İki Basamaklı Sayılarda Hızlı Çarpma

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derste toplama ve çıkarmada sayıları parçalara ayırıp yuvarlayarak işlemleri zihinden kolaylaştırmayı gördük. Bu derste aynı fikri çarpmaya taşıyoruz: Zor bir çarpmayı kolay parçalara bölüp sonra parçaları topluyoruz. Göreceğin bütün kısayollar aslında tek bir kuraldan doğuyor: dağılma özelliği.

Günlük hayattan giriş

Markette tanesi 99 TL olan bir üründen 12 tane aldığını düşün. Kasaya gelmeden toplam tutarı kabaca bilmek istiyorsun. Kâğıt kalem yok, telefonu çıkarmak da istemiyorsun. Aklına şu gelebilir: “99 neredeyse 100. 12 tane 100 TL, 1200 TL eder. Her üründe 1 TL fazla saydım, yani 12 TL fazla saydım. O zaman 1200 − 12 = 1188 TL.” Farkında olmasan da burada dağılma özelliğini kullandın.

Başka bir örnek: 11 kişilik bir arkadaş grubu yemeğe gidiyor, kişi başı hesap 45 TL. Toplam ne kadar? 45 × 11 işlemini zihinden birkaç saniyede yapmanın bir yolu var: 4 ile 5'i yan yana yazıp aralarına toplamlarını (4 + 5 = 9) koyuyorsun: 495 TL. Bu bir sihir değil; neden işe yaradığını bu derste adım adım göreceğiz.

Maaş hesabı, taksit tutarı, kira, toplu alışveriş, bir etkinliğe kaç kişilik malzeme lazım olduğu gibi birçok durumda iki basamaklı sayıları çarpıyoruz. Bu yöntemleri öğrendiğinde hem daha hızlı hesaplayacak hem de hesap makinesinin ya da kasadaki tutarın doğru olup olmadığını kolayca kontrol edebileceksin.

Tanım ve kural

Dağılma özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak, o sayıyı toplamın her parçasıyla ayrı ayrı çarpıp sonuçları toplamakla aynıdır.

a × (b + c) = a × b + a × c

a × (b − c) = a × b − a × c

Neden böyle? 23 × 14, “14 tane 23” demektir. Bu 14 taneyi 10 tane ve 4 tane diye iki gruba ayırabilirsin. 10 tane 23, 230 eder. 4 tane 23, 92 eder. İki grubu birleştirince yine 14 tane 23 elde edersin: 230 + 92 = 322. Hiçbir şeyi eksik ya da fazla saymadık, sadece grupladık.

Bunu bir dikdörtgen gibi de düşünebilirsin: Kenarları 23 ve 14 olan bir dikdörtgeni 23 × 10 ve 23 × 4 büyüklüğünde iki parçaya bölersen, parçaların alanları toplamı yine bütün dikdörtgenin alanıdır.

9 ile çarpma neden kolay? 9 = 10 − 1 olduğu için:

a × 9 = a × (10 − 1) = a × 10 − a

Yani sayının sonuna 0 ekle, sonra sayının kendisini çıkar.

99 ile çarpma neden kolay? 99 = 100 − 1 olduğu için:

a × 99 = a × 100 − a

Yani sayının sonuna 00 ekle, sonra sayının kendisini çıkar.

11 ile çarpma neden kolay? 11 = 10 + 1 olduğu için:

a × 11 = a × 10 + a

İki basamaklı bir sayının onlar basamağı x, birler basamağı y olsun. Sayı 10x + y'dir.

(10x + y) × 10 = 100x + 10y

(10x + y) × 1 = 10x + y

Topla: 100x + 10x + 10y + y = 100x + 10 × (x + y) + y

Bu şu demek: Yüzler basamağında x, onlar basamağında (x + y), birler basamağında y var. İşte “rakamları aç, ortaya toplamlarını yaz” kuralı buradan geliyor. Eğer x + y toplamı 10 veya daha büyükse, onlar basamağına sadece birler rakamını yazar, 1'i yüzler basamağına eklersin (elde).

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 23 × 14 kaçtır?

Çözüm:

14'ü 10 + 4 diye parçala.

23 × 10 = 230

23 × 4 = 92

230 + 92 = 322

Sonuç: 322

Örnek 2: 47 × 9 kaçtır?

Çözüm:

9 = 10 − 1 olduğunu hatırla.

47 × 10 = 470

470 − 47 = 423

Kontrol: 9 ile çarpılan bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünür. 4 + 2 + 3 = 9, uygun.

Sonuç: 423

Örnek 3: 36 × 11 kaçtır?

Çözüm:

Rakamları aç: 3 _ 6

Ortaya toplamlarını yaz: 3 + 6 = 9

Sayı: 396

Kontrol: 360 + 36 = 396, aynı.

Sonuç: 396

Örnek 4: 78 × 11 kaçtır? (elde olan durum)

Çözüm:

Rakamları aç: 7 _ 8

Toplam: 7 + 8 = 15. Bu iki basamaklı!

Ortaya 5 yazılır, 1 elde yüzler basamağındaki 7'ye eklenir: 7 + 1 = 8

Sayı: 858

Kontrol: 780 + 78 = 858, aynı.

Sonuç: 858

Örnek 5: 64 × 99 kaçtır?

Çözüm:

99 = 100 − 1 olduğunu hatırla.

64 × 100 = 6400

6400 − 64 = 6336

Kontrol: 6 + 3 + 3 + 6 = 18, 9'a bölünür (99 da 9'un katı olduğu için böyle olmalı).

Sonuç: 6336

Örnek 6: 34 × 19 kaçtır?

Çözüm:

19, 20'ye çok yakın: 19 = 20 − 1

34 × 20 = 34 × 2 × 10 = 68 × 10 = 680

680 − 34 = 646

Sonuç: 646

Örnek 7: 49 × 27 kaçtır?

Çözüm:

49'u 50'ye yuvarla: 49 = 50 − 1

50 × 27 = 27 × 100 ÷ 2 = 2700 ÷ 2 = 1350

1 × 27 = 27 fazla saydık, çıkar: 1350 − 27 = 1323

Sonuç: 1323

Örnek 8: Tanesi 99 TL olan üründen 15 adet alınırsa toplam tutar kaç TL olur?

Çözüm:

İşlem: 15 × 99

15 × 100 = 1500

1500 − 15 = 1485

Sonuç: 1485 TL

Sık yapılan hatalar

• Parçaların bir kısmını unutmak. Yanlış: 23 × 14 = 20 × 10 + 3 × 4 = 200 + 12 = 212. Burada 20 × 4 ve 3 × 10 çarpımları atlanmış. Doğrusu: Bir çarpanı olduğu gibi bırak, diğerini parçala: 23 × 10 + 23 × 4 = 230 + 92 = 322.
• 9 ile çarpmada yanlış sayıyı çıkarmak. Yanlış: 47 × 9 = 470 − 9 = 461. 470 aslında 10 tane 47'dir; 9 tane için bir tane 47 çıkarılmalı. Doğrusu: 470 − 47 = 423.
• 99 ile çarpmada 99'u çıkarmak. Yanlış: 64 × 99 = 6400 − 99 = 6301. Doğrusu: 6400, 100 tane 64'tür; bir tane 64 çıkarılır: 6400 − 64 = 6336.
• 11 ile çarpmada eldeyi unutmak. Yanlış: 78 × 11 = 7 | 15 | 8 = 7158. İki basamaklı bir sayının karesine bile yakın olmayan dört basamaklı bir sonuç çıkması hatayı gösterir. Doğrusu: 15'in 1'i yüzlere eklenir: 858.
• Tahminle kontrol etmemek. 78 × 11, yaklaşık 80 × 10 = 800 olmalı. Sonuç 7158 gibi çok farklı çıkıyorsa bir yerde hata vardır. Her işlemden sonra kaba bir tahminle karşılaştır.

Alıştırma

• 1) 32 × 13 = ?
• 2) 56 × 9 = ?
• 3) 83 × 9 = ?
• 4) 52 × 11 = ?
• 5) 67 × 11 = ?
• 6) 89 × 11 = ?
• 7) 45 × 99 = ?
• 8) 73 × 99 = ?
• 9) 29 × 15 = ?
• 10) 18 kişilik bir grup, kişi başı 99 TL olan bir konser bileti alıyor. Toplam kaç TL ödenir?

Cevap Anahtarı

• 1) 416 — 32 × 10 + 32 × 3 = 320 + 96.
• 2) 504 — 560 − 56.
• 3) 747 — 830 − 83.
• 4) 572 — 5 ile 2'nin arasına 5 + 2 = 7 yazılır.
• 5) 737 — 6 + 7 = 13; ortaya 3 yazılır, 1 elde 6'ya eklenip 7 olur.
• 6) 979 — 8 + 9 = 17; ortaya 7 yazılır, 1 elde 8'e eklenip 9 olur.
• 7) 4455 — 4500 − 45.
• 8) 7227 — 7300 − 73.
• 9) 435 — 29'u 30'a yuvarla: 30 × 15 = 450, sonra 450 − 15.
• 10) 1782 TL — 18 × 100 = 1800, sonra 1800 − 18.

Dersin özeti

• Bütün kısayolların temeli dağılma özelliğidir: a × (b + c) = a × b + a × c. Bir çarpanı parçalara ayırıp her parçayı ayrı çarpar, sonra toplarsın.
• 9 ile çarpmak için sayının sonuna 0 ekleyip sayının kendisini çıkar; 99 ile çarpmak için sonuna 00 ekleyip yine sayının kendisini çıkar.
• İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarparken rakamları açıp ortaya toplamlarını yaz; toplam 10 veya daha büyükse 1'i yüzler basamağına ekle.
• 19, 29, 49 gibi yuvarlak sayıya yakın çarpanlarda önce yuvarla, sonra fazla saydığın kısmı çıkar.
• Her işlemden sonra kaba tahminle ve 9'un katlarında rakamlar toplamıyla sonucu kontrol et.

Bir sonraki derste bu parçalama ve yuvarlama fikrini bir adım ileri taşıyacağız. Bu derste öğrendiğin “zor sayıyı kolay parçalara böl” yaklaşımı, orada da en güçlü aracın olacak. O yüzden alıştırmaları zihinden, kâğıda bakmadan en az bir kez daha çözmeyi dene.