Negatif Sayılar: Borç, Sıcaklık ve Sayı Doğrusu

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde pozitif sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi tazeledik. O sayıların hepsi sıfırdan büyüktü: 5 elma, 120 lira, 30 dakika gibi. Oysa günlük hayatta sıfırın altına sık sık iniyoruz. Kış sabahı hava durumunda "eksi 4 derece" diyen sunucuyu duyarız. Banka uygulamasında hesabın eksiye düştüğünü görürüz. Asansörde "-1" düğmesine basıp otoparka ineriz. Bunların hepsi negatif sayıdır.

Negatif sayı, sıfırın öbür yanında kalan sayıdır. Sıcaklıkta sıfır, suyun donduğu noktadır. Onun altı eksi derecedir. Parada ise sıfır "ne borcum var ne de param" demektir. Cebinizde hiç para yokken bir arkadaşınıza 50 TL borçlanırsanız durumunuz −50 TL olur. Yani negatif sayı "yok" demek değildir; sıfırdan daha az demektir.

Bu derste negatif sayıları bir sayı doğrusu üzerinde yürüyerek toplayıp çıkaracağız. Sonra çarpma ve bölmedeki işaret kurallarına geçeceğiz. Özellikle çoğu kişinin okulda ezberlediği ama nedenini hiç duymadığı "eksi çarpı eksi artı" kuralının mantığını birlikte kuracağız. Bu kurallar bir sonraki derslerde, özellikle denklemleri çözerken sürekli işimize yarayacak. Terimleri bir taraftan öbür tarafa geçirirken işaret değiştirmenin temeli burada atılıyor.

Tanım ve kural

Sayı doğrusu: Yatay bir çizgi düşünün. Ortada 0 var. Sağa doğru 1, 2, 3, 4… diye büyüyen pozitif sayılar, sola doğru −1, −2, −3, −4… diye küçülen negatif sayılar dizilir. Bu çizgi, yan yatırılmış bir termometreye benzer.

Hangisi büyük? Sayı doğrusunda sağda olan sayı her zaman daha büyüktür. Bu yüzden −1, −4'ten büyüktür. Nedeni basit: −1 derece, −4 dereceden daha sıcaktır. 100 TL borcu olan biri de 400 TL borcu olandan daha iyi durumdadır. Yazılışı: −1 > −4.

Toplama ve çıkarma: Sayı doğrusunda bir yürüyüş gibi düşünün.

• Pozitif bir sayı eklemek, sağa yürümektir (sıcaklık artar, hesaba para gelir).
• Pozitif bir sayı çıkarmak, sola yürümektir (sıcaklık düşer, harcama yapılır).
• Negatif bir sayı eklemek, borç eklemektir. Bu da sola yürümek demektir. Yani 5 + (−3), 5 − 3 ile aynıdır.
• Negatif bir sayı çıkarmak, borcu silmektir. Borcunuz silinirse durumunuz iyileşir, yani sağa yürürsünüz. Bu yüzden 5 − (−3), 5 + 3 ile aynıdır.

Çarpma: Çarpma, tekrar eden toplamadır. 3 × (−4), üç kez −4 eklemek demektir: (−4) + (−4) + (−4) = −12. Yani pozitif çarpı negatif, negatiftir.

Eksi çarpı eksi neden artı? Şu desene bakalım. −3'ü sırayla daha küçük sayılarla çarpıyoruz:

(−3) × 2 = −6

(−3) × 1 = −3

(−3) × 0 = 0

Her satırda sonuç 3 artıyor: −6'dan −3'e, −3'ten 0'a. Desen bozulmasın diye bir sonraki adım da 3 artmalı:

(−3) × (−1) = 3

(−3) × (−2) = 6

Bir de borç üzerinden düşünelim. Size her biri 50 TL olan borç kâğıtları verildiğini varsayın. Her kâğıt −50 TL'dir. Biri gelip bu kâğıtlardan 3 tanesini sizden alırsa (yani −3 adet), borcunuz 150 TL azalır ve durumunuz 150 TL iyileşir: (−3) × (−50) = +150. Borcun ortadan kalkması kazançtır.

Bölme: Bölme, çarpmanın tersidir. (−3) × (−2) = 6 olduğuna göre 6 ÷ (−2) = −3 olmalıdır. Bu yüzden bölmede de işaret kuralları çarpmayla aynıdır.

Kısa hatırlatma: çarpma ve bölmede işaretler aynıysa sonuç artı, farklıysa sonuç eksidir. Bu kural yalnızca çarpma ve bölme içindir, toplama için değil.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Isınan hava

Sabah hava −3 °C. Öğlene kadar sıcaklık 5 derece artıyor. Öğlen sıcaklık kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: İşlemi yazalım: −3 + 5.

Adım 2: Sayı doğrusunda −3'ten başlayıp 5 adım sağa yürüyoruz: −2, −1, 0, 1, 2.

Adım 3: İlk 3 adım bizi 0'a getirdi, kalan 2 adım 2'ye götürdü.

Sonuç: 2 °C

Örnek 2: Eksiye düşen hesap

Hesabınızda 250 TL var. Kartla 400 TL'lik alışveriş yapıyorsunuz. Ardından hesaba 200 TL yatırıyorsunuz. Son durumda hesap ne gösterir?

Çözüm:

Adım 1: Alışverişten sonra: 250 − 400.

Adım 2: 250 TL ile 400 TL'nin 250'si ödenir, 150 TL eksik kalır: 250 − 400 = −150.

Adım 3: Para yatırılınca: −150 + 200.

Adım 4: 200 TL'nin 150'si borcu kapatır, 50 TL artar: −150 + 200 = 50.

Sonuç: 50 TL

Örnek 3: Borcun üstüne borç

−6 − 4 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: 6 TL borcunuz var ve 4 TL daha harcıyorsunuz.

Adım 2: Sayı doğrusunda −6'dan 4 adım sola yürüyoruz: −7, −8, −9, −10.

Adım 3: Borçlar toplanır: 6 + 4 = 10, işaret eksi kalır.

Sonuç: −10

Örnek 4: Borcun silinmesi

−2 − (−7) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Negatif bir sayıyı çıkarmak, borç silmektir; bu da toplama demektir: −2 − (−7) = −2 + 7.

Adım 2: −2'den başlayıp 7 adım sağa yürüyoruz.

Adım 3: İlk 2 adım 0'a getirir, kalan 5 adım 5'e götürür.

Sonuç: 5

Örnek 5: İşaret kuralları

(−4) × 3 ve (−4) × (−3) işlemlerinin sonuçlarını bulun.

Çözüm:

Adım 1: Önce işaretleri düşünmeden sayıları çarpalım: 4 × 3 = 12.

Adım 2: (−4) × 3 işleminde işaretler farklı, sonuç eksi: −12.

Adım 3: (−4) × (−3) işleminde işaretler aynı, sonuç artı: 12.

Sonuç: (−4) × 3 = −12 ve (−4) × (−3) = 12

Örnek 6: Parantezli işlem

(−8 + 2) × (−3) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Önce parantez içi yapılır: −8 + 2.

Adım 2: −8'den 2 adım sağa yürürüz: −6.

Adım 3: Şimdi işlem (−6) × (−3) oldu.

Adım 4: 6 × 3 = 18; işaretler aynı olduğu için sonuç artı.

Sonuç: 18

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: −5 − 3 = −2. Doğrusu: −5 − 3 = −8. Zaten 5 TL borcu olan biri 3 TL daha harcarsa borcu azalmaz, 8 TL'ye çıkar.
• Yanlış: (−2) + (−3) = 5, çünkü "eksi eksi artı yapar". Doğrusu: (−2) + (−3) = −5. "Aynı işaret artı" kuralı yalnızca çarpma ve bölmede geçerlidir; iki borç toplanınca daha büyük bir borç olur.
• Yanlış: 7 − (−2) = 5. Doğrusu: 7 − (−2) = 7 + 2 = 9. Negatif sayıyı çıkarmak borcu silmektir, sonuç büyür.
• Yanlış: −4 > −1, çünkü 4, 1'den büyük. Doğrusu: −1 > −4. Sayı doğrusunda −1 daha sağdadır; −1 derece, −4 dereceden daha sıcaktır.
• Yanlış: (−6) × (−5) = −30. Doğrusu: (−6) × (−5) = 30. İşaretler aynı olduğu için sonuç pozitiftir.

Alıştırma

1) −3, 2, −7 ve 0 sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.

2) −7 + 10 = ?

3) 3 − 8 = ?

4) −9 + (−5) = ?

5) 6 − (−4) = ?

6) −12 − (−5) = ?

7) (−7) × 4 = ?

8) (−6) × (−5) = ?

9) (−36) ÷ (−9) = ?

10) Sabah sıcaklık −4 °C. Öğlene kadar 9 derece artıyor, akşama kadar da 7 derece düşüyor. Akşam sıcaklık kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

1) −7, −3, 0, 2. İpucu: Sayı doğrusunda en soldaki sayı en küçüktür.

2) 3. İpucu: −7'den 10 adım sağa yürüyün; 7 adımda 0'a, kalan 3 adımda 3'e varırsınız.

3) −5. İpucu: 3 liranız varken 8 lira harcarsanız 5 lira borçlanırsınız.

4) −14. İpucu: Negatif sayı eklemek çıkarmaktır, yani −9 − 5 = −14.

5) 10. İpucu: Negatif sayı çıkarmak toplamaktır, yani 6 + 4 = 10.

6) −7. İpucu: −12 − (−5) = −12 + 5; 12 TL borcun 5 TL'si silinince 7 TL borç kalır.

7) −28. İpucu: 7 × 4 = 28 ve işaretler farklı olduğu için sonuç eksidir.

8) 30. İpucu: 6 × 5 = 30 ve işaretler aynı olduğu için sonuç artıdır.

9) 4. İpucu: 36 ÷ 9 = 4 ve işaretler aynı olduğu için sonuç artıdır.

10) −2 °C. İpucu: −4 + 9 = 5, ardından 5 − 7 = −2.

Dersin özeti

• Negatif sayılar sıfırdan küçüktür; sayı doğrusunda sıfırın solunda yer alır. Sağdaki sayı her zaman daha büyüktür, bu yüzden −1 > −4.
• Toplama ve çıkarmayı sayı doğrusunda yürüyüş gibi düşünün: pozitif eklemek sağa, pozitif çıkarmak sola götürür.
• Negatif sayı eklemek çıkarma gibi, negatif sayı çıkarmak ise toplama gibi davranır; çünkü borç silinince durum iyileşir.
• Çarpma ve bölmede işaretler aynıysa sonuç artı, farklıysa sonuç eksidir. Eksi çarpı eksinin artı olması hem sayı deseninden hem de borç silme örneğinden gelir.
• Bu kurallar yalnızca çarpma ve bölme içindir: (−2) + (−3) artı değil, −5'tir. Sonraki derslerde denklemleri çözerken bu işaret kurallarını sürekli kullanacağız.