 1'dir. Kutuda senin adın 3 kâğıtta yazsaydı şansın 30'da 3 olurdu. Kısacası kaç durumun işine yaradığını ve toplamda kaç durum olduğunu bilirsen olasılığı bulabilirsin. LGS'de torba, zar, kart ve çark soruları tam olarak bu düşünceyle çözülür.

Tanım ve kural

Bütün durumların eşit şanslı olduğu bir deneyde, bir olayın olasılığı şöyle bulunur:

P(olay) = istenen durum sayısı / tüm durumların sayısı

Bu kural neden doğru? Zar hilesizse altı yüzün her birinin gelme şansı aynıdır. Toplam şansı 1 bütün olarak düşünürsek bu bütün 6 eşit parçaya bölünür. Her yüz 1/6'lık bir parça alır. “Çift sayı gelmesi” olayı 2, 4 ve 6 yüzlerinden oluşur, yani 3 parça alır. 3 tane 1/6 toplanınca 3/6 eder. Kısacası kural, “kaç eşit parçadan kaçını istiyorum?” sorusunun cevabıdır. Bu yüzden durumlar eşit şanslı değilse kural doğrudan kullanılamaz.

Olasılık neden 0 ile 1 arasındadır? İstenen durum sayısı en az 0 olabilir, en fazla da tüm durumların sayısı kadar olabilir. Pay hiçbir zaman paydadan büyük olamaz. Bu yüzden olasılık 0'dan küçük ya da 1'den büyük çıkamaz: 0 ≤ P ≤ 1.

Olma ve olmama olasılığının toplamı neden 1 eder? Torbada 10 bilye olsun, 3'ü kırmızı olsun. Kırmızı çekme olasılığı 3/10'dur. Geri kalan 7 bilye kırmızı değildir. O hâlde kırmızı çekmeme olasılığı 7/10'dur. Her bilye ya kırmızıdır ya da değildir. İki grup, toplam durumu tam olarak paylaşır: 3 + 7 = 10. Bu yüzden 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 olur. Genel olarak şöyle yazarız:

P(olmama) = 1 − P(olma)

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze 4 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Tüm durumlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 durum.

İstenen durum: yalnızca 4 → 1 durum.

Olasılık = 1/6.

Sonuç: 1/6

Örnek 2

Bir torbada 3 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil bilye var. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Tüm bilyeler: 3 + 5 + 2 = 10.

Mavi bilyeler: 5.

Olasılık = 5/10.

Sadeleştirelim: 5/10 = 1/2.

Sonuç: 1/2

Örnek 3

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Tüm durumlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 durum.

Bu sayılardan asal olanlar: 2, 3, 5. (1 asal sayı değildir, çünkü asal sayıların tam olarak 2 böleni vardır, 1'in ise tek böleni vardır.)

İstenen durum sayısı: 3.

Olasılık = 3/6 = 1/2.

Sonuç: 1/2

Örnek 4

1'den 20'ye kadar (1 ve 20 dahil) numaralanmış 20 kart bir kutuda. Rastgele bir kart çekiliyor. Kartın numarasının 3'ün katı olma ve 3'ün katı olmama olasılıklarını bulunuz.

Çözüm:

Tüm durumlar: 20 kart.

3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18 → 6 tane.

3'ün katı olma olasılığı = 6/20 = 3/10.

3'ün katı olmayan kart sayısı: 20 − 6 = 14.

3'ün katı olmama olasılığı = 14/20 = 7/10.

Kontrol: 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1. Olma ve olmama olasılıkları toplamı 1 oldu.

Sonuç: 3'ün katı olma olasılığı 3/10, olmama olasılığı 7/10

Örnek 5

Bir torbada 4 kırmızı top ve bir miktar mavi top var. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı 1/3'tür. Torbada kaç mavi top vardır?

Çözüm:

Kırmızı olma olasılığı = kırmızı sayısı / toplam top sayısı.

4 / toplam = 1/3.

1/3 oranında pay 1, payda 3'tür. Payı 4 yapmak için 4 ile genişletiriz: 1/3 = 4/12.

Toplam top sayısı: 12.

Mavi top sayısı: 12 − 4 = 8.

Kontrol: 4/12 = 1/3 ✓

Sonuç: 8 mavi top

Örnek 6 (Yeni nesil tarzı)

Elif'in torbasında 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye var. Elif torbaya yalnızca beyaz bilye ekleyecek. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin beyaz olma olasılığının 1/2 olması için en az kaç beyaz bilye eklemelidir?

Çözüm:

Olasılığın 1/2 olması, beyaz bilye sayısının toplamın yarısı olması demektir.

Bu da beyaz sayısının kırmızı sayısına eşit olması anlamına gelir.

Kırmızı bilye sayısı değişmiyor: 6.

Beyaz bilye sayısı 6 olmalı. Şu an 4 tane var: 6 − 4 = 2 bilye eklenmeli.

Kontrol: Beyaz 6, toplam 6 + 6 = 12, olasılık 6/12 = 1/2 ✓

Sonuç: 2 beyaz bilye

Sık yapılan hatalar

• Paydaya yalnızca “diğerlerini” yazmak. Yanlış: 3 kırmızı ve 5 mavi bilyeden kırmızı çekme olasılığı 3/5. Doğrusu: Payda tüm bilyelerin sayısıdır, yani 3 + 5 = 8. Olasılık 3/8'dir.
• 1'i asal sayı saymak. Yanlış: Zarda asal gelme olasılığı 4/6 (1, 2, 3, 5). Doğrusu: 1 asal değildir. Asal sayılar 2, 3 ve 5'tir. Olasılık 3/6 = 1/2'dir.
• Eşit şanslı olmayan durumları eşit saymak. Yanlış: Torbada 1 kırmızı, 9 mavi bilye var. İki renk olduğu için kırmızı olasılığı 1/2'dir. Doğrusu: Renkler değil bilyeler eşit şanslıdır. 10 bilyenin 1'i kırmızı olduğu için olasılık 1/10'dur.
• 1'den büyük olasılık bulup fark etmemek. Yanlış: Bir cevabın 8/5 çıkması. Doğrusu: Olasılık hiçbir zaman 1'i geçmez. Böyle bir sonuç, payla paydanın yer değiştirdiğini ya da saymanın yanlış yapıldığını gösterir.
• “Olmama” olasılığını ayrıca uzun uzun saymak ya da 1'den çıkarmayı unutmak. Yanlış: Olasılık 2/7 ise olmama olasılığı da 2/7'dir ya da 7/2'dir. Doğrusu: 1 − 2/7 = 7/7 − 2/7 = 5/7.

LGS'de bu konu: soru tipi, süre ve şık eleme

Soru tipleri: LGS'de olasılık soruları çoğunlukla bir hikâyenin içine yerleştirilir. Çekiliş, çark, torbaya top ekleme ya da torbadan top çıkarma, kart destesi gibi durumlar sık görülür. Bazen olasılık verilir ve torbadaki top sayısı istenir (Örnek 5 ve 6'daki gibi).

Süre: Basit olasılık soruları genellikle kısa sürede çözülebilir. Kendine soru başına yaklaşık 1,5-2 dakikalık bir tempo hedefle. Uzun metinli sorularda önce “toplam kaç durum var, kaçı isteniyor?” diye iki sayıyı not al.

Şık eleme taktikleri:

• 1'den büyük ya da negatif olasılık yazan şıkları hemen ele.
• Sadeleştirilmiş cevabın paydası, toplam durum sayısını tam bölmelidir. Toplam 20 ise payda 1, 2, 4, 5, 10 veya 20 olabilir. Paydası 3 olan şık yanlıştır.
• Soruda “olmama” isteniyorsa şıklarda genellikle hem olma hem olmama olasılığı bulunur. Son adımda hangisinin istendiğini yeniden oku.
• Olasılık verilip sayı isteniyorsa şıkları tek tek yerine koyup oranı kontrol et. Bu yöntem çoğu zaman denklem kurmaktan hızlıdır.

Alıştırma

1) Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze 5'ten büyük bir sayı gelme olasılığı kaçtır?

2) Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze tek sayı gelme olasılığı kaçtır?

3) Bir torbada 7 sarı ve 3 yeşil top var. Rastgele çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır?

4) Aynı torbadan rastgele çekilen topun yeşil olmama olasılığı kaçtır?

5) 1'den 12'ye kadar numaralanmış 12 karttan rastgele biri çekiliyor. Numaranın 4'ün katı olma olasılığı kaçtır?

6) 1'den 30'a kadar numaralanmış 30 karttan rastgele biri çekiliyor. Numaranın asal sayı olma olasılığı kaçtır?

7) “MATEMATİK” kelimesinin harfleri ayrı ayrı kartlara yazılıp bir kutuya atılıyor. Rastgele çekilen kartta M harfi olma olasılığı kaçtır?

8) Bir torbada 5 kırmızı top ve bir miktar beyaz top var. Kırmızı top çekme olasılığı 1/4 ise torbada kaç beyaz top vardır?

9) Bir olayın olma olasılığı 2/5 ise olmama olasılığı kaçtır?

10) Bir torbada 3 mavi ve 5 beyaz bilye var. Torbaya yalnızca mavi bilye eklenecek. Mavi bilye çekme olasılığının 1/2 olması için kaç mavi bilye eklenmelidir?

Cevap Anahtarı

• 1) 1/6: 5'ten büyük olan tek sayı 6'dır, yani 6 durumdan 1'i istenir.
• 2) 1/2: Tek sayılar 1, 3 ve 5'tir, yani 3/6 = 1/2.
• 3) 3/10: Toplam 7 + 3 = 10 top vardır, bunların 3'ü yeşildir.
• 4) 7/10: 1 − 3/10 = 7/10 ya da yeşil olmayan 7 sarı top / 10 top.
• 5) 1/4: 4'ün katları 4, 8 ve 12'dir, yani 3/12 = 1/4.
• 6) 1/3: Asallar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ve 29'dur, yani 10/30 = 1/3.
• 7) 2/9: Kelimede 9 harf vardır ve M bunlardan 2 tanesidir.
• 8) 15: 1/4 = 5/20 olduğundan toplam 20 toptur, beyaz top sayısı 20 − 5 = 15'tir.
• 9) 3/5: 1 − 2/5 = 5/5 − 2/5 = 3/5.
• 10) 2: Mavi sayısı beyaz sayısına (5) eşit olmalıdır, bu yüzden 5 − 3 = 2 bilye eklenir.

Dersin özeti

• Eşit şanslı durumlarda olasılık = istenen durum sayısı / tüm durumların sayısı.
• Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır. İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir.
• Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir, çünkü iki grup tüm durumları tam olarak paylaşır. Bu yüzden P(olmama) = 1 − P(olma).
• Paydaya her zaman tüm durumların sayısını yaz. Renkleri ya da çeşitleri değil, tek tek nesneleri say.
• Olasılık verilip sayı isteniyorsa oranı genişlet ya da şıkları yerine koyarak kontrol et. Bir sonraki derste oranla düşünme alışkanlığını verilerle çalışırken de kullanacağız: Tablolardan ve grafiklerden bilgi okuyup yorumlayacağız.