Ondalık Gösterimlerle Dört İşlem

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerden köprü: Önceki derslerde ondalık gösterimleri okumayı, basamak değerlerini (onda birler, yüzde birler, binde birler) ve bir kesrin ondalık gösterimle nasıl yazıldığını öğrendik. Örneğin 0,3 = 3/10 ve 0,25 = 25/100 olduğunu biliyoruz. Bu derste bu bilgileri kullanacağız ve ondalık gösterimlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapacağız.

Günlük hayattan giriş

Markete gittiğini düşün. Bir paket bisküvi 12,50 TL, bir şişe su 7,25 TL. Kasada ne kadar ödeyeceğini bulmak için bu iki ondalık gösterimi toplaman gerekir. Cebinden 50 TL çıkarırsan kalan parayı bulmak için de çıkarma yaparsın. Yani ondalık gösterimlerle işlem yapmak, her gün kullandığımız bir beceridir.

Sadece para değil, ölçüler de çoğu zaman ondalık gösterimle yazılır. Boyun 1,45 m olabilir, bir kilogram peynir alırken terazi 0,75 kg gösterebilir. Bir kilogramı 18,75 TL olan elmadan 2,4 kg alırsan ne ödeyeceğini bulmak için çarpma yaparsın. 3,6 metrelik bir kurdeleyi 0,45 metrelik parçalara ayırırsan kaç parça çıkacağını bulmak için de bölme yaparsın.

Bu derste her işlemin kuralını öğreneceğiz. Ama kuralı ezberlemek yerine neden öyle olduğunu anlayacağız. Nedenini anlayan kişi kuralı unutsa bile yeniden bulabilir.

Tanım ve kural

1. Toplama ve çıkarma: Virgüller neden alt alta gelir?

Doğal sayılarda toplama yaparken birlikleri birliklerin, onlukları onlukların altına yazarız. Çünkü ancak aynı türden şeyleri toplayabiliriz: 3 elma ile 2 elma 5 elma eder ama 3 elma ile 2 armut “5 elma” etmez.

Ondalık gösterimlerde de durum aynıdır. Virgülün hemen solunda birler, hemen sağında onda birler, onun sağında yüzde birler vardır. Virgülleri alt alta yazınca birler birlerin, onda birler onda birlerin, yüzde birler yüzde birlerin altına gelir. Böylece aynı basamaklar toplanır.

Para ile düşünelim: 3 lira 50 kuruş ile 1 lira 25 kuruşu toplarken liraları liralarla, kuruşları kuruşlarla toplarız: 4 lira 75 kuruş. Yani 3,50 + 1,25 = 4,75.

Basamak sayıları farklıysa eksik basamaklara 0 yazabiliriz. 2,5 ile 2,50 aynı sayıdır, çünkü 5/10 = 50/100. Bu sıfırlar sayının değerini değiştirmez ama işlemi kolaylaştırır. Doğal sayının da virgülü vardır: 20 = 20,00.

2. Çarpma: Virgülün yeri nasıl bulunur?

Önce virgülleri yokmuş gibi düşünüp doğal sayılarda olduğu gibi çarparız. Sonra çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarını toplarız. Sonuçta sağdan sola doğru o kadar basamak sayıp virgülü koyarız.

Neden? Kesirlere çevirip bakalım: 0,3 × 0,2 = 3/10 × 2/10 = 6/100 = 0,06. Payları çarptık (3 × 2 = 6), paydaları çarptık (10 × 100 değil, 10 × 10 = 100). Onda bir ile onda birin çarpımı yüzde bir olur. Yani 1 basamak + 1 basamak = 2 basamak. Kural buradan gelir.

Özel durum: Bir sayıyı 10 ile çarparsak virgül 1 basamak sağa, 100 ile çarparsak 2 basamak sağa kayar. Örneğin 3,14 × 100 = 314.

3. Bölme: Bölen ve bölünen neden birlikte çarpılabilir?

Bölen doğal sayıysa, bölmeyi doğal sayılardaki gibi yaparız ve bölünenin virgülüne gelince sonuca da virgül koyarız. Örneğin 8,4 ÷ 4 = 2,1.

Bölen ondalık gösterimse önce onu doğal sayı yaparız. Bunun için bölen ile bölüneni aynı sayıyla (10, 100, 1000 …) çarparız.

Neden sonuç değişmez? Bölme “içinde kaç tane var?” sorusudur. 6 ÷ 2 = 3 ve 60 ÷ 20 = 3 ve 600 ÷ 200 = 3. İki sayıyı da aynı oranda büyütünce “kaç tane sığar?” sorusunun cevabı değişmez. 6 lirada kaç tane 2 lira varsa, 600 kuruşta da o kadar 200 kuruş vardır. Bu yüzden 7,2 ÷ 0,3 işlemini 72 ÷ 3 olarak yapabiliriz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Toplama)

12,5 + 3,75 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Basamak sayılarını eşitleriz: 12,5 = 12,50.

Adım 2: Virgülleri alt alta yazarız: 12,50 ve 3,75.

Adım 3: Yüzde birler: 0 + 5 = 5. Onda birler: 5 + 7 = 12, 2 yazar 1 elde tutarız.

Adım 4: Birler: 2 + 3 + 1 = 6. Onlar: 1.

Sonuç: 16,25

Örnek 2 (Çıkarma)

20 − 7,35 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 20 sayısını 20,00 olarak yazarız.

Adım 2: Virgülleri alt alta yazarız: 20,00 ve 7,35.

Adım 3: Onluktan başlayarak onluk bozarız ve basamak basamak çıkarırız.

Adım 4: Kontrol: 12,65 + 7,35 = 20,00. Doğru.

Sonuç: 12,65

Örnek 3 (Çarpma)

2,4 × 1,3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Virgülleri yokmuş gibi düşünürüz: 24 × 13 = 312.

Adım 2: 2,4 sayısında virgülden sonra 1 basamak, 1,3 sayısında 1 basamak var. Toplam 2 basamak.

Adım 3: 312 sayısında sağdan 2 basamak sayıp virgülü koyarız: 3,12.

Adım 4: Tahminle kontrol: 2,4 yaklaşık 2, 1,3 yaklaşık 1; sonuç 2'den biraz büyük olmalı. 3,12 mantıklı.

Sonuç: 3,12

Örnek 4 (Çarpma, sıfırlı sonuç)

0,25 × 0,4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 25 × 4 = 100.

Adım 2: Virgülden sonraki basamaklar: 2 + 1 = 3 basamak.

Adım 3: 100 sayısında sağdan 3 basamak sayarız: 0,100.

Adım 4: Sondaki sıfırlar değeri değiştirmez: 0,100 = 0,1.

Sonuç: 0,1

Örnek 5 (Bölme)

7,2 ÷ 0,3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Bölen 0,3 doğal sayı değil. 10 ile çarparsak 3 olur.

Adım 2: Bölüneni de 10 ile çarparız: 7,2 × 10 = 72.

Adım 3: 72 ÷ 3 = 24.

Adım 4: Kontrol: 24 × 0,3 = 7,2. Doğru.

Sonuç: 24

Örnek 6 (Bölme, 100 ile çarpma)

4,5 ÷ 0,15 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 0,15 sayısında virgülden sonra 2 basamak var. Doğal sayı yapmak için 100 ile çarparız: 15.

Adım 2: Bölüneni de 100 ile çarparız: 4,5 × 100 = 450.

Adım 3: 450 ÷ 15 = 30.

Adım 4: Kontrol: 30 × 0,15 = 4,50. Doğru.

Sonuç: 30

Örnek 7 (Para problemi)

Kilogramı 18,75 TL olan elmadan 2,4 kg alınıyor. Kaç TL ödenir?

Çözüm:

Adım 1: Ödenecek para = 18,75 × 2,4.

Adım 2: Virgülsüz çarparız: 1875 × 24 = 1875 × 20 + 1875 × 4 = 37 500 + 7500 = 45 000.

Adım 3: Virgülden sonraki basamaklar: 2 + 1 = 3. Sonuç 45,000 = 45.

Adım 4: Tahmin: yaklaşık 19 TL × 2,4 kg, yani 40 TL'den biraz fazla olmalı. 45 TL mantıklı.

Sonuç: 45 TL

Örnek 8 (Ölçü problemi)

3,6 m uzunluğundaki bir kurdele, her biri 0,45 m olan parçalara ayrılıyor. Kaç parça elde edilir?

Çözüm:

Adım 1: Parça sayısı = 3,6 ÷ 0,45.

Adım 2: Böleni doğal sayı yapmak için ikisini de 100 ile çarparız: 360 ÷ 45.

Adım 3: 45 × 8 = 360, yani 360 ÷ 45 = 8.

Adım 4: Kontrol: 8 × 0,45 = 3,60. Doğru.

Sonuç: 8 parça

Sık yapılan hatalar

• Sayıları sağa hizalamak: 3,5 + 1,25 işleminde sayıları doğal sayı gibi sağa hizalayıp yanlış sonuç bulmak. Doğrusu: Virgüller alt alta gelir: 3,50 + 1,25 = 4,75.
• Çarpımda virgülü tek basamak kaydırmak: 0,2 × 0,3 = 0,6 yazmak. Doğrusu: 2 × 3 = 6, virgülden sonra 1 + 1 = 2 basamak olmalı: 0,06. Onda birin onda biri, yüzde birdir.
• Doğal sayıdan çıkarırken basamağı unutmak: 5 − 2,3 = 3,3 yazmak. Doğrusu: 5,0 − 2,3 = 2,7. Kontrol: 2,7 + 2,3 = 5.
• Bölmede yalnız böleni çarpmak: 6,4 ÷ 0,8 işleminde sadece 0,8'i 8 yapıp 6,4 ÷ 8 = 0,8 bulmak. Doğrusu: İkisi de 10 ile çarpılır: 64 ÷ 8 = 8.
• Çarpmayı toplama gibi yapmak: 1,5 × 1,5 = 1,25 yazmak. Doğrusu: 15 × 15 = 225, 2 basamak: 2,25. Tahmin de yardım eder: 1,5 × 1,5 sonucu 1,5'ten büyük olmalıdır.

Alıştırma

• 1) 4,6 + 2,57 = ?
• 2) 15 − 6,8 = ?
• 3) 9,05 − 3,7 = ?
• 4) 1,2 × 0,5 = ?
• 5) 3,14 × 10 = ?
• 6) 0,06 × 0,7 = ?
• 7) 9,6 ÷ 0,4 = ?
• 8) 1,8 ÷ 0,06 = ?
• 9) Bir öğrenci 50 TL ile 12,75 TL'lik bir defter ve 8,40 TL'lik bir kalem alıyor. Kaç TL parası kalır?
• 10) 2,5 litre meyve suyu, her biri 0,25 litre alan kupalara dolduruluyor. Kaç kupa dolar?

Cevap Anahtarı

• 1) 7,17 — 4,60 ile 2,57 virgüller alt alta gelecek şekilde toplanır.
• 2) 8,2 — 15 sayısı 15,0 yazılıp 6,8 çıkarılır.
• 3) 5,35 — 3,7 sayısı 3,70 yazılıp 9,05'ten çıkarılır.
• 4) 0,6 — 12 × 5 = 60, virgülden sonra 2 basamak: 0,60 = 0,6.
• 5) 31,4 — 10 ile çarpınca virgül 1 basamak sağa kayar.
• 6) 0,042 — 6 × 7 = 42, virgülden sonra 2 + 1 = 3 basamak gerekir.
• 7) 24 — İkisi de 10 ile çarpılır: 96 ÷ 4 = 24.
• 8) 30 — İkisi de 100 ile çarpılır: 180 ÷ 6 = 30.
• 9) 28,85 TL — 12,75 + 8,40 = 21,15 bulunur, sonra 50,00 − 21,15 = 28,85.
• 10) 10 kupa — İkisi de 100 ile çarpılır: 250 ÷ 25 = 10.

Dersin özeti

• Toplama ve çıkarmada virgüller alt alta yazılır, çünkü yalnızca aynı basamaklar (birler-birler, onda birler-onda birler) toplanıp çıkarılabilir. Eksik basamaklara 0 yazmak değeri değiştirmez.
• Çarpmada sayılar virgülsüz çarpılır. Sonuçta virgülden sonraki basamak sayısı, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamıdır. Bunun nedeni, onda bir ile onda birin çarpımının yüzde bir olmasıdır.
• Bölmede bölen ondalık gösterimse, bölen ve bölünen aynı sayıyla (10, 100 …) çarpılır. İkisi aynı oranda büyüdüğü için sonuç değişmez.
• Her işlemden sonra tahminle ya da ters işlemle (çıkarmayı toplamayla, bölmeyi çarpmayla) kontrol yapmak hataları yakalar.

Sonraki derse köprü: Bir sonraki derste yüzdeleri öğreneceğiz. Yüzde, paydası 100 olan bir kesirdir. Bu yüzden 0,25 = 25/100 = %25 gibi dönüşümlerde ve “%20 indirim” gibi para problemlerinde bugün öğrendiğimiz ondalık gösterimlerle çarpma ve bölmeyi sık sık kullanacağız.