Harflerle Tanışma: Cebirsel İfadeler ve Sadeleştirme

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derslerde sayılarla çalıştık: dört işlemi, işlem önceliğini ve parantezin önemini tazeledik. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz ve sayıların yanına harfleri ekliyoruz. Burada öğreneceğiniz sadeleştirme becerisi, bir sonraki ve son dersimiz olan denklemler için temel olacak. Denklem çözerken yapacağımız işlerin çoğu, bugün öğreneceğimiz toplama ve parantez açma adımlarıdır.

Günlük hayattan giriş

Bir taksiye bindiğinizi düşünün. Taksimetre açılışta sabit bir ücret yazar, sonra her kilometre için belli bir tutar ekler. Yola çıkmadan önce kaç kilometre gideceğinizi tam bilmezsiniz. Yine de ücretin nasıl hesaplanacağını söyleyebilirsiniz: açılış ücreti + kilometre ücreti × gidilen kilometre. İşte bu cümledeki bilinmeyen kilometreyi kısaca bir harfle, örneğin k ile gösterirsek cebirsel bir ifade yazmış oluruz.

Aynı şey market alışverişinde, telefon faturasında ya da maaş hesabında da karşımıza çıkar. Bir ürünün tanesi 25 TL ise kaç tane alacağınızı bilmeden toplam tutarı 25 × a diye yazabilirsiniz. Kaç tane aldığınız belli olduğunda harfin yerine o sayıyı koyar, sonucu bulursunuz. Harf, aslında henüz belli olmayan ya da değişebilen bir sayının yer tutucusudur.

Harf kullanmanın asıl faydası şudur: Her durum için ayrı ayrı hesap yapmak yerine tek bir kural yazarız. 3 km için de 10 km için de aynı ifadeyi kullanırız. Bu ders boyunca bu kuralları nasıl yazacağımızı ve nasıl kısaltacağımızı (sadeleştireceğimizi) göreceğiz.

Tanım ve kural

Değişken (bilinmeyen): Yerine sayı konulabilen harftir. Genellikle x, y, a, b, k, m gibi harfler kullanılır. Hangi harfi seçtiğiniz önemli değildir; önemli olan harfin neyi temsil ettiğini bilmektir.

Cebirsel ifade: Sayılar, harfler ve işlem işaretlerinden oluşan yazıdır. Örneğin 3x + 5, 2a − 7, 4(y + 1) birer cebirsel ifadedir.

Önemli yazım kuralı: Sayı ile harf yan yana yazıldığında aralarında çarpma vardır. Yani 3x demek 3 × x demektir. x = 5 ise 3x = 3 × 5 = 15 olur, 35 değil! Tek başına x yazdığımızda ise 1x kastedilir; 1 yazılmaz ama oradadır.

Terim ve katsayı: Toplama veya çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. 4x + 3y − 6 ifadesinde üç terim vardır: 4x, 3y ve −6. Harfin önündeki sayıya katsayı denir: 4x teriminin katsayısı 4’tür.

Kural 1 – Benzer terimler toplanır: Harf kısmı aynı olan terimlere benzer terim denir. Benzer terimler toplanırken ya da çıkarılırken yalnızca katsayılar işleme girer, harf aynen kalır.

Neden? 3x, üç tane x demektir; 5x, beş tane x demektir. Üç elma ile beş elmayı bir araya koyarsanız sekiz elma olur. Aynı şekilde 3x + 5x = 8x olur. Ama 3 elma ile 5 armut toplanıp 8 elmarmut olmaz. Bu yüzden 3x + 5y daha fazla kısaltılamaz; olduğu gibi kalır.

Kural 2 – Parantez açma (dağılma özelliği): Parantezin önündeki sayı, parantezin içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır: a(b + c) = ab + ac.

Neden? 3(x + 4) ifadesi, (x + 4) paketinden 3 tane demektir: (x + 4) + (x + 4) + (x + 4). Bu paketlerde 3 tane x ve 3 tane 4 vardır. Yani toplam 3x + 12 eder. Önündeki sayı yalnızca ilk terimle çarpılsaydı, paketlerin içindeki 4’lerden ikisini kaybetmiş olurduk.

Kural 3 – Değer yerine koyma: Harfin değeri verildiğinde, harfin olduğu her yere o sayı yazılır ve işlem önceliğine uyularak hesap yapılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

3x + 5x ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

1. Her iki terimde de harf x olduğu için bunlar benzer terimlerdir.

2. Katsayıları toplarız: 3 + 5 = 8.

3. Harf aynen kalır.

Sonuç: 8x

Örnek 2

5x + 3y + 2x − y ifadesini sadeleştirin.

Çözüm:

1. x’li terimleri bir araya getiririz: 5x ve 2x.

2. y’li terimleri bir araya getiririz: 3y ve −y (yani −1y).

3. x’liler: 5x + 2x = 7x.

4. y’liler: 3y − 1y = 2y.

5. x’li ve y’li terimler benzer olmadığı için birleştirilmez.

Sonuç: 7x + 2y

Örnek 3

3(x + 4) ifadesinde parantezi açın ve sonucu x = 2 için kontrol edin.

Çözüm:

1. 3’ü parantezin içindeki ilk terimle çarparız: 3 × x = 3x.

2. 3’ü ikinci terimle çarparız: 3 × 4 = 12.

3. Parantez açılmış hâli: 3x + 12.

4. Kontrol, ilk hâl: x = 2 için 3(2 + 4) = 3 × 6 = 18.

5. Kontrol, yeni hâl: x = 2 için 3 × 2 + 12 = 6 + 12 = 18.

6. İki sonuç aynı çıktı, demek ki parantezi doğru açtık.

Sonuç: 3x + 12

Örnek 4

2(3y − 5) + 4y ifadesini sadeleştirin, sonra y = 3 için değerini bulun.

Çözüm:

1. Parantezi açarız: 2 × 3y = 6y ve 2 × (−5) = −10. Böylece 6y − 10 elde ederiz.

2. İfade şimdi: 6y − 10 + 4y.

3. Benzer terimleri toplarız: 6y + 4y = 10y.

4. Sade hâli: 10y − 10.

5. y = 3 koyarız: 10 × 3 − 10 = 30 − 10 = 20.

6. Kontrol için ilk ifadeye koyarız: 2(3 × 3 − 5) + 4 × 3 = 2(9 − 5) + 12 = 2 × 4 + 12 = 8 + 12 = 20. Aynı sonuç.

Sonuç: 10y − 10; y = 3 için değeri 20

Örnek 5

Bir taksinin açılış ücreti 20 TL, kilometre başına ücreti 15 TL’dir. Gidilen kilometreyi k ile göstererek ödenecek ücreti yazın. 8 km yol gidilirse ne kadar ödenir?

Çözüm:

1. Açılış ücreti her durumda sabittir: 20.

2. Her kilometre 15 TL olduğuna göre k kilometre için 15 × k = 15k TL ödenir.

3. Toplam ücret ifadesi: 20 + 15k.

4. k = 8 koyarız: 20 + 15 × 8.

5. İşlem önceliğine göre önce çarpma: 15 × 8 = 120.

6. Sonra toplama: 20 + 120 = 140.

Sonuç: Ücret ifadesi 20 + 15k; 8 km için 140 TL

Örnek 6

5(2m + 1) − 3(m + 2) ifadesini sadeleştirin ve m = 4 için değerini bulun.

Çözüm:

1. İlk parantezi açarız: 5 × 2m = 10m, 5 × 1 = 5. Sonuç: 10m + 5.

2. İkinci parantezin önünde −3 vardır. Eksi işareti de sayıyla birlikte her terime dağıtılır: −3 × m = −3m, −3 × 2 = −6. Sonuç: −3m − 6.

3. İfade şimdi: 10m + 5 − 3m − 6.

4. m’li terimler: 10m − 3m = 7m.

5. Sayılar: 5 − 6 = −1.

6. Sade hâli: 7m − 1.

7. m = 4 koyarız: 7 × 4 − 1 = 28 − 1 = 27.

8. Kontrol: 5(2 × 4 + 1) − 3(4 + 2) = 5 × 9 − 3 × 6 = 45 − 18 = 27. Aynı sonuç.

Sonuç: 7m − 1; m = 4 için değeri 27

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 3x + 2 = 5x. Doğrusu: 3x ile 2 benzer terim değildir; ifade 3x + 2 olarak kalır. Üç tane x ile iki tane sayı birleşip beş x olmaz.
• Yanlış: 2(x + 5) = 2x + 5. Doğrusu: 2 her terimle çarpılır: 2x + 10. İkinci terimi çarpmayı unutmak en yaygın hatadır.
• Yanlış: −3(m + 2) = −3m + 6. Doğrusu: Eksi işareti de dağıtılır: −3 × 2 = −6, yani −3m − 6.
• Yanlış: 4x + 3y = 7xy. Doğrusu: Harfleri farklı olan terimler toplanamaz; ifade 4x + 3y olarak kalır.
• Yanlış: x = 5 iken 3x = 35. Doğrusu: 3x, 3 × x demektir: 3 × 5 = 15. Harfin yerine sayı koyarken çarpma işaretini akılda tutun.

Alıştırma

1) 7a + 2a ifadesini sadeleştirin.

2) 6x − x ifadesini sadeleştirin.

3) 5b + 3 + 2b + 8 ifadesini sadeleştirin.

4) 4(x + 3) ifadesinde parantezi açın.

5) 3(2y − 1) ifadesinde parantezi açın.

6) 2(a + 5) + 3a ifadesini sadeleştirin.

7) 8x + 4 − 3x − 9 ifadesini sadeleştirin.

8) 4(k + 2) − 2(k + 1) ifadesini sadeleştirin.

9) n = 6 için 3n + 7 ifadesinin değerini bulun.

10) Kalemin tanesi 12 TL, defterin tanesi 30 TL’dir. k tane kalem ve 2 defter alan birinin ödeyeceği tutarı yazın ve k = 5 için hesaplayın.

Cevap Anahtarı

1) 9a — Katsayılar toplanır: 7 + 2 = 9.

2) 5x — Tek başına x, 1x demektir: 6 − 1 = 5.

3) 7b + 11 — b’liler 5b + 2b = 7b, sayılar 3 + 8 = 11.

4) 4x + 12 — 4 hem x ile hem 3 ile çarpılır.

5) 6y − 3 — 3 × 2y = 6y ve 3 × (−1) = −3.

6) 5a + 10 — Parantez açılınca 2a + 10 + 3a olur, 2a + 3a = 5a.

7) 5x − 5 — x’liler 8x − 3x = 5x, sayılar 4 − 9 = −5.

8) 2k + 6 — Parantezler açılınca 4k + 8 − 2k − 2 olur, bu da 2k + 6 eder.

9) 25 — 3 × 6 = 18, sonra 18 + 7 = 25.

10) 12k + 60; k = 5 için 120 TL — 2 defter 60 TL eder, 12 × 5 = 60 ve 60 + 60 = 120.

Dersin özeti

• Harf, değeri henüz belli olmayan ya da değişebilen bir sayının yerini tutar; 3x demek 3 × x demektir.
• Yalnızca harf kısmı aynı olan benzer terimler toplanır veya çıkarılır; bu sırada katsayılar işleme girer, harf aynen kalır.
• Parantez açarken öndeki sayı, işaretiyle birlikte parantezin içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır.
• Değer yerine koyarken harfin olduğu her yere sayıyı yazın ve işlem önceliğine uyun; sadeleştirdiğiniz ifadeyi ilk ifadeyle karşılaştırarak kontrol edebilirsiniz.
• Bir sonraki derste, bu sadeleştirme adımlarını kullanarak 2x + 3 = 11 gibi eşitliklerde bilinmeyeni bulmayı, yani denklem çözmeyi öğreneceğiz.