Dört İşlemi Yeniden Keşfetmek: Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme

Hoş geldiniz! Bu kursa katıldığınız için tebrikler. Okuldan yıllar önce ayrılmış olabilirsiniz, matematikle aranız hiç iyi olmamış da olabilir. Hiç önemli değil. Bu kursta ezber yok; her kuralın neden öyle olduğunu birlikte konuşacağız. İlk derste her şeyin temelindeki dört işlemi, yani toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi yeniden keşfedeceğiz.

Günlük hayattan giriş

Markette alışveriş yaparken sepetteki ürünlerin tutarını kafadan toplarsınız. Kasaya 500 TL verip üstünü beklerken çıkarma yaparsınız. Aynı üründen 6 tane alırken çarpma, bir hesabı arkadaşlarınızla eşit bölüşürken de bölme yaparsınız. Yani dört işlemi zaten her gün kullanıyorsunuz. Bazen sadece adlarını ve kurallarını unutmuş oluyoruz.

Bu işlemlerin hepsi tek bir fikre dayanır: basamak değeri. 10 tane birlik bir araya gelince 1 onluk, 10 onluk bir araya gelince 1 yüzlük olur. Bunu bir örnekle düşünelim: Cüzdanınızda 10 tane 1 liralık varsa bunları 1 tane 10 liralıkla değiştirebilirsiniz. Paranız artmaz, azalmaz, yalnızca şekli değişir. Toplamadaki “elde” ve çıkarmadaki “onluk bozma” tam olarak bu değiş tokuştur.

Bu derste ayrıca işlemlerin birbirini nasıl kontrol ettiğini göreceğiz. Toplamayı çıkarmayla, bölmeyi çarpmayla kontrol etmeyi öğrenince hesabınıza çok daha fazla güveneceksiniz.

Tanım ve kural

Basamak değeri: Bir rakamın değeri, sayıda durduğu yere göre değişir. 555 sayısındaki üç rakam da 5’tir ama soldaki 500, ortadaki 50, sağdaki 5 değerindedir. Bunun nedeni, bir basamak sola kaydıkça değerin 10 katına çıkmasıdır.

Toplama: Aynı cins şeyleri bir araya getirmektir. Birlikleri birliklerle, onlukları onluklarla toplarız. Bir basamakta toplam 10 veya daha fazla olursa, 10 birlik 1 onluğa dönüşür. Bu 1 onluk, sola, yani bir üst basamağa elde olarak geçer.

Çıkarma: Bir miktardan bir kısmını ayırmaktır. Bir basamaktaki rakam, altındaki rakamdan küçükse o basamaktan çıkarma yapılamaz. O zaman soldaki basamaktan 1 onluk alırız ve onu 10 birliğe çeviririz. Buna onluk bozma denir. Sayının değeri değişmez, yalnızca şekli değişir.

Çarpma: Aynı sayıyı tekrar tekrar toplamanın kısa yoludur. 4 × 12, “4 tane 12” demektir: 12 + 12 + 12 + 12 = 48.

Bölme: İki anlamı vardır. Birincisi eşit paylaştırmadır: 20 elmayı 4 kişiye eşit dağıtırsak her kişiye 5 elma düşer. İkincisi gruplamadır: 20’nin içinde kaç tane 4 olduğunu sayarız. Eşit dağıtılamayan kısma kalan denir. Kalan her zaman bölenden küçük olmalıdır. Neden mi? Kalan bölene eşit ya da ondan büyük olsaydı, ondan bir grup daha çıkarabilirdik.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Basamak değeri

4.705 sayısındaki rakamların basamak değerlerini yazınız.

Çözüm:

Adım 1: En sağdaki 5 birler basamağındadır, değeri 5’tir.

Adım 2: 0 onlar basamağındadır, değeri 0’dır. Yani hiç onluk yoktur.

Adım 3: 7 yüzler basamağındadır, değeri 700’dür.

Adım 4: 4 binler basamağındadır, değeri 4.000’dir.

Adım 5: Kontrol: 4.000 + 700 + 0 + 5 = 4.705.

Sonuç: 4.705 = 4.000 + 700 + 0 + 5

Örnek 2: Eldeli toplama

Bir hafta markete 368 TL, sonraki hafta 275 TL harcadınız. Toplam ne kadar harcadınız?

Çözüm:

Adım 1: Birler basamağı: 8 + 5 = 13. 13, 1 onluk ve 3 birliktir. 3’ü yazarız, 1 onluk elde olarak onlar basamağına geçer.

Adım 2: Onlar basamağı: 6 + 7 + 1 (elde) = 14. 4’ü yazarız, 1 yüzlük elde olarak yüzler basamağına geçer.

Adım 3: Yüzler basamağı: 3 + 2 + 1 (elde) = 6.

Adım 4: Kontrol: 643 − 275 = 368. Başladığımız sayıyı bulduk, sonuç doğru.

Sonuç: 643 TL

Örnek 3: Onluk bozarak çıkarma

Hesabınızda 503 TL vardı, 178 TL’lik fatura ödediniz. Geriye ne kadar kaldı?

Çözüm:

Adım 1: Birler basamağında 3 − 8 yapılamaz. Onlar basamağından onluk almamız gerekir ama orada 0 var.

Adım 2: Bu yüzden yüzler basamağına gideriz: 5 yüzlükten 1’ini bozarız. 4 yüzlük kalır, onlar basamağına 10 onluk gelir.

Adım 3: Şimdi bu 10 onluktan 1’ini bozarız. 9 onluk kalır, birler basamağı 3 + 10 = 13 olur.

Adım 4: Birler: 13 − 8 = 5.

Adım 5: Onlar: 9 − 7 = 2.

Adım 6: Yüzler: 4 − 1 = 3.

Adım 7: Kontrol: 325 + 178 = 503. Sonuç doğru.

Sonuç: 325 TL

Örnek 4: Çarpma, yani tekrarlı toplama

Bir depoya 14 koli su geldi. Her kolide 23 şişe var. Toplam kaç şişe su vardır?

Çözüm:

Adım 1: “14 tane 23” demek, 23’ü 14 kez toplamak demektir. Bunu kısa yoldan yapmak için 14’ü 10 ve 4 diye ikiye ayırırız.

Adım 2: 23 × 4 = 92. Yani 4 kolide 92 şişe var.

Adım 3: 23 × 10 = 230. Yani 10 kolide 230 şişe var.

Adım 4: İkisini toplarız: 92 + 230 = 322.

Adım 5: Kontrol: 322 ÷ 14 = 23. Sonuç doğru.

Sonuç: 322 şişe

Örnek 5: Kalanlı bölme

158 yumurtayı 12’li viyollere yerleştireceksiniz. Kaç viyol tamamen dolar, kaç yumurta dışarıda kalır?

Çözüm:

Adım 1: 1’in içinde 12 yoktur, bu yüzden ilk iki basamağa, yani 15’e bakarız. 15’in içinde 12 bir kez vardır. 12 × 1 = 12, 15 − 12 = 3.

Adım 2: Kalan 3’ün yanına sıradaki rakam 8’i indiririz ve 38 elde ederiz.

Adım 3: 38’in içinde 12 üç kez vardır. 12 × 3 = 36, 38 − 36 = 2.

Adım 4: Bölümümüz 13, kalanımız 2’dir. 2, 12’den küçük olduğu için bölme tamamlanmıştır.

Adım 5: Kontrol: 12 × 13 = 156, 156 + 2 = 158. Sonuç doğru.

Sonuç: 13 viyol dolar, 2 yumurta kalır.

Örnek 6: İşlemleri birlikte kullanmak

Aylık internet faturanız 1.275 TL. 3 aylık faturayı ödemek için 5.000 TL ayırdınız. Faturalar ödendikten sonra ne kadar para kalır?

Çözüm:

Adım 1: Önce 3 aylık tutarı buluruz: 1.275 × 3.

Adım 2: Birler: 5 × 3 = 15. 5’i yazarız, 1 elde kalır.

Adım 3: Onlar: 7 × 3 = 21, eldeyle birlikte 21 + 1 = 22. 2’yi yazarız, 2 elde kalır.

Adım 4: Yüzler: 2 × 3 = 6, eldeyle birlikte 6 + 2 = 8. Binler: 1 × 3 = 3. Böylece 3.825 TL buluruz.

Adım 5: Şimdi çıkarma yaparız: 5.000 − 3.825 = 1.175.

Adım 6: Kontrol: 1.175 + 3.825 = 5.000. Sonuç doğru.

Sonuç: 1.175 TL kalır.

Sık yapılan hatalar

• Eldeyi unutmak: 368 + 275 işleminde eldeler eklenmezse sonuç 533 çıkar. Bu yanlıştır. Doğrusu: eldeler bir üst basamağa eklenir ve sonuç 643 olur.
• Küçük rakamdan büyüğü çıkaramayınca ters çıkarmak: 52 − 27 işleminde birlerde “7 − 2 = 5” yazılırsa sonuç 35 çıkar. Bu yanlıştır. Doğrusu: 1 onluk bozulur, birlerde 12 − 7 = 5, onlarda 4 − 2 = 2 bulunur ve sonuç 25 olur.
• Sıfırlı sayılarda onluk bozmayı atlamak: 300 − 126 işleminde her basamakta büyükten küçüğü çıkarırsak sonuç 226 çıkar. Bu yanlıştır. Doğrusu: önce yüzlük, sonra onluk bozulur ve sonuç 174 olur. Kontrol: 174 + 126 = 300.
• Çarpmada ikinci satırı kaydırmamak: 23 × 14 işleminde 92 ile 23 toplanırsa sonuç 115 çıkar. Bu yanlıştır. Doğrusu: ikinci satır aslında 23 × 10 = 230’dur. 92 + 230 = 322 olur.
• Kalanı bölenden büyük bırakmak: 50 ÷ 6 işlemine “7, kalan 8” demek yanlıştır, çünkü 8’in içinde bir 6 daha vardır. Doğrusu: 8, kalan 2. Kontrol: 6 × 8 + 2 = 50.

Alıştırma

1) 2.408 sayısındaki 4 rakamının basamak değeri nedir?

2) 457 + 386 = ?

3) 1.000 − 364 = ?

4) 612 − 245 = ?

5) 8 × 125 = ?

6) 36 × 15 = ?

7) 96 ÷ 8 = ?

8) 100 ÷ 7 işleminin bölümü ve kalanı nedir?

9) Tanesi 250 TL olan 4 ürün aldınız ve kasaya 1.500 TL verdiniz. Ne kadar üstünüzü alırsınız?

10) 230 kişi, 12 kişilik minibüslerle geziye gidecek. En az kaç minibüs gerekir?

Cevap Anahtarı

• 1) 400. 4 yüzler basamağında olduğu için değeri 4 × 100’dür.
• 2) 843. Birlerde 13 ve onlarda 14 çıktığı için iki kez elde vardır.
• 3) 636. Önce binlik, sonra yüzlük ve onluk bozulur; kontrol: 636 + 364 = 1.000.
• 4) 367. Birlerde ve onlarda onluk bozulur; kontrol: 367 + 245 = 612.
• 5) 1.000. 8 × 100 = 800 ve 8 × 25 = 200 bulunur, ikisi toplanır.
• 6) 540. 36 × 10 = 360 ve 36 × 5 = 180 bulunur, 360 + 180 = 540.
• 7) 12. Kontrol: 8 × 12 = 96.
• 8) Bölüm 14, kalan 2. 7 × 14 = 98 olduğu için 100 − 98 = 2 kalır.
• 9) 500 TL. Önce 4 × 250 = 1.000 bulunur, sonra 1.500 − 1.000 = 500 hesaplanır.
• 10) 20 minibüs. 230 ÷ 12 = 19, kalan 2 çıkar; kalan 2 kişi için de bir minibüs daha gerekir.

Dersin özeti

• Bir rakamın değeri, bulunduğu basamağa göre değişir. Bir basamak sola geçildikçe değer 10 katına çıkar.
• Toplamadaki elde ve çıkarmadaki onluk bozma aynı fikre dayanır: 10 birlik = 1 onluk. Bu değiş tokuşta sayının değeri değişmez.
• Çarpma tekrarlı toplamadır. Büyük çarpmalarda sayıyı parçalara ayırmak (14 = 10 + 4 gibi) işi kolaylaştırır.
• Bölme eşit paylaştırma ya da gruplamadır. Kalan her zaman bölenden küçük olmalıdır.
• İşlemler birbirini kontrol eder: toplama çıkarmayla, çarpma bölmeyle kontrol edilir. Bölmede kontrol için bölen × bölüm + kalan = bölünen eşitliğine bakılır.