Üslü Sayılar ve Karekök: Tekrarlı Çarpmanın Kısa Yolu

Tahmini süre: 12 dk

Önceki derslerde çarpma ve bölme işlemlerini, bir de işlemlerin hangi sırayla yapılacağını tazeledik. Bu derste çarpmanın bir kısa yazılışını öğreneceğiz: üslü sayılar. Ardından bu işi tersinden düşünen karekökü tanıyacağız. Buradaki kurallar sonraki derslerde işimize yarayacak. Orada harflerle (bilinmeyenlerle) çalışacak ve denklemlere adım adım yaklaşacağız.

Günlük hayattan giriş

Evinize yeni fayans döşeteceğinizi düşünün. Oda kare şeklinde ve her kenarı 4 metre. Odanın alanını bulmak için 4 × 4 işlemini yaparsınız ve 16 metrekare bulursunuz. İşte bir sayıyı kendisiyle çarpmak, yani karesini almak, günlük hayatta en çok karşımıza çıkan üslü işlemdir. Zaten “metrekare” kelimesindeki “kare” de buradan gelir ve m² diye yazılır.

Şimdi tersini düşünelim. Emlakçı size “Bu kare bahçenin alanı 49 metrekare.” diyor. Bahçenin çevresine çit çekmek istiyorsunuz ve bir kenarın kaç metre olduğunu merak ediyorsunuz. Burada şunu sorarsınız: “Hangi sayıyı kendisiyle çarparsam 49 eder?” Cevap 7’dir, çünkü 7 × 7 = 49. Bu soruyu sormanın matematikteki adı karekök almaktır.

Bir örnek daha verelim. Kenarları 3 cm olan küp şeklinde bir buz kalıbının hacmi 3 × 3 × 3 = 27 cm³ olur. Aynı sayıyı üç kez çarptığımız için buna küp denir. Aynı sayıyı 5, 10, hatta 20 kez çarpmamız gerekseydi uzun uzun yazmak çok yorucu olurdu. Üslü yazım tam olarak bu yükü hafifletmek için vardır.

Tanım ve kural

Üs nedir? Bir sayıyı kendisiyle tekrar tekrar çarpmanın kısa yazılışıdır. Örneğin 2 × 2 × 2 × 2 × 2 yerine 2⁵ yazarız.

Burada alttaki büyük sayıya taban denir (2), sağ üstteki küçük sayıya da üs denir (5). Üs, tabanın kaç kez çarpılacağını söyler. 2⁵ “2 üssü 5” diye okunur.

Dikkat: 2⁵, 2 × 5 demek değildir. 2 × 5 = 10 olur, 2⁵ ise 32 eder. Üs, çarpma sayısını değil, kaç kez çarpacağımızı gösterir.

Üssü 2 olan sayıya kare, üssü 3 olan sayıya küp denir. 5² “5’in karesi”, 5³ ise “5’in küpü” diye okunur.

Temel üs kuralları ve nedenleri:

• Tabanları aynı olan sayılar çarpılırken üsler toplanır. Neden? 2³ × 2² = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) olur. Toplam 5 tane 2 yan yana çarpılır, yani sonuç 2⁵’tir. 3 + 2 = 5.
• Tabanları aynı olan sayılar bölünürken üsler çıkarılır. Neden? 2⁵ ÷ 2³ işleminde üstte beş tane 2, altta üç tane 2 vardır. Üç tanesi sadeleşir, geriye iki tane 2 kalır, yani 2². 5 − 3 = 2.
• Üssün üssü alınırken üsler çarpılır. Neden? (2³)² = 2³ × 2³ olur. Bu da 3 + 3 = 6 tane 2 demektir, yani 2⁶. 3 × 2 = 6.
• Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti 1’dir. Neden? 5³ ÷ 5³ işleminin sonucu 1’dir, çünkü bir sayıyı kendisine bölüyoruz. Bölme kuralına göre ise 5³ ÷ 5³ = 5⁰ olur. Aynı işlemin iki sonucu eşit olmalıdır, bu yüzden 5⁰ = 1.
• Bir sayının 1. kuvveti kendisidir. Örneğin 7¹ = 7, çünkü 7 yalnızca bir kez yazılır.

Karekök nedir? Karekök, kare almanın tersidir. √49 sembolü şunu sorar: “Hangi pozitif sayının karesi 49’dur?” Cevap 7’dir, çünkü 7² = 49. Bu yüzden √49 = 7.

Karekökü tam bir sayı çıkan sayılara tam kare sayılar denir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 gibi. 50 gibi bir sayı tam kare değildir. Yine de √50’nin nerede olduğunu kestirebiliriz: 49 ile 64 arasında olduğu için √50, 7 ile 8 arasındadır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 2⁵ kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Üs 5 olduğu için 2’yi beş kez çarparız: 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Adım 2: Adım adım çarparız: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32.

Sonuç: 2⁵ = 32

Örnek 2: Alanı 49 m² olan kare bir bahçenin bir kenarı kaç metredir? Çevresine kaç metre çit gerekir?

Çözüm:

Adım 1: Karenin alanı “kenar × kenar” ile bulunur. Kendisiyle çarpınca 49 eden sayıyı arıyoruz.

Adım 2: √49 = 7, çünkü 7 × 7 = 49. Bir kenar 7 metredir.

Adım 3: Karenin 4 eşit kenarı vardır. Çevre = 4 × 7 = 28 metre.

Sonuç: Kenar 7 m, gereken çit 28 m

Örnek 3: 2³ × 2⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Tabanlar aynı (ikisi de 2), işlem çarpma. O hâlde üsler toplanır: 3 + 4 = 7.

Adım 2: 2³ × 2⁴ = 2⁷.

Adım 3: 2⁵ = 32 olduğunu biliyoruz. 32 × 2 = 64, 64 × 2 = 128.

Kontrol: 2³ = 8 ve 2⁴ = 16. 8 × 16 = 128. Sonuç tutuyor.

Sonuç: 128

Örnek 4: 5⁶ ÷ 5⁴ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Tabanlar aynı (5), işlem bölme. O hâlde üsler çıkarılır: 6 − 4 = 2.

Adım 2: 5⁶ ÷ 5⁴ = 5².

Adım 3: 5² = 5 × 5 = 25.

Sonuç: 25

Örnek 5: (3²)³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: 2 × 3 = 6. Yani (3²)³ = 3⁶.

Adım 2: 3⁶’yı adım adım hesaplarız: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81, 81 × 3 = 243, 243 × 3 = 729.

Kontrol: 3² = 9 olduğundan (3²)³ = 9³ = 9 × 9 × 9 = 81 × 9 = 729. Sonuç tutuyor.

Sonuç: 729

Örnek 6: √36 + 2³ − 4⁰ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Önce üslü ve köklü ifadeleri tek tek hesaplarız.

Adım 2: √36 = 6, çünkü 6 × 6 = 36.

Adım 3: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Adım 4: 4⁰ = 1, çünkü sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti 1’dir.

Adım 5: Soldan sağa toplama ve çıkarma yaparız: 6 + 8 = 14, 14 − 1 = 13.

Sonuç: 13

Örnek 7: √50 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Çözüm:

Adım 1: 50’ye en yakın tam kare sayıları buluruz. 50’den küçük olan 49, büyük olan 64’tür.

Adım 2: √49 = 7 ve √64 = 8.

Adım 3: 50, 49 ile 64 arasında olduğu için √50 de 7 ile 8 arasındadır. Üstelik 50, 49’a çok yakın olduğundan √50, 7’ye daha yakındır.

Sonuç: √50, 7 ile 8 arasındadır

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 2³ = 6 (taban ile üs çarpılmış). Doğrusu: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Üs, kaç kez çarpacağımızı gösterir.
• Yanlış: 3² × 3⁴ = 9⁶ (tabanlar da çarpılmış). Doğrusu: Taban aynı kalır, yalnızca üsler toplanır: 3² × 3⁴ = 3⁶ = 729.
• Yanlış: 2³ × 3² = 6⁵ (farklı tabanlara kural uygulanmış). Doğrusu: Tabanlar farklıysa üsler toplanmaz, her biri ayrı hesaplanır: 8 × 9 = 72.
• Yanlış: 5⁰ = 0. Doğrusu: 5⁰ = 1. Çünkü 5³ ÷ 5³ hem 1’e hem de 5⁰’a eşittir.
• Yanlış: √9 + √16 = √25 = 5 (kökler birleştirilmiş). Doğrusu: Her kök ayrı alınır: √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Alıştırma

1) 3⁴ kaçtır?

2) 10⁵ kaçtır?

3) 2⁴ × 2³ işleminin sonucu kaçtır?

4) 7⁵ ÷ 7³ işleminin sonucu kaçtır?

5) (2³)² işleminin sonucu kaçtır?

6) 9⁰ kaçtır?

7) √81 kaçtır?

8) √144 kaçtır?

9) Alanı 64 m² olan kare bir odanın bir kenarı kaç metredir?

10) √25 + 3² − 2³ işleminin sonucu kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 81 — 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81.
• 2) 100000 — 10’un kuvvetinde üs kadar sıfır yazılır, yani 1’in yanına 5 sıfır gelir.
• 3) 128 — Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: 2⁷ = 128.
• 4) 49 — Tabanlar aynı olduğu için üsler çıkarılır: 7² = 49.
• 5) 64 — Üssün üssünde üsler çarpılır: 2⁶ = 64.
• 6) 1 — Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti 1’dir.
• 7) 9 — 9 × 9 = 81 olduğu için √81 = 9.
• 8) 12 — 12 × 12 = 144 olduğu için √144 = 12.
• 9) 8 metre — Kenar √64’tür ve 8 × 8 = 64 olduğundan kenar 8 metredir.
• 10) 6 — √25 = 5, 3² = 9, 2³ = 8 olduğundan 5 + 9 − 8 = 6.

Dersin özeti

• Üs, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Taban ile üs çarpılmaz.
• Tabanları aynı olan sayılarda çarpmada üsler toplanır, bölmede üsler çıkarılır. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
• Sıfırdan farklı her sayının 0. kuvveti 1’dir, 1. kuvveti ise sayının kendisidir.
• Karekök, kare almanın tersidir: √49 = 7, çünkü 7² = 49. Kare bir alanın kenarını bulmak için karekök alınır.
• Tam kare olmayan sayıların karekökü, iki tam kare arasına yerleştirilerek kestirilir: √50, 7 ile 8 arasındadır. Bir sonraki derste bu işlemleri harflerle yazılmış ifadelerde kullanmaya başlayacağız.