Denk Kesirler, Sadeleştirme ve Genişletme

Tahmini süre: 12 dk

Önceki derste kesrin ne olduğunu gördük: Bir bütünü eş parçalara böldük, payda bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, pay ise kaç parçayı aldığımızı gösterdi. Bu derste çok önemli bir soruyu soruyoruz: Farklı görünen iki kesir aynı miktarı gösterebilir mi? Cevap evet. Bu fikir, sonraki derslerde kesirleri karşılaştırırken ve toplarken en çok kullanacağımız araç olacak.

Günlük hayattan giriş

Aynı büyüklükte iki pizza düşünelim. Birinci pizza 2 eş dilime, ikinci pizza 4 eş dilime kesilmiş olsun. Ayşe birinci pizzadan 1 dilim, Can ikinci pizzadan 2 dilim yiyor. Kim daha çok yedi? Ayşe pizzanın 1/2'sini, Can 2/4'ünü yedi. Pizzanın yarısına baktığımızda Can'ın 2 küçük dilimi, Ayşe'nin 1 büyük dilimiyle tam olarak aynı yeri kaplar. İkisi de eşit miktarda yedi. Sayılar farklı ama miktar aynı!

Bir başka örnek: Bir çikolata 12 eş kareden oluşuyor. 6 kareyi yersen çikolatanın 6/12'sini yemiş olursun. Ama arkadaşın sana "Çikolatanın yarısını yemişsin." der. İkiniz de haklısınız çünkü 6/12 ile 1/2 aynı miktarı gösterir. Günlük hayatta insanlar genellikle en kısa ve en anlaşılır olan hâli, yani 1/2'yi kullanır.

Saatte de aynısı olur. Bir saat 60 dakikadır. 30 dakika, saatin 30/60'ıdır; ama biz buna "yarım saat" deriz. 15 dakikaya da "çeyrek saat" deriz, yani 15/60 yerine 1/4 kullanırız. İşte bu derste, bir kesri farklı ama aynı değerde kesirlere nasıl dönüştüreceğimizi öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Denk kesirler: Aynı bütünün aynı miktarını gösteren kesirlere denk kesirler denir. Örneğin 1/2, 2/4, 3/6 ve 4/8 birbirine denktir.

Genişletme: Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla çarpmaya genişletme denir. 0 ile çarpılmaz.

Sadeleştirme: Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölmeye sadeleştirme denir. Bölen sayı hem payı hem paydayı tam bölmelidir.

Neden değer değişmiyor? Pizzayı düşünelim. 1/2 pizzada her dilimi ortadan ikiye kesersek dilim sayısı 2 katına çıkar: Elimizdeki 1 dilim 2 dilim olur, bütündeki 2 dilim de 4 dilim olur. Böylece 1/2, 2/4 olur. Pizzaya bıçakla yeni çizgiler çektik ama hiç pizza eklemedik ya da eksiltmedik. Parçalar küçüldü, sayıları arttı; miktar aynı kaldı.

Sadeleştirmede bunun tersini yaparız: Küçük dilimleri gruplayıp büyük dilimler oluştururuz. 6/12 çikolatada kareleri 6'şarlı gruplarsak 12 kare 2 grup, yenen 6 kare 1 grup olur. Böylece 6/12, 1/2 olur. Yine miktar değişmedi, sadece parçaları farklı saydık.

Bir başka açıklama: Payı ve paydayı 3 ile çarpmak, kesri 3/3 ile çarpmak demektir. 3/3 ise 1 bütündür. Bir sayıyı 1 ile çarpınca sayı değişmez. Bu yüzden genişletme de sadeleştirme de kesrin değerini değiştirmez.

En sade hâl: Payı ve paydası 1'den başka ortak böleni olmayan kesre en sade (sadeleşmiş) kesir denir. Örneğin 2/3 en sadedir; 4/6 ise en sade değildir çünkü 4 ve 6 ikisi de 2'ye bölünür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 2/3 kesrini 4 ile genişletiniz.

Çözüm:

Adım 1: Payı 4 ile çarparız: 2 × 4 = 8.

Adım 2: Paydayı da 4 ile çarparız: 3 × 4 = 12.

Adım 3: Yeni kesir: 2/3 = 8/12

Örnek 2: 12/18 kesrini 6 ile sadeleştiriniz.

Çözüm:

Adım 1: 6, hem 12'yi hem 18'i tam böler mi? Evet.

Adım 2: Payı 6'ya böleriz: 12 ÷ 6 = 2.

Adım 3: Paydayı 6'ya böleriz: 18 ÷ 6 = 3.

Adım 4: Sonuç: 12/18 = 2/3

Örnek 3: 3/5 = ?/20 eşitliğinde soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?

Çözüm:

Adım 1: Payda 5'ten 20'ye nasıl gitmiş? 20 ÷ 5 = 4, yani payda 4 ile çarpılmış.

Adım 2: Kesrin değeri değişmesin diye pay da 4 ile çarpılmalı: 3 × 4 = 12.

Adım 3: Sonuç: 3/5 = 12/20, soru işareti yerine 12 gelir.

Örnek 4: Bir pizza 8 eş dilime bölünmüş ve 6 dilimi yenmiştir. Yenen kısmı en sade kesirle yazınız.

Çözüm:

Adım 1: Yenen kısım 6/8'dir.

Adım 2: 6 ve 8'in ikisi de 2'ye bölünür.

Adım 3: 6 ÷ 2 = 3 ve 8 ÷ 2 = 4, kesir 3/4 olur.

Adım 4: 3 ve 4'ün 1'den başka ortak böleni yoktur, kesir en sadedir.

Sonuç: Pizzanın 3/4'ü yenmiştir.

Örnek 5: 24/36 kesrini en sade hâline getiriniz.

Çözüm (adım adım sadeleştirerek):

Adım 1: İkisi de çift sayı, 2'ye böleriz: 24/36 = 12/18.

Adım 2: Yine ikisi de çift, 2'ye böleriz: 12/18 = 6/9.

Adım 3: 6 ve 9 ikisi de 3'e bölünür: 6/9 = 2/3.

Adım 4: 2 ile 3'ün ortak böleni yalnızca 1'dir, dururuz.

Kısa yol: 24 ve 36'nın ikisini de bölen en büyük sayı 12'dir. 24 ÷ 12 = 2 ve 36 ÷ 12 = 3. Tek adımda aynı sonuç çıkar.

Sonuç: 24/36 = 2/3

Örnek 6: 4/6 ile 10/15 kesirleri denk midir?

Çözüm:

Adım 1: İki kesri de en sade hâle getirip karşılaştırırız.

Adım 2: 4/6 kesrinde 2'ye böleriz: 4 ÷ 2 = 2 ve 6 ÷ 2 = 3, kesir 2/3 olur.

Adım 3: 10/15 kesrinde 5'e böleriz: 10 ÷ 5 = 2 ve 15 ÷ 5 = 3, kesir 2/3 olur.

Adım 4: İkisinin de en sade hâli 2/3'tür.

Sonuç: Evet, 4/6 ile 10/15 denk kesirlerdir.

Örnek 7: 5/8 = 15/? = ?/40 eşitliklerindeki eksik sayıları bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İlk eşitlikte pay 5'ten 15'e çıkmış: 15 ÷ 5 = 3, yani 3 ile genişletilmiş.

Adım 2: Payda da 3 ile çarpılır: 8 × 3 = 24. Kesir 15/24 olur.

Adım 3: İkinci eşitlikte payda 8'den 40'a çıkmış: 40 ÷ 8 = 5, yani 5 ile genişletilmiş.

Adım 4: Pay da 5 ile çarpılır: 5 × 5 = 25. Kesir 25/40 olur.

Sonuç: 5/8 = 15/24 = 25/40

Sık yapılan hatalar

• Çarpmak yerine toplamak: Yanlış: "2/3 kesrinin pay ve paydasına 2 ekleyelim: 4/5." Doğrusu: Genişletmede toplama değil çarpma yapılır. 2/3 = (2×2)/(3×2) = 4/6. Gerçekten de 4/5, 2/3'ten büyüktür; yani değer değişmiştir.
• Sadece payı ya da sadece paydayı bölmek: Yanlış: 6/8 = 3/8. Doğrusu: Hem pay hem payda aynı sayıya bölünür: 6/8 = 3/4. Yalnızca payı bölersek elimizdeki parçaların yarısını atmış oluruz.
• Sadeleştirmeyi yarıda bırakmak: Yanlış: "12/18 kesrinin en sade hâli 6/9'dur." Doğrusu: 6 ve 9 hâlâ 3'e bölünür. 6/9 = 2/3. Ortak bölen kalmayana kadar devam edilmelidir.
• Rakamları silerek sadeleştirmek: Yanlış: 13/35 kesrinde iki sayıda da 3 rakamı var, onları silip 1/5 yazmak. Doğrusu: Sadeleştirme rakam silerek değil, bölerek yapılır. 13 ile 35'in 1'den başka ortak böleni yoktur; 13/35 zaten en sadedir.
• Genişletince kesrin büyüdüğünü sanmak: Yanlış: "8/12, 2/3'ten büyüktür çünkü sayıları daha büyük." Doğrusu: 8/12 ile 2/3 denktir. Sayılar büyüdü ama parçalar küçüldü; miktar aynı kaldı.

Alıştırma

1) 3/4 kesrini 5 ile genişletiniz.

2) 10/25 kesrini 5 ile sadeleştiriniz.

3) 2/7 = ?/21 eşitliğinde soru işareti yerine hangi sayı gelir?

4) 7/9 = 28/? eşitliğinde soru işareti yerine hangi sayı gelir?

5) 18/24 kesrini en sade hâline getiriniz.

6) 15/45 kesrini en sade hâline getiriniz.

7) 6/10 ile 9/15 kesirleri denk midir?

8) 4/9 ile 8/20 kesirleri denk midir?

9) 20 dakika, 1 saatin kaçta kaçıdır? En sade kesirle yazınız.

10) 36/48 kesrini en sade hâline getiriniz.

Cevap Anahtarı

• 1) 15/20 — Pay ve payda 5 ile çarpılır: 3 × 5 = 15 ve 4 × 5 = 20.
• 2) 2/5 — Pay ve payda 5'e bölünür: 10 ÷ 5 = 2 ve 25 ÷ 5 = 5.
• 3) 6 — Payda 3 ile çarpılmış (21 ÷ 7 = 3), bu yüzden pay da 3 ile çarpılır: 2 × 3 = 6.
• 4) 36 — Pay 4 ile çarpılmış (28 ÷ 7 = 4), bu yüzden payda da 4 ile çarpılır: 9 × 4 = 36.
• 5) 3/4 — 18 ve 24'ü bölen en büyük sayı 6'dır: 18 ÷ 6 = 3 ve 24 ÷ 6 = 4.
• 6) 1/3 — 15 ve 45'in ikisi de 15'e bölünür: 15 ÷ 15 = 1 ve 45 ÷ 15 = 3.
• 7) Evet, denktir — 6/10 kesri 2'ye bölününce, 9/15 kesri 3'e bölününce ikisi de 3/5 olur.
• 8) Hayır, denk değildir — 4/9 zaten en sadedir, 8/20 ise 4'e bölününce 2/5 olur; en sade hâlleri farklıdır.
• 9) 1/3 — 1 saat 60 dakika olduğundan kesir 20/60'tır; 20'ye bölünce 1/3 olur.
• 10) 3/4 — 36 ve 48'i bölen en büyük sayı 12'dir: 36 ÷ 12 = 3 ve 48 ÷ 12 = 4.

Dersin özeti

• Aynı bütünün aynı miktarını gösteren kesirlere denk kesirler denir: 1/2 = 2/4 = 3/6.
• Genişletme: Pay ve payda aynı sayıyla çarpılır. Sadeleştirme: Pay ve payda aynı sayıya bölünür.
• Değer değişmez çünkü parçaları sadece daha küçük ya da daha büyük sayarız; bütüne ekleme veya çıkarma yapmayız. Aynı sayıyla çarpıp bölmek, kesri 1 ile çarpmak gibidir.
• Payı ve paydası 1'den başka ortak böleni olmayan kesir en sade kesirdir; sadeleştirmeye ortak bölen kalmayana kadar devam edilir.
• Sonraki derslerde kesirleri karşılaştırırken ve toplarken paydaları eşitlemek için bu derste öğrendiğimiz genişletme ve sadeleştirmeyi kullanacağız.