EBOB ve EKOK: Nedenleri ve Hesaplama Yolları

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı, çarpan ve kat kavramlarını gördük. Bu derste o bilgiyi kullanarak iki önemli araç öğreneceğiz: EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat). Sonraki derslerde bu araçları yeni nesil problemlerde sık sık kullanacağız.

Günlük hayattan giriş

Elinde 48 cm ve 60 cm uzunluğunda iki kurdele olduğunu düşün. İkisini de hiç artık kalmayacak şekilde, eşit uzunlukta parçalara kesmek istiyorsun. Parçalar olabildiğince uzun olsun. Parça uzunluğu hem 48'i hem 60'ı tam bölmeli ve bu bölenlerin en büyüğü olmalı. İşte bu, EBOB sorusudur. Sorunun özü şu: Büyük parçaları eşit ve olabildiğince büyük küçük parçalara ayırmak.

Şimdi başka bir durum düşün: Bir durağa A otobüsü 15 dakikada bir, B otobüsü 20 dakikada bir geliyor. İkisi saat 08.00'de birlikte geldi. Bir daha ne zaman birlikte gelirler? Aradığımız süre hem 15'in hem 20'nin katı olmalı ve bu katların en küçüğü olmalı. Bu da EKOK sorusudur. Sorunun özü şu: Farklı aralıklarla tekrar eden olayların yeniden buluşması.

Kısacası günlük hayatta bölmek, paylaştırmak, kesmek gibi işlerde çoğu zaman EBOB; buluşmak, aynı anda tekrar olmak, küçük parçalardan büyük bir bütün kurmak gibi işlerde çoğu zaman EKOK karşımıza çıkar.

Tanım ve kural

Ortak bölen: İki sayıyı da kalansız bölen sayıdır. 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18'in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Ortak bölenler 1, 2, 3, 6 olur. En büyüğü 6'dır, yani EBOB(12, 18) = 6.

Ortak kat: İki sayının da katı olan sayıdır. 12'nin katları 12, 24, 36, 48, ...; 18'in katları 18, 36, 54, ... şeklindedir. İkisinde de bulunan en küçük sayı 36'dır, yani EKOK(12, 18) = 36.

Sayılar büyüdükçe listelemek zorlaşır. Bu yüzden iki hızlı yol kullanırız.

1. yol: Asal çarpanlar yöntemi

Sayıları üslü biçimde asal çarpanlarına ayırırız.

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

EBOB için: Yalnızca iki sayıda da bulunan asalları alır, bunların küçük üslüsünü seçeriz: 2¹ × 3¹ = 6.

Neden küçük üs? Bölen, sayının 'içine sığmalı'. 12'nin içinde yalnızca bir tane 3 var. İki tane 3 alırsak (9), 12'yi bölemeyiz. Her iki sayının içine de sığan en fazla miktar, küçük üstür.

EKOK için: İki sayıda geçen bütün asalları alır, her birinin büyük üslüsünü seçeriz: 2² × 3² = 36.

Neden büyük üs? Kat, sayıyı 'içinde taşımalı'. 36 hem 12'nin iki tane 2'sini hem 18'in iki tane 3'ünü içermeli. Büyük üsleri alırsak ikisini de kapsarız; daha fazlasını alırsak sayı gereksiz büyür.

2. yol: Bölme yöntemi

Sayıları yan yana yazar, en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz. Bölünemeyen sayı aynen aşağı indirilir. Bütün sayılar 1 olunca dururuz.

EKOK = soldaki bütün bölenlerin çarpımıdır.

EBOB = yalnızca iki sayıyı birden bölen bölenlerin çarpımıdır.

Önemli eşitlik (yalnızca iki sayı için): EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b

Neden doğru? Her asal çarpan için EBOB küçük üssü, EKOK büyük üssü alır. Örneğin 2 için üsler 2 ve 1 ise EBOB'a 1, EKOK'a 2 gider. Toplamda yine 1 + 2 = 3 tane 2 olur; bu da a × b'deki 2'lerin sayısıyla aynıdır. Yani EBOB ve EKOK, iki sayının çarpanlarını aralarında paylaşır; hiçbir çarpan kaybolmaz, fazladan çarpan da eklenmez. Kontrol: 6 × 36 = 216 ve 12 × 18 = 216.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): 12 ve 18 sayılarının EBOB ve EKOK'unu asal çarpanlar yöntemiyle bulunuz.

Çözüm:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

EBOB: ortak asallar 2 ve 3, küçük üsler → 2 × 3 = 6

EKOK: bütün asallar, büyük üsler → 2² × 3² = 4 × 9 = 36

EBOB = 6, EKOK = 36

Örnek 2: 24 ve 36 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bölme yöntemiyle bulunuz.

Çözüm:

24, 36 → 2'ye böl (ikisi de bölünür) → 12, 18

12, 18 → 2'ye böl (ikisi de bölünür) → 6, 9

6, 9 → 2'ye böl (yalnız 6 bölünür) → 3, 9

3, 9 → 3'e böl (ikisi de bölünür) → 1, 3

1, 3 → 3'e böl (yalnız 3 bölünür) → 1, 1

EKOK = bütün bölenler = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

EBOB = ikisini birden bölenler = 2 × 2 × 3 = 12

Kontrol: 12 × 72 = 864 ve 24 × 36 = 864.

EBOB = 12, EKOK = 72

Örnek 3: İki sayının EBOB'u 4, EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 ise diğeri kaçtır?

Çözüm:

İki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı.

4 × 60 = 240

12 × ? = 240

? = 240 ÷ 12 = 20

Kontrol: 12 = 2² × 3, 20 = 2² × 5 → EBOB = 2² = 4, EKOK = 2² × 3 × 5 = 60. Tutuyor.

Diğer sayı 20'dir.

Örnek 4: 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki kurdele, artık kalmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. Parçalar olabildiğince uzun olursa toplam kaç parça elde edilir?

Çözüm:

Parça boyu iki uzunluğu da tam bölmeli ve en büyük olmalı → EBOB.

48 = 2⁴ × 3, 60 = 2² × 3 × 5

EBOB = 2² × 3 = 12 cm

48 ÷ 12 = 4 parça, 60 ÷ 12 = 5 parça

4 + 5 = 9

Toplam 9 parça elde edilir.

Örnek 5: A otobüsü 15 dakikada bir, B otobüsü 20 dakikada bir durağa geliyor. İkisi saat 08.00'de birlikte geldiğine göre bir sonraki birlikte gelişleri saat kaçtadır?

Çözüm:

Geçen süre hem 15'in hem 20'nin katı ve en küçük olmalı → EKOK.

15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5

EKOK = 2² × 3 × 5 = 60 dakika

08.00 + 60 dakika = 09.00

Saat 09.00'da birlikte gelirler.

Örnek 6 (zor, yeni nesil): Eni 48 m, boyu 72 m olan dikdörtgen bir alan, hiç boşluk kalmayacak ve taşma olmayacak şekilde eş kare bölmelere ayrılacaktır. Karelerin kenarı olabildiğince uzun olursa kaç kare bölme oluşur?

Çözüm:

Kare kenarı hem 48'i hem 72'yi tam bölmeli ve en büyük olmalı → EBOB.

48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3²

EBOB = 2³ × 3 = 24 m

Ende 48 ÷ 24 = 2 kare, boyda 72 ÷ 24 = 3 kare sığar.

2 × 3 = 6

6 kare bölme oluşur.

Örnek 7 (zor, ters yön): Eni 6 cm, boyu 8 cm olan eş dikdörtgen kartlar aynı yönde yan yana dizilerek en küçük kare oluşturulacaktır. Kaç kart gerekir?

Çözüm:

Karenin kenarı hem 6'nın hem 8'in katı ve en küçük olmalı → EKOK.

6 = 2 × 3, 8 = 2³

EKOK = 2³ × 3 = 24 cm

Bir kenara 24 ÷ 6 = 4 kart, diğer kenara 24 ÷ 8 = 3 kart dizilir.

4 × 3 = 12

12 kart gerekir.

LGS taktiği: LGS'de matematik soruları sayısal oturumda fen sorularıyla birlikte çözülür; bir EBOB-EKOK sorusuna yaklaşık 1,5–2 dakikadan fazla ayırmamaya çalış. Şık elerken şunları kullan: EBOB iki sayıyı da bölmelidir ve küçük sayıdan büyük olamaz. EKOK iki sayının da katı olmalıdır ve büyük sayıdan küçük olamaz. Bu iki kontrol çoğu zaman 2-3 şıkkı hemen eler. Problem metninde önce 'bölmek mi, buluşmak mı?' diye sor; bu karar sorunun yarısıdır.

Sık yapılan hatalar

• Hata: EBOB(12, 18) için büyük üsleri alıp 2² × 3² = 36 demek. Doğrusu: EBOB'da ortak asalların küçük üsleri alınır: 2 × 3 = 6. 36, 12'yi bölemez; bu yüzden EBOB olamaz.
• Hata: Bölme yönteminde EBOB için soldaki bütün bölenleri çarpmak. Doğrusu: Yalnızca iki sayıyı birden bölen bölenler çarpılır. Bütün bölenlerin çarpımı EKOK'u verir.
• Hata: EBOB × EKOK = çarpım eşitliğini üç sayıya uygulamak. Örneğin 2, 4, 6 için EBOB = 2, EKOK = 12 ve 2 × 12 = 24; ama 2 × 4 × 6 = 48. Doğrusu: Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir.
• Hata: Ortak asal çarpanı olmayan 14 ve 15 için 'EBOB yoktur' ya da 'EBOB = 0' demek. Doğrusu: 1 her sayıyı böler, bu yüzden EBOB(14, 15) = 1'dir. Bu tür sayılara aralarında asal denir ve EKOK'ları çarpımlarına eşittir: 210.
• Hata: 'Birlikte gelme' sorusunda EBOB almak. Doğrusu: Tekrar buluşma, aynı anda olma gibi durumlarda EKOK kullanılır; çünkü aradığımız süre her iki aralığın da katıdır.

Alıştırma

1) EBOB(18, 24) kaçtır?

2) EKOK(18, 24) kaçtır?

3) EBOB(30, 45) kaçtır?

4) EKOK(8, 12) kaçtır?

5) 14 ve 15 sayılarının EBOB ve EKOK'u kaçtır?

6) İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 90'dır. Sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır?

7) 36 litre ve 54 litre olan iki farklı meyve suyu, karıştırılmadan, eşit hacimli şişelere hiç artmayacak şekilde doldurulacaktır. Şişeler olabildiğince büyük olursa en az kaç şişe gerekir?

8) Bir lamba 6 saniyede bir, diğeri 9 saniyede bir yanıyor. İkisi aynı anda yandıktan kaç saniye sonra yeniden birlikte yanar?

9) 4, 6 ve 10 ile tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

10) Kenarları 90 m ve 120 m olan dikdörtgen bir tarlanın çevresine, köşelere de ağaç gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gerekir?

Cevap Anahtarı

• 1) 6 — 18 = 2 × 3² ve 24 = 2³ × 3 olduğundan küçük üsler 2 × 3 = 6 verir.
• 2) 72 — Aynı ayrışımda büyük üsler alınır: 2³ × 3² = 72.
• 3) 15 — 30 = 2 × 3 × 5 ve 45 = 3² × 5 olduğundan ortak kısım 3 × 5 = 15'tir.
• 4) 24 — 8 = 2³ ve 12 = 2² × 3 olduğundan EKOK = 2³ × 3 = 24'tür.
• 5) EBOB = 1, EKOK = 210 — Ortak asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldırlar ve EKOK = 14 × 15 = 210 olur.
• 6) 30 — 6 × 90 = 540 ve 540 ÷ 18 = 30'dur.
• 7) 5 şişe — EBOB(36, 54) = 18 litre olduğundan 36 ÷ 18 + 54 ÷ 18 = 2 + 3 = 5 şişe gerekir.
• 8) 18 saniye — Birlikte yanma bir buluşma durumudur ve EKOK(6, 9) = 2 × 3² = 18'dir.
• 9) 60 — 4 = 2², 6 = 2 × 3, 10 = 2 × 5 olduğundan EKOK = 2² × 3 × 5 = 60'tır.
• 10) 14 ağaç — Aralık EBOB(90, 120) = 30 m, çevre 2 × (90 + 120) = 420 m olduğundan 420 ÷ 30 = 14 ağaç gerekir.

Dersin özeti

• EBOB, iki sayıyı da bölen en büyük sayıdır; asal çarpanlarda ortak asallar ve küçük üsler alınır.
• EKOK, iki sayının da katı olan en küçük sayıdır; asal çarpanlarda bütün asallar ve büyük üsler alınır.
• Bölme yönteminde bütün bölenlerin çarpımı EKOK'u, iki sayıyı birden bölenlerin çarpımı EBOB'u verir.
• Yalnızca iki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımıdır; çünkü her asal çarpan EBOB ile EKOK arasında kaybolmadan paylaştırılır.
• Problemde 'eşit parçalara bölmek' genellikle EBOB, 'yeniden buluşmak' genellikle EKOK demektir. Şık elerken EBOB'un küçük sayıdan büyük, EKOK'un büyük sayıdan küçük olamayacağını hatırla.