Kare Almanın Kısayolları: 5 ile Biten Sayılar ve Yakın Sayılar

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derslerde sayıları parçalamayı, yuvarlamayı ve çarpmayı kolay parçalara bölmeyi gördük. Bu derste aynı fikirleri kare almada kullanacağız. Bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpımıdır. Örneğin 35² = 35 × 35. Bu çarpımı kâğıtsız yapmanın kısa yolları var ve hepsinin arkasında basit bir neden yatıyor.

Günlük hayattan giriş

Kare şeklindeki her şeyin alanı bir kare alma işlemidir. Kenarı 45 cm olan kare bir fayansın alanını, kenarı 25 m olan kare bir arsanın alanını ya da 50 × 50 cm yastık kılıfı için ne kadar kumaş gerektiğini düşünürken hep bir sayının karesini buluruz. Mağazada, tadilatta veya hobi işlerinde bu hesabı hızlıca kafadan yapabilmek zaman kazandırır.

Kare almada iki durum çok sık karşımıza çıkar. Birincisi 5 ile biten sayılar: 15, 25, 35, 45 gibi. Ölçüler, fiyatlar ve miktarlar çoğu zaman 5'e yuvarlanır. İkincisi ise “yuvarlak bir sayıya yakın” sayılar: 48, 52, 97, 103 gibi. Bu sayılar 50'ye ya da 100'e çok yakındır ve bu yakınlığı kullanarak hesabı çok kolaylaştırabiliriz.

Bu derste ezber bir “sihir” öğrenmeyeceğiz. Her kısayolun neden doğru olduğunu küçük bir hesapla göstereceğiz. Nedenini bilen kişi, kuralı unutsa bile yeniden kurabilir.

Tanım ve kural

1. Kural: 5 ile biten sayıların karesi

Sayının sonundaki 5'i kapatın. Geriye kalan sayıya n diyelim. n'yi bir fazlasıyla çarpın, sonuna 25 yazın.

Örnek: 35² için n = 3. 3 × 4 = 12. Sonuna 25 yazarsak 1225.

Neden? 5 ile biten bir sayı “10 × n + 5” şeklindedir. 35 = 10 × 3 + 5 gibi. Bu sayıyı kendisiyle çarpalım:

(10n + 5)² = 100n² + 2 × 10n × 5 + 25

= 100n² + 100n + 25

= 100 × n × (n + 1) + 25

Yani n × (n + 1) yüzler kısmını, 25 de son iki basamağı verir. Kuralın bütün sırrı bu.

2. Kural: 50'ye yakın sayıların karesi

Sayıyı 50 + b olarak düşünün (b eksi de olabilir). Önce 25 + b hesaplayın, sonra yanına b² sayısını iki basamak olacak şekilde yazın.

Neden? (a + b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğini kullanalım:

(50 + b)² = 2500 + 100b + b²

2500, 25 tane yüz demektir; 100b de b tane yüz demektir. Toplam (25 + b) tane yüz eder. Geriye b² kalır ve son iki basamağa yazılır.

3. Kural: 100'e yakın sayıların karesi

Sayıyı 100 + b olarak düşünün. Önce sayının kendisine b'yi bir kez daha ekleyin (yani 100 + 2b), sonra yanına b² sayısını iki basamak olarak yazın.

Neden? (100 + b)² = 10000 + 200b + b² = 100 × (100 + 2b) + b². Böylece 100 + 2b yüzler kısmı, b² son iki basamak olur.

4. Kural: (a − b)(a + b) ile yuvarlama

(a − b)(a + b) = a² − b² özdeşliğini ters çevirirsek:

a² = (a − b)(a + b) + b²

Yani bir sayının karesini, sayıdan b kadar aşağı ve b kadar yukarı giderek bulabiliriz. b'yi öyle seçeriz ki çarpanlardan biri yuvarlak olsun. Örneğin 48² = 46 × 50 + 2² = 2300 + 4 = 2304.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 25² kaçtır?

Çözüm:

Sondaki 5'i kapatınca n = 2 kalır.

n × (n + 1) = 2 × 3 = 6.

Sonuna 25 yazarız: 6 | 25.

Sonuç: 25² = 625

Örnek 2: Kenarı 85 cm olan kare bir halının alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Alan = 85² olur.

n = 8, n × (n + 1) = 8 × 9 = 72.

Sonuna 25 yazarız: 72 | 25.

Sonuç: 7225 cm²

Örnek 3: 52² kaçtır?

Çözüm:

52 = 50 + 2, yani b = 2.

25 + b = 25 + 2 = 27.

b² = 4, iki basamak olarak 04 yazılır.

Yan yana: 27 | 04.

Sonuç: 52² = 2704

Örnek 4: 46² kaçtır?

Çözüm:

46 = 50 − 4, yani b = −4.

25 + b = 25 − 4 = 21.

b² = (−4)² = 16 (eksi sayının karesi artıdır).

Yan yana: 21 | 16.

Sonuç: 46² = 2116

Örnek 5: 98² kaçtır?

Çözüm:

98 = 100 − 2, yani b = −2.

100 + 2b = 98 − 2 = 96.

b² = 4, iki basamak olarak 04.

Yan yana: 96 | 04.

Sonuç: 98² = 9604

Örnek 6: 107² kaçtır?

Çözüm:

107 = 100 + 7, yani b = 7.

100 + 2b = 107 + 7 = 114.

b² = 49.

Yan yana: 114 | 49.

Sonuç: 107² = 11449

Örnek 7: 38² kaçtır? (a − b)(a + b) yöntemiyle

Çözüm:

38'e 2 eklersek 40 olur, bu yüzden b = 2 seçeriz.

a − b = 36 ve a + b = 40.

36 × 40 = 36 × 4 × 10 = 144 × 10 = 1440.

b² = 4 ekleriz: 1440 + 4 = 1444.

Sonuç: 38² = 1444

Örnek 8: 89² kaçtır? (Elde gereken durum)

Çözüm:

89 = 100 − 11, yani b = −11.

100 + 2b = 89 − 11 = 78, bu 78 tane yüz yani 7800 demektir.

b² = 121. Bu üç basamaklı olduğu için yan yana yazamayız, toplarız.

7800 + 121 = 7921.

Sonuç: 89² = 7921

Not: b² iki basamağı aşarsa “yan yana yazma” yerine “yüzler kısmına ekleme” yaparız. İsterseniz 89² = 88 × 90 + 1 = 7920 + 1 = 7921 ile de kontrol edebilirsiniz.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 35² için 3 × 3 = 9 alıp 925 yazmak. Doğrusu: n bir fazlasıyla çarpılır: 3 × 4 = 12, sonuç 1225.
• Yanlış: 53² için 28 | 9 yazıp 289 bulmak. Doğrusu: b² her zaman iki basamak yazılır: 28 | 09, sonuç 2809.
• Yanlış: 96² için 96 + 4 = 100 alıp 10016 yazmak. Doğrusu: 96, 100'ün 4 altındadır; b = −4 olduğu için 96 − 4 = 92, sonuç 9216.
• Yanlış: 88² için 76 | 144 yazıp 76144 bulmak. Doğrusu: b² üç basamaklıysa toplanır: 7600 + 144 = 7744.
• Yanlış: 52² = 50² + 2² = 2504 demek. Doğrusu: (a + b)² = a² + 2ab + b²; ortadaki 2 × 50 × 2 = 200 unutulmamalı: 2500 + 200 + 4 = 2704.

Alıştırma

1) 45² kaçtır?

2) Kenarı 75 cm olan kare bir masa örtüsünün alanı kaç cm²'dir?

3) 105² kaçtır?

4) 54² kaçtır?

5) 49² kaçtır?

6) 44² kaçtır?

7) 102² kaçtır?

8) 95² sayısını iki farklı yöntemle bulun.

9) 112² kaçtır?

10) 62² sayısını (a − b)(a + b) yöntemiyle bulun.

Cevap Anahtarı

• 1) 2025. 4 × 5 = 20, sonuna 25 yazılır.
• 2) 5625 cm². 7 × 8 = 56, sonuna 25 yazılır.
• 3) 11025. n = 10 olduğu için 10 × 11 = 110, sonuna 25 yazılır.
• 4) 2916. b = 4 için 25 + 4 = 29, yanına 4² = 16 yazılır.
• 5) 2401. b = −1 için 25 − 1 = 24, yanına 01 yazılır.
• 6) 1936. b = −6 için 25 − 6 = 19, yanına (−6)² = 36 yazılır.
• 7) 10404. 102 + 2 = 104, yanına 04 yazılır.
• 8) 9025. 9 × 10 = 90 ve sonuna 25; ya da 95 − 5 = 90 ve yanına 5² = 25.
• 9) 12544. 112 + 12 = 124 yani 12400, b² = 144 üç basamaklı olduğu için toplanır: 12400 + 144.
• 10) 3844. b = 2 seçilir: 60 × 64 = 3840, üstüne 2² = 4 eklenir.

Dersin özeti

• 5 ile biten bir sayının karesi: sondaki 5 kapatılır, kalan sayı bir fazlasıyla çarpılır ve sonuna 25 yazılır; nedeni (10n + 5)² = 100 × n × (n + 1) + 25 eşitliğidir.
• 50'ye yakın sayılarda (50 + b)² = 2500 + 100b + b² olduğu için yüzler kısmı 25 + b, son iki basamak b² olur.
• 100'e yakın sayılarda yüzler kısmı sayıya b'yi bir kez daha ekleyerek bulunur, son iki basamak yine b²'dir; b² üç basamaklıysa yan yana yazılmaz, toplanır.
• a² = (a − b)(a + b) + b² eşitliği ile her sayının karesi, çarpanlardan birini yuvarlak yaparak kolayca hesaplanabilir.
• Bir sonraki derste bu parçalama ve yuvarlama fikirlerini yeni kısayollarla birleştirerek zihinden hesap becerimizi genişletmeye devam edeceğiz; o derse geçmeden önce birkaç kareyi iki farklı yöntemle bulup sonuçları karşılaştırmak iyi bir tekrar olur.