Kesir Nedir? Birim Kesir, Basit, Bileşik ve Tam Sayılı Kesirler

Merhaba! Kesirler, Ondalık Gösterim ve Yüzdeler kursuna hoş geldin. Bu kurs 8 dersten oluşuyor ve ilk dersimizdeyiz. Bugün kesrin ne olduğunu, sayının üstünde ve altında yazan sayıların ne anlattığını öğreneceğiz. Kuralları ezberlemeyeceğiz; her kuralın neden öyle olduğunu birlikte göreceğiz. Tahmini süre: 12 dk. Hazırsan başlayalım!

Günlük hayattan giriş

Bir pizzayı düşün. Pizzacı onu 8 eşit dilime kesiyor ve sen bunların 3 tanesini yiyorsun. Pizzanın ne kadarını yediğini nasıl söylersin? “3 dilim” dersen, pizzanın kaç dilime bölündüğünü bilmeyen biri bunun çok mu az mı olduğunu anlayamaz. İşte burada kesir devreye girer: “Pizzanın 8'de 3'ünü yedim.” dersin ve bunu 3/8 diye yazarsın. Bu yazım hem bütünün kaç parçaya bölündüğünü hem de kaç parça aldığını tek seferde anlatır.

Kesirler hayatımızın her yerinde karşımıza çıkar. Annen tarif okurken “yarım kaşık tuz” der; yarım, 1/2 demektir. Bir çikolatayı arkadaşınla dört eşit parçaya bölüp birini ona verirsen, çikolatanın 1/4'ünü vermiş olursun. Saatte “çeyrek geçiyor” dediğimizde, bir saatin 4 eşit parçasından birinin geçtiğini söyleriz. Su şişesinin yarısını içtiğinde de aslında bir kesirle konuşursun.

Burada çok önemli bir nokta var: Parçalar eşit olmalıdır. Pizzayı biri kocaman, diğerleri minicik olacak şekilde 8 parçaya kesersen, “bir dilim” her seferinde farklı miktarda pizza olur. Bu yüzden kesir, ancak bütün eş parçalara bölündüğünde anlamlıdır.

Tanım ve kural

Kesir: Bir bütünün eş parçalarından bir kısmını gösteren sayıdır. Kesri üst üste yazılmış iki sayı ve aralarındaki çizgiyle gösteririz. Bu derste düz metinde bunu 3/8 gibi yazacağız.

Payda (alttaki sayı): Bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü söyler. Pizza 8 dilime bölündüyse payda 8'dir. Payda parçaların “adını” verir: sekizde bir, dörtte bir gibi.

Pay (üstteki sayı): Bu eş parçalardan kaç tanesini aldığımızı söyler. 3 dilim yediysen pay 3'tür.

Kesir çizgisi: Payı paydadan ayıran çizgidir. 3/8, “8'de 3” ya da “sekizde üç” diye okunur.

Neden payda 0 olamaz? Çünkü payda bütünün kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Bir bütünü “0 parçaya” bölemeyiz; bu bir anlam taşımaz. Bu yüzden paydası 0 olan kesir yazılmaz.

Şimdi kesir çeşitlerini tanıyalım:

• Birim kesir: Payı 1 olan kesirdir. Örnek: 1/2, 1/5, 1/10. Neden “birim” denir? Çünkü bütünün tek bir eş parçasını gösterir ve diğer kesirler bu parçalardan oluşur. Örneğin 3/8, üç tane 1/8'in bir araya gelmesidir.
• Basit kesir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Örnek: 2/5, 7/9. Neden 1'den küçüktür? Çünkü bütünü 5 parçaya böldüysen ve sadece 2 parça aldıysan, bütünün tamamına ulaşamamışsındır.
• Bileşik kesir: Payı paydasına eşit ya da paydasından büyük olan kesirdir. Örnek: 5/5, 9/4. Pay paydaya eşitse bütünün tüm parçalarını almışsındır, yani kesir 1'e eşittir. Pay daha büyükse bir bütünden fazlasını almışsındır; bu yüzden bileşik kesir 1'e eşit ya da 1'den büyüktür.
• Tam sayılı kesir: Bir tam sayı ile bir basit kesrin birlikte yazılmasıdır. Örnek: 2 1/3 (“iki tam üçte bir”). Bu, 2 bütün ve bir bütünün 3'te 1'i demektir.

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirme: Payı paydaya böleriz. Bölüm tam kısmı, kalan yeni payı verir, payda aynı kalır. Neden? Çünkü her bütün, payda kadar parçadan oluşur. Payın içinde kaç tane “payda kadar parça” varsa o kadar bütün elde ederiz; artan parçalar ise bütüne yetmez ve kesir olarak kalır. Parçaların boyu değişmediği için payda da değişmez.

Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme: Tam kısmı payda ile çarparız, sonuca payı ekleriz; bu yeni paydır. Payda aynı kalır. Neden? Her bütünde payda kadar parça vardır. Tam sayı kadar bütünü parçalara ayırınca (tam × payda) parça çıkar; yanındaki parçaları da ekleyince toplam parça sayısını buluruz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir pizza 8 eş dilime bölünmüştür. Elif bu dilimlerin 3 tanesini yemiştir. Elif pizzanın ne kadarını yemiştir? Bu kesir hangi türdendir?

Çözüm:

Adım 1: Bütün 8 eş parçaya bölündüğü için payda 8'dir.

Adım 2: Alınan parça sayısı 3 olduğu için pay 3'tür.

Adım 3: Kesir 3/8 olur.

Adım 4: Pay (3), paydadan (8) küçük olduğu için bu bir basit kesirdir.

Sonuç: Elif pizzanın 3/8'ini yemiştir; bu bir basit kesirdir.

Örnek 2: Aşağıdaki kesirlerin türlerini belirleyiniz: 1/6, 4/7, 9/4, 5/5, 2 1/3

Çözüm:

Adım 1: 1/6'nın payı 1'dir, bu yüzden birim kesirdir. (Payı paydasından küçük olduğu için aynı zamanda basit kesirdir.)

Adım 2: 4/7'de 4 < 7 olduğu için basit kesirdir.

Adım 3: 9/4'te 9 > 4 olduğu için bileşik kesirdir.

Adım 4: 5/5'te pay paydaya eşittir, bu yüzden bileşik kesirdir ve 1 bütüne eşittir.

Adım 5: 2 1/3'te bir tam sayı ve bir basit kesir birlikte yazılmıştır; tam sayılı kesirdir.

Sonuç: 1/6 birim, 4/7 basit, 9/4 bileşik, 5/5 bileşik, 2 1/3 tam sayılı kesirdir.

Örnek 3: 17/5 bileşik kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

Çözüm:

Adım 1: Payı paydaya bölelim: 17 ÷ 5.

Adım 2: 5 × 3 = 15, 17 − 15 = 2. Yani bölüm 3, kalan 2'dir.

Adım 3: Bölüm tam kısım olur: 3.

Adım 4: Kalan yeni pay olur: 2. Payda aynı kalır: 5.

Adım 5: Kontrol: 3 × 5 + 2 = 17. Doğru!

Sonuç: 17/5 = 3 2/5

Örnek 4: 4 3/8 tam sayılı kesrini bileşik kesre çeviriniz.

Çözüm:

Adım 1: Tam kısmı payda ile çarpalım: 4 × 8 = 32. Bu, 4 bütünde toplam 32 tane 1/8 parça olduğunu gösterir.

Adım 2: Bu sayıya payı ekleyelim: 32 + 3 = 35.

Adım 3: Payda aynı kalır: 8.

Adım 4: Kontrol: 35 ÷ 8 = 4 kalan 3, yani 4 3/8. Doğru!

Sonuç: 4 3/8 = 35/8

Örnek 5: 12/4 kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

Çözüm:

Adım 1: Payı paydaya bölelim: 12 ÷ 4.

Adım 2: 4 × 3 = 12, kalan 0'dır.

Adım 3: Kalan 0 olduğu için artan parça yoktur; geriye kesir kısmı kalmaz.

Adım 4: Yani 12 tane çeyrek parça, tam olarak 3 bütün eder.

Sonuç: 12/4 = 3 (bir doğal sayıya eşittir)

Örnek 6: Bir pastane her pastayı 6 eş dilime bölüyor. Bir günde 23 dilim pasta satılıyor. Satılan pasta miktarını bileşik kesir ve tam sayılı kesir olarak yazınız.

Çözüm:

Adım 1: Her pasta 6 eş dilim olduğu için bir dilim 1/6 pastadır.

Adım 2: 23 dilim satıldığı için satılan miktar 23/6 pastadır. Bu bileşik kesirdir.

Adım 3: Tam sayılı kesre çevirelim: 23 ÷ 6 işleminde 6 × 3 = 18, 23 − 18 = 5. Bölüm 3, kalan 5.

Adım 4: Tam kısım 3, pay 5, payda 6 olur.

Adım 5: Kontrol: 3 × 6 + 5 = 23. Doğru!

Sonuç: Satılan pasta 23/6 = 3 5/6 pastadır.

Sık yapılan hatalar

• Eş olmayan parçaları kesir sanmak. Yanlış: Birbirine eşit olmayan 4 parçaya bölünmüş bir şeklin boyalı parçasına “1/4” demek. Doğrusu: Kesir yazabilmek için parçaların eşit olması gerekir; parçalar eşit değilse boyalı kısım 1/4 değildir.
• Pay ile paydayı karıştırmak. Yanlış: “8 dilimin 3'ü yenildi” için 8/3 yazmak. Doğrusu: Alttaki sayı bütünün kaç parçaya bölündüğünü gösterir; doğru kesir 3/8'dir.
• Tam sayılı kesri çevirirken tam sayıyı paya eklemek. Yanlış: 2 1/4 = (2 + 1)/4 = 3/4. Doğrusu: Önce tam kısım payda ile çarpılır: 2 × 4 + 1 = 9, yani 9/4. (3/4, 1'den küçüktür; oysa 2 1/4, 2'den büyüktür.)
• Çeviri yaparken paydayı değiştirmek. Yanlış: 11/3 = 3 2/11. Doğrusu: Parçaların boyu değişmediği için payda aynı kalır: 11 ÷ 3 = 3 kalan 2, yani 3 2/3.
• Pay paydaya eşit olan kesri basit kesir sanmak. Yanlış: “5/5 basit kesirdir.” Doğrusu: Pay paydaya eşit olduğu için 5/5 bileşik kesirdir ve 1 bütüne eşittir.

Alıştırma

1. Bir bütün 9 eş parçaya bölünmüş ve 4 parçası boyanmıştır. Boyalı kısmı gösteren kesir nedir?

2. 7/12 kesri hangi türdendir?

3. 1/10 kesri hangi türdendir?

4. 13/4 bileşik kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

5. 29/6 bileşik kesrini tam sayılı kesre çeviriniz.

6. 5 2/3 tam sayılı kesrini bileşik kesre çeviriniz.

7. 3 7/10 tam sayılı kesrini bileşik kesre çeviriniz.

8. 18/6 kesri hangi doğal sayıya eşittir?

9. 2 3/5 içinde kaç tane 1/5 vardır?

10. Bir manav 27 elmayı, her biri 8 elma alan kasalara yerleştiriyor. Elmalar kaç kasa eder? Cevabı tam sayılı kesir olarak yazınız.

Cevap Anahtarı

• 1. 4/9 — Payda bölünen parça sayısı (9), pay boyalı parça sayısıdır (4).
• 2. Basit kesir — Pay (7), paydadan (12) küçüktür.
• 3. Birim kesir (aynı zamanda basit kesir) — Payı 1'dir.
• 4. 3 1/4 — 13 ÷ 4 = 3 kalan 1 olduğundan tam kısım 3, pay 1, payda 4'tür.
• 5. 4 5/6 — 29 ÷ 6 = 4 kalan 5 (6 × 4 = 24, 29 − 24 = 5).
• 6. 17/3 — 5 × 3 + 2 = 17, payda 3 olarak kalır.
• 7. 37/10 — 3 × 10 + 7 = 37, payda 10 olarak kalır.
• 8. 3 — 18 ÷ 6 = 3 kalan 0 olduğu için kesir kısmı kalmaz.
• 9. 13 tane — 2 3/5 = (2 × 5 + 3)/5 = 13/5, yani 13 tane 1/5 vardır.
• 10. 3 3/8 kasa — 27 ÷ 8 = 3 kalan 3 (8 × 3 = 24, 27 − 24 = 3), yani 27/8 = 3 3/8.

Dersin özeti

• Kesir, eş parçalara bölünmüş bir bütünün bir kısmını gösterir; payda kaç parçaya bölündüğünü, pay kaç parça alındığını söyler.
• Birim kesirin payı 1'dir; basit kesirde pay paydadan küçüktür ve kesir 1'den küçüktür.
• Bileşik kesirde pay paydaya eşit veya paydadan büyüktür; kesir 1'e eşit ya da 1'den büyüktür.
• Bileşik → tam sayılı: pay ÷ payda; bölüm tam kısım, kalan pay olur, payda aynı kalır.
• Tam sayılı → bileşik: tam × payda + pay yeni payı verir, payda aynı kalır; sonucu ters çeviriyle kontrol etmeyi unutma.