Diziler: Aritmetik ve Geometrik Diziler

Günlük hayattan giriş

Bir sinema salonunu düşün: ilk sırada 12 koltuk var, arkaya doğru her sırada 2 koltuk daha fazla. 1. sıra 12, 2. sıra 14, 3. sıra 16 koltuktan oluşur. Bu sayılar rastgele değildir, belli bir kurala göre sıralanır. İstersen 15. sırada kaç koltuk olduğunu bütün sıraları tek tek saymadan bulabilirsin. Salonda toplam kaç koltuk olduğunu da tek tek toplamadan bulabilirsin. Bu dersin konusu tam olarak bu: kurala bağlı sayı sıraları.

Başka bir durum: Laboratuvarda bir bakteri kolonisi her saat ikiye katlanıyor. Başta 3 bakteri varsa, bir saat sonra 6, sonra 12, sonra 24 olur. Burada her adımda sabit bir sayı eklenmiyor, sabit bir sayıyla çarpılıyor. Sinema salonundaki büyüme düzenli ve yavaştır; bakterilerdeki büyüme ise giderek hızlanır. Bankada biriken bileşik faiz ya da bir dosyanın her paylaşımda iki kişiye daha iletilmesi de bu ikinci türe örnektir.

Matematikte birinci türe aritmetik dizi, ikinci türe geometrik dizi denir. Bu derste bu iki dizinin genel terim ve toplam formüllerini ezberlemeyeceğiz; formüllerin neden öyle olduğunu adım adım göreceğiz. Kuralın nereden geldiğini bildiğinde, formülü unutsan bile yeniden bulabilirsin.

Tanım ve kural

Dizi nedir? Pozitif doğal sayılar kümesinden (1, 2, 3, ...) gerçek sayılara tanımlı fonksiyonlara dizi denir. Fonksiyonu f(n) yerine aₙ diye yazarız. a₁ dizinin 1. terimi, a₂ 2. terimi, aₙ ise genel terimidir. Örneğin aₙ = 3n − 2 ise n yerine 1, 2, 3 yazarak 1, 4, 7, ... terimlerini elde ederiz. Tanım kümesi doğal sayılar olduğu için "2,5. terim" diye bir şey yoktur; terimler sıra numarasıyla sayılır.

Aritmetik dizi

Ardışık iki terim arasındaki fark hep aynıysa dizi aritmetiktir: aₙ₊₁ − aₙ = d. Bu sabit sayıya ortak fark (d) denir.

Genel terim neden aₙ = a₁ + (n − 1)·d? a₁'den a₂'ye gitmek için 1 kez d eklenir, a₃'e gitmek için 2 kez, a₄'e gitmek için 3 kez. Yani n. terime ulaşmak için birinci terimden itibaren (n − 1) adım atılır ve her adımda d eklenir. Aynı düşünceyle iki terim arasındaki ilişki aₙ = aₖ + (n − k)·d olur: k. terimden n. terime (n − k) adım vardır.

Ortanca terim: Bir terim, kendisinden bir önceki ve bir sonraki terimin tam ortasındadır: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Çünkü biri d eksik, diğeri d fazladır; toplayınca d'ler birbirini götürür.

Toplam neden Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2? İlk n terimin toplamını bir kez baştan sona, bir kez de sondan başa yazıp alt alta topla. Her sütunda a₁ + aₙ çıkar, çünkü öndeki terim d artarken arkadaki terim d azalır. n tane sütun olduğu için iki toplamın toplamı n·(a₁ + aₙ) olur. Biz toplamı iki kez yazdığımız için 2'ye böleriz. aₙ yerine a₁ + (n − 1)d yazarsak Sₙ = n·[2a₁ + (n − 1)d]/2 biçimini de elde ederiz.

Geometrik dizi

Ardışık iki terimin oranı hep aynıysa dizi geometriktir: aₙ₊₁ ÷ aₙ = r. Bu sabit sayıya ortak çarpan (r) denir (terimler 0 değildir).

Genel terim neden aₙ = a₁·rⁿ⁻¹? Mantık aritmetik dizideki gibidir: n. terime ulaşmak için yine (n − 1) adım atılır, ama bu kez her adımda r ile çarpılır. (n − 1) kez r ile çarpmak, rⁿ⁻¹ ile çarpmak demektir. Benzer şekilde aₙ = aₖ·rⁿ⁻ᵏ olur. Ortadaki terim için de (aₙ)² = aₙ₋₁·aₙ₊₁ yazılır.

Toplam neden Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1)? Sₙ = a₁ + a₁r + ... + a₁rⁿ⁻¹ olsun. Her iki tarafı r ile çarpınca r·Sₙ = a₁r + a₁r² + ... + a₁rⁿ olur. Bu iki satırı birbirinden çıkarınca ortadaki bütün terimler sadeleşir ve geriye r·Sₙ − Sₙ = a₁rⁿ − a₁ kalır. Buradan Sₙ·(r − 1) = a₁·(rⁿ − 1) bulunur. r = 1 ise bölme yapılamaz; bu durumda bütün terimler a₁'e eşittir ve Sₙ = n·a₁ olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Genel terimi aₙ = 3n − 2 olan dizinin ilk üç terimini ve a₁₀'u bulunuz. Dizi aritmetik midir?

Çözüm:

n = 1 için a₁ = 3·1 − 2 = 1; n = 2 için a₂ = 3·2 − 2 = 4; n = 3 için a₃ = 3·3 − 2 = 7.

a₁₀ = 3·10 − 2 = 28.

aₙ₊₁ − aₙ = [3(n + 1) − 2] − [3n − 2] = 3n + 3 − 2 − 3n + 2 = 3. Fark sabit olduğu için dizi aritmetiktir.

İlk üç terim 1, 4, 7; a₁₀ = 28; dizi d = 3 olan bir aritmetik dizidir.

Örnek 2: İlk terimi 5, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin 20. terimini ve ilk 20 teriminin toplamını bulunuz.

Çözüm:

a₂₀ = a₁ + 19·d = 5 + 19·4 = 5 + 76 = 81.

S₂₀ = 20·(a₁ + a₂₀)/2 = 20·(5 + 81)/2.

20/2 = 10 olduğu için S₂₀ = 10·86 = 860.

a₂₀ = 81, S₂₀ = 860.

Örnek 3: Bir aritmetik dizide a₄ = 11 ve a₁₀ = 29'dur. a₂₅ kaçtır?

Çözüm:

4. terimden 10. terime 10 − 4 = 6 adım vardır: a₁₀ = a₄ + 6d.

29 = 11 + 6d, buradan 6d = 18 ve d = 3.

a₄ = a₁ + 3d olduğundan 11 = a₁ + 9, yani a₁ = 2.

a₂₅ = a₁ + 24d = 2 + 24·3 = 2 + 72 = 74.

Kontrol: a₁₀ = 2 + 9·3 = 29 ✓.

a₂₅ = 74.

Örnek 4: 1'den 200'e kadar (200 dahil) 3 ile tam bölünen sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

Bu sayılar 3, 6, 9, ..., 198'dir. 200'ü geçmeyen en büyük 3 katı 198'dir. Dizi aritmetiktir, d = 3.

Terim sayısı: (son − ilk) ÷ d + 1 = (198 − 3) ÷ 3 + 1 = 65 + 1 = 66.

Toplam: S₆₆ = 66·(3 + 198)/2 = 33·201.

33·201 = 33·200 + 33·1 = 6600 + 33 = 6633.

Toplam 6633'tür.

Örnek 5: İlk terimi 3, ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin 6. terimini ve ilk 6 teriminin toplamını bulunuz.

Çözüm:

a₆ = a₁·r⁵ = 3·2⁵ = 3·32 = 96.

S₆ = 3·(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3·(64 − 1)/1 = 3·63 = 189.

Kontrol: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189 ✓.

a₆ = 96, S₆ = 189.

Örnek 6: Bir geometrik dizide a₂ = 6 ve a₅ = 162'dir. İlk 4 terimin toplamı kaçtır?

Çözüm:

2. terimden 5. terime 3 adım vardır: a₅ = a₂·r³.

162 = 6·r³, buradan r³ = 27 ve r = 3.

a₁ = a₂ ÷ r = 6 ÷ 3 = 2.

S₄ = 2·(3⁴ − 1)/(3 − 1) = 2·(81 − 1)/2 = 80.

Kontrol: 2 + 6 + 18 + 54 = 80 ✓.

S₄ = 80.

Örnek 7: x − 2, x + 1, x + 7 sayıları bu sırayla bir geometrik dizinin ardışık üç terimidir. x kaçtır?

Çözüm:

Ortadaki terimin karesi, komşu terimlerin çarpımına eşittir: (x + 1)² = (x − 2)·(x + 7).

Sol taraf: x² + 2x + 1. Sağ taraf: x² + 7x − 2x − 14 = x² + 5x − 14.

x² + 2x + 1 = x² + 5x − 14. x²'ler sadeleşir: 2x + 1 = 5x − 14.

15 = 3x, yani x = 5.

Kontrol: terimler 3, 6, 12 olur ve ortak çarpan r = 2'dir ✓.

x = 5.

Sınav notu (AYT): Bu konuda en sık görülen soru tipleri "iki terimi verilen dizide başka bir terimi bulma", "terim sayısı ve toplam" ve "ardışık terimlerden bilinmeyeni bulma"dır. Bir soruya 1,5–2 dakikadan fazla ayırmamaya çalış. Şık elemek için bulduğun değeri diziye geri yerleştir: Örnek 7'deki gibi terimleri yazıp farkın ya da oranın sabit olup olmadığına bak. Toplam sorularında sonucun işaretine ve büyüklüğüne bakarak (örneğin terimlerin hepsi pozitifse toplam negatif olamaz) bazı şıkları hemen eleyebilirsin.

Sık yapılan hatalar

• Hata: a₁ = 2, d = 3 için a₅ = 2 + 5·3 = 17 yazmak. Doğrusu: 5. terime 4 adımda ulaşılır: a₅ = 2 + 4·3 = 14.
• Hata: 3, 6, ..., 198 dizisinde terim sayısını (198 − 3) ÷ 3 = 65 bulup bırakmak. Doğrusu: Bu işlem aradaki adım sayısını verir; ilk terimi de saymak için 1 eklenir: 66 terim.
• Hata: a₁ = 3, r = 2 için a₆ = 3·2⁶ = 192 yazmak. Doğrusu: Üs (n − 1) olmalıdır: a₆ = 3·2⁵ = 96.
• Hata: a₁·rⁿ⁻¹ ifadesini (a₁·r)ⁿ⁻¹ gibi hesaplayıp 3·2⁵ yerine 6⁵ yazmak. Doğrusu: Üs yalnızca r'ye aittir; önce 2⁵ = 32 bulunur, sonra 3 ile çarpılır.
• Hata: a₁ = 1, r = −2 için a₄ = 8 demek. Doğrusu: Negatif çarpanda işaret korunur: a₄ = 1·(−2)³ = −8. Tek kuvvette sonuç negatif çıkar.

Alıştırma

• 1) aₙ = 2n + 5 dizisinin 7. terimi kaçtır?
• 2) İlk terimi 7, ortak farkı −2 olan aritmetik dizinin 15. terimi kaçtır?
• 3) Bir aritmetik dizide a₃ = 10 ve a₈ = 25'tir. a₁ ve d kaçtır?
• 4) 5, 9, 13, ..., 81 aritmetik dizisi kaç terimlidir ve terimlerinin toplamı kaçtır?
• 5) Bir salonun ilk sırasında 12 koltuk vardır ve her sırada bir öncekinden 2 koltuk fazladır. Salon 15 sıra olduğuna göre toplam kaç koltuk vardır?
• 6) İlk terimi 5, ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin 4. terimi kaçtır?
• 7) İlk terimi 4, ortak çarpanı 1/2 olan geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
• 8) 1, 2, 4, 8, ... geometrik dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
• 9) Terimleri pozitif olan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x, 12, x + 18'dir. x kaçtır?
• 10) x + 1, 2x + 1, 4x − 3 sayıları bu sırayla bir aritmetik dizinin ardışık üç terimidir. x kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 19: n yerine 7 yazılır, 2·7 + 5 = 19.
• 2) −21: a₁₅ = 7 + 14·(−2) = 7 − 28 = −21.
• 3) a₁ = 4, d = 3: 5d = 25 − 10 = 15'ten d = 3, sonra a₁ = 10 − 2·3 = 4.
• 4) 20 terim, toplam 860: (81 − 5) ÷ 4 + 1 = 20 ve S = 20·(5 + 81)/2 = 860.
• 5) 390: a₁₅ = 12 + 14·2 = 40 ve S₁₅ = 15·(12 + 40)/2 = 15·26 = 390.
• 6) 135: a₄ = 5·3³ = 5·27 = 135.
• 7) 1/4: a₅ = 4·(1/2)⁴ = 4·1/16 = 1/4.
• 8) 1023: S₁₀ = 1·(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1024 − 1 = 1023.
• 9) 6: 12² = x(x + 18) denkleminden x² + 18x − 144 = 0, yani (x + 24)(x − 6) = 0 çıkar; terimler pozitif olduğu için x = 6 alınır (6, 12, 24).
• 10) 4: 2(2x + 1) = (x + 1) + (4x − 3) denkleminden 4x + 2 = 5x − 2 ve x = 4 bulunur (5, 9, 13).

Dersin özeti

• Dizi, pozitif doğal sayılarda tanımlı bir fonksiyondur; aₙ genel terimdir.
• Aritmetik dizide her adımda d eklenir: aₙ = a₁ + (n − 1)d ve Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Toplam formülü, diziyi baştan ve sondan eşleştirme fikrinden gelir.
• Geometrik dizide her adımda r ile çarpılır: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ ve r ≠ 1 için Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1). Toplam formülü, r·Sₙ − Sₙ çıkarma işleminden gelir.
• Terim sayısı (son − ilk) ÷ d + 1 ile bulunur; iki terim arasındaki adım sayısı ise sıra numaralarının farkıdır.
• Ardışık üç terimde ortadaki terim, aritmetik dizide komşuların ortalamasına eşittir; geometrik dizide ise karesi komşuların çarpımına eşittir.

Kursun kapanışı: Bu dersle birlikte kursu tamamladın. Trigonometride açıların ve periyodik hareketin dilini, logaritmada üslü büyümeyi tersinden okumayı, dizilerde ise sayıların düzenli değişimini öğrendin. Aslında bu konular birbirine bağlıdır: Geometrik dizide bilinmeyen bir üssü bulmak gerektiğinde logaritma devreye girer. Formülleri ezberlemek yerine nereden geldiklerini hatırlamaya devam et. Böylece hem sınavda hem de sonraki matematik konularında bu bilgileri güvenle kullanabilirsin.