Kesirlerle Çarpma ve Bölme

Tahmini süre: 15 dk

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde kesirleri karşılaştırmayı, toplamayı ve çıkarmayı öğrendik. Toplama ve çıkarmada paydaları eşitlemek zorundaydık, çünkü aynı büyüklükteki parçaları bir araya getiriyorduk. Bu derste iki yeni işleme geçiyoruz: çarpma ve bölme. Güzel bir haberimiz var: çarpmada payda eşitlemeye hiç gerek yok. Nedenini birlikte göreceğiz.

Mutfakta bir kek tarifi düşünelim. Tarifte 3/4 kilogram un yazıyor, ama siz kekin yarısı kadar yapmak istiyorsunuz. O zaman 3/4 kilogramın yarısı kadar un almanız gerekir. İşte bu, 3/4 × 1/2 işlemidir. Matematikte 'bir şeyin yarısı kadarı', 'üçte biri kadarı' dediğimiz her yerde aslında kesirle çarpma yaparız. Yani çarpma işaretini 'kadarı' ya da 'ının' diye okuyabiliriz: 3/4 × 1/2, '3/4'ün 1/2'si' demektir.

Şimdi başka bir durum: Elinizde 5 litre ayran var ve bunu 1/3 litrelik küçük şişelere dolduracaksınız. Kaç şişe gerekir? Burada '5 litrenin içinde kaç tane 1/3 litre var?' diye soruyoruz. İşte bu da 5 ÷ 1/3 işlemidir. Bölme, 'içinde kaç tane var?' sorusunun cevabıdır. Bu derste bölmede neden ikinci kesrin ters çevrilip çarpıldığını ezberlemeden, mantığıyla anlayacağız.

Tanım ve kural

1. Doğal sayı ile kesri çarpma

Çarpma, tekrarlı toplamadır. 3 × 4 = 4 + 4 + 4 olduğu gibi, 3 × 2/5 de 2/5 + 2/5 + 2/5 demektir.

2/5 + 2/5 + 2/5 = 6/5 olur. Paydalar aynı kaldı, çünkü parçaların büyüklüğü değişmedi; sadece parça sayısı 3 katına çıktı.

Kural: Doğal sayı ile kesir çarpılırken doğal sayı yalnızca pay ile çarpılır, payda aynen kalır. 3 × 2/5 = (3 × 2)/5 = 6/5.

2. Kesir ile kesri çarpma

1/2 × 1/3 işlemini, '1/3'ün yarısı' olarak düşünelim. Bir çikolatayı dikine 3 eşit parçaya böl ve bir parçasını ayır. Şimdi bütün çikolatayı yatay olarak da 2 eşit parçaya böl. Çikolata artık 3 × 2 = 6 küçük kareye ayrıldı. Ayırdığın 1/3'lük şeridin yarısı, bu 6 küçük kareden yalnızca 1 tanesidir. Demek ki 1/2 × 1/3 = 1/6.

Neden paylar ve paydalar ayrı ayrı çarpılıyor? Paydaları çarpınca bütünün kaç küçük parçaya bölündüğünü, payları çarpınca bu küçük parçalardan kaç tanesini aldığımızı buluruz. Örneğin 2/3 × 4/5 işleminde bütün 3 × 5 = 15 küçük parçaya bölünür ve bunlardan 2 × 4 = 8 tanesi seçilir: sonuç 8/15.

Kural: Kesirler çarpılırken pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Payda eşitlemeye gerek yoktur.

İpucu: Çarpmadan önce bir paydaki sayı ile bir paydadaki sayı aynı sayıya bölünebiliyorsa sadeleştirebiliriz. Böylece büyük sayılarla uğraşmayız.

3. Bir çokluğun kesri kadarını bulma

24'ün 3/4'ü, 24 × 3/4 demektir. 24'ü önce 4 eşit parçaya böleriz: 24 ÷ 4 = 6. Bu parçalardan 3 tanesini alırız: 6 × 3 = 18. Önce paydaya bölüp sonra payla çarpmak, sayıları küçük tuttuğu için işimizi kolaylaştırır.

4. Tam sayılı kesirlerle çarpma ve bölme

1 tam 1/2 gibi tam sayılı kesirleri işleme sokmadan önce mutlaka bileşik kesre çeviririz: 1 tam 1/2 = 3/2. Çünkü tam kısım ile kesir kısmını ayrı ayrı çarpmak yanlış sonuç verir. Bunu sık yapılan hatalar bölümünde göreceğiz.

5. Kesirlerle bölme: Neden ikinci kesri ters çeviriyoruz?

Önce basit bir soru: 6 ÷ 1/2 kaçtır? Soruyu '6'nın içinde kaç tane yarım var?' diye okuyalım. Her bir bütünün içinde 2 tane yarım vardır. 6 bütünün içinde 6 × 2 = 12 tane yarım vardır. Yani 6 ÷ 1/2 = 6 × 2 = 12. Gördüğün gibi 1/2 ile bölmek, 2 ile çarpmakla aynı sonucu verdi.

Bir örnek daha: 2/3 ÷ 1/6 kaçtır? Paydaları eşitleyelim: 2/3 = 4/6. '4/6'nın içinde kaç tane 1/6 var?' sorusunun cevabı açıkça 4'tür. Şimdi ters çevirip çarpalım: 2/3 × 6/1 = 12/3 = 4. İki yol aynı sonucu verdi.

Bir kesrin payı ile paydasının yer değiştirmesiyle elde edilen kesre, o kesrin çarpma işlemine göre tersi denir. 1/2'nin tersi 2/1 yani 2; 3/4'ün tersi 4/3'tür. Bir kesir ile tersinin çarpımı her zaman 1'dir: 3/4 × 4/3 = 12/12 = 1.

Kural: Kesirlerle bölme yapılırken birinci kesir aynen yazılır, bölme işareti çarpmaya çevrilir ve ikinci kesrin tersi alınır.

Sağlama: Bölme ile çarpma ters işlemlerdir. 12 ÷ 3 = 4 ise 4 × 3 = 12 olur. Aynı şekilde 6 ÷ 1/2 = 12 ise 12 × 1/2 = 6 olmalıdır. Gerçekten de 12'nin yarısı 6'dır. Bölme sonucunu her zaman bu yolla kontrol edebilirsin.

Kesri doğal sayıya bölme: 3/4 ÷ 2, '3/4'ü 2 eşit parçaya paylaştır' demektir. Her parça 3/4'ün yarısı olur: 3/4 × 1/2 = 3/8. Çünkü 2'nin tersi 1/2'dir.

Özet tablo

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 4 × 2/3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1. adım: Doğal sayıyı yalnızca pay ile çarparız: 4 × 2 = 8.

2. adım: Payda aynı kalır: 8/3.

3. adım: 8/3 bileşik kesirdir. 8'in içinde 2 tane 3 vardır, 2 artar: 2 tam 2/3.

Sonuç: 8/3 = 2 tam 2/3

Örnek 2: 2/5 × 3/4 işleminin sonucunu sadeleştirilmiş olarak bulunuz.

Çözüm:

1. adım: Paydaki 2 ile paydadaki 4 aynı sayıya (2'ye) bölünebilir. 2 yerine 1, 4 yerine 2 yazarız.

2. adım: İşlem 1/5 × 3/2 hâline gelir.

3. adım: Pay ile pay: 1 × 3 = 3. Payda ile payda: 5 × 2 = 10.

4. adım: Kontrol: Sadeleştirmeden yapsaydık 6/20 bulurduk; 6/20'yi 2'ye sadeleştirince yine 3/10 olur.

Sonuç: 3/10

Örnek 3: 30 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 2/5'i gözlük takıyor. Kaç öğrenci gözlük takıyor?

Çözüm:

1. adım: 30'un 2/5'ini bulacağız, yani 30 × 2/5.

2. adım: Önce 30'u 5 eşit gruba ayırırız: 30 ÷ 5 = 6.

3. adım: Bu gruplardan 2 tanesini alırız: 6 × 2 = 12.

Sonuç: 12 öğrenci

Örnek 4: 1 tam 1/2 × 2/3 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1. adım: Tam sayılı kesri bileşik kesre çeviririz: 1 tam 1/2 = (1 × 2 + 1)/2 = 3/2.

2. adım: İşlem 3/2 × 2/3 olur.

3. adım: Pay ile pay: 3 × 2 = 6. Payda ile payda: 2 × 3 = 6.

4. adım: 6/6 = 1. Aslında 3/2 ile 2/3 birbirinin tersidir, bu yüzden çarpımları 1 çıktı.

Sonuç: 1

Örnek 5: 5 litre ayran, 1/3 litrelik şişelere doldurulacak. Kaç şişe gerekir?

Çözüm:

1. adım: '5 litrenin içinde kaç tane 1/3 litre var?' sorusu bölme işlemidir: 5 ÷ 1/3.

2. adım: Her 1 litreye 3 şişe dolar. İkinci kesrin tersi 3/1'dir: 5 × 3.

3. adım: 5 × 3 = 15.

4. adım: Sağlama: 15 × 1/3 = 15/3 = 5 litre. Doğru.

Sonuç: 15 şişe

Örnek 6: 3/4 ÷ 3/8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1. adım: Birinci kesri aynen yazarız: 3/4.

2. adım: Bölmeyi çarpmaya çevirir, ikinci kesrin tersini alırız: 3/4 × 8/3.

3. adım: Pay ile pay: 3 × 8 = 24. Payda ile payda: 4 × 3 = 12.

4. adım: 24/12 = 2.

5. adım: Sağlama: 2 × 3/8 = 6/8 = 3/4. Doğru.

Sonuç: 2

Örnek 7: 2 tam 1/4 metre uzunluğundaki bir kurdele, her biri 3/4 metre olan parçalara kesiliyor. Kaç parça elde edilir?

Çözüm:

1. adım: Tam sayılı kesri bileşik kesre çeviririz: 2 tam 1/4 = (2 × 4 + 1)/4 = 9/4.

2. adım: 'İçinde kaç tane var?' sorusu olduğu için bölme yaparız: 9/4 ÷ 3/4.

3. adım: İkinci kesrin tersiyle çarparız: 9/4 × 4/3.

4. adım: Pay ile pay: 9 × 4 = 36. Payda ile payda: 4 × 3 = 12. 36/12 = 3.

5. adım: Sağlama: 3 × 3/4 = 9/4 = 2 tam 1/4 metre. Doğru.

Sonuç: 3 parça

Örnek 8 (çok adımlı): Elif'in 36 TL'si var. Parasının 1/3'ü ile kitap, kalan parasının 3/4'ü ile defter alıyor. Elif'in kaç TL'si kalır?

Çözüm:

1. adım: Kitaba harcanan: 36'nın 1/3'ü = 36 ÷ 3 = 12 TL.

2. adım: Kalan para: 36 − 12 = 24 TL.

3. adım: Dikkat! Defter, kalan paranın 3/4'ü ile alınıyor. 24'ün 3/4'ü: 24 ÷ 4 = 6, 6 × 3 = 18 TL.

4. adım: Son kalan para: 24 − 18 = 6 TL.

Sonuç: 6 TL

Sık yapılan hatalar

• Çarpmada paydayı aynı bırakmak: Yanlış: 2/5 × 3/5 = 6/5. Bu, toplama kuralını çarpmaya taşımaktır. Doğrusu: paydalar da çarpılır, 2/5 × 3/5 = 6/25.
• Doğal sayıyı hem paya hem paydaya çarpmak: Yanlış: 3 × 2/5 = 6/15. Doğrusu: doğal sayı yalnızca pay ile çarpılır, 3 × 2/5 = 6/5. (6/15 = 2/5 olduğuna dikkat et; yani o yanlış yolla kesir hiç değişmemiş olur.)
• Bölmede birinci kesri ters çevirmek: Yanlış: 3/4 ÷ 3/8 = 4/3 × 3/8 = 12/24 = 1/2. Doğrusu: birinci kesir aynen kalır, ikincinin tersi alınır: 3/4 × 8/3 = 24/12 = 2.
• Tam sayılı kesirde tam kısımları ve kesir kısımlarını ayrı çarpmak: Yanlış: 1 tam 1/2 × 2 tam 1/2 = 2 tam 1/4. Doğrusu: önce bileşik kesre çevir: 3/2 × 5/2 = 15/4 = 3 tam 3/4.
• 'Çarpma her zaman büyütür, bölme her zaman küçültür' sanmak: Yanlış: 12 × 1/2 sonucu 12'den büyük olmalı. Doğrusu: 1'den küçük bir kesirle çarpınca sonuç küçülür (12 × 1/2 = 6), 1'den küçük bir kesirle bölünce sonuç büyür (12 ÷ 1/2 = 24).

Alıştırma

1) 5 × 3/7 işleminin sonucunu tam sayılı kesir olarak yazınız.

2) 3/8 × 4/9 işleminin sonucunu sadeleştirilmiş olarak bulunuz.

3) 48'in 5/6'sı kaçtır?

4) 2 tam 2/3 × 3/4 işleminin sonucu kaçtır?

5) 4 ÷ 1/5 işleminin sonucu kaçtır?

6) 5/6 ÷ 2/3 işleminin sonucunu tam sayılı kesir olarak yazınız.

7) 4/5 ÷ 4 işleminin sonucu kaçtır?

8) 1 tam 1/2 ÷ 3/8 işleminin sonucu kaçtır?

9) 7 tam 1/2 kilogram pirinç, 3/4 kilogramlık paketlere konuluyor. Kaç paket elde edilir?

10) 60 sayfalık bir kitabın ilk gün 1/4'ü, ikinci gün kalan sayfaların 2/5'i okunuyor. Okunmayan kaç sayfa kalır?

Cevap Anahtarı

• 1) 2 tam 1/7 — 5 × 3 = 15, sonuç 15/7; 15'in içinde 2 tane 7 var, 1 artıyor.
• 2) 1/6 — 3 ile 9'u 3'e, 4 ile 8'i 4'e sadeleştirince 1/2 × 1/3 = 1/6 kalır.
• 3) 40 — 48 ÷ 6 = 8, sonra 8 × 5 = 40.
• 4) 2 — 2 tam 2/3 = 8/3 olur ve 8/3 × 3/4 = 24/12 = 2.
• 5) 20 — Her bütünde 5 tane 1/5 vardır, 4 × 5 = 20.
• 6) 1 tam 1/4 — 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1 tam 1/4.
• 7) 1/5 — 4'ün tersi 1/4'tür ve 4/5 × 1/4 = 4/20 = 1/5.
• 8) 4 — 1 tam 1/2 = 3/2 olur ve 3/2 × 8/3 = 24/6 = 4.
• 9) 10 paket — 7 tam 1/2 = 15/2 olur ve 15/2 × 4/3 = 60/6 = 10.
• 10) 27 sayfa — İlk gün 15 sayfa okunur, kalan 45 sayfanın 2/5'i 18'dir ve 45 − 18 = 27 sayfa kalır.

Dersin özeti

• Kesirle çarpma 'kesri kadarını almak'tır: 3/4 × 1/2, 3/4'ün yarısı demektir. Pay ile pay, payda ile payda çarpılır; payda eşitlemeye gerek yoktur. Doğal sayı ile çarparken yalnızca pay çarpılır.
• Bir çokluğun kesri kadarını bulurken önce paydaya böler, sonra payla çarparız: 24'ün 3/4'ü = 24 ÷ 4 × 3 = 18.
• Kesirle bölme 'içinde kaç tane var?' sorusudur. Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesrin çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Sonucu 'sonuç × bölen = bölünen' diye kontrol edebilirsin.
• Tam sayılı kesirler her zaman önce bileşik kesre çevrilir; çok adımlı problemlerde 'kalanın' kelimesine dikkat edilir.
• Tahminle kontrol et: 1'den küçük kesirle çarpınca sonuç küçülür, 1'den küçük kesirle bölünce büyür. Test sorularında bu tahmin, mantıksız şıkları hızla elemeni sağlar. Sıradaki derste kesirlerin ondalık gösterimine geçeceğiz ve burada öğrendiğin 'paydaya böl' düşüncesini orada da kullanacağız.