Üstel Fonksiyonlar

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde trigonometrik fonksiyonları ve grafiklerini inceledik. Orada değerler belli aralıklarla tekrar ediyordu. Bu derste bambaşka davranan bir fonksiyon ailesiyle tanışıyoruz. Bu fonksiyonlarda değerler tekrar etmez. Ya hızla büyür ya da sıfıra doğru küçülür ama sıfır olmaz. Bu fonksiyonların adı üstel fonksiyon.

Bir örnekle başlayalım. Bir bakteri her saat ikiye bölünüyor olsun. Başta 1 bakteri varsa 1 saat sonra 2, 2 saat sonra 4, 3 saat sonra 8 bakteri olur. x saat sonraki bakteri sayısı 2ˣ olur. Burada her adımda sayıya belli bir miktar eklenmiyor, sayı belli bir oranla çarpılıyor. Üstel büyümeyi doğrusal büyümeden ayıran şey budur. Nüfus artışı da büyüme oranı sabit kaldığı sürece bu şekilde modellenir.

Aynı fikir bankada da karşımıza çıkar. Parayı yıllık %10 bileşik faizle yatırırsanız her yılın sonunda paranız 1,1 ile çarpılır. n yıl sonra para, başlangıçtaki paranın 1,1ⁿ katı olur. Tersi de mümkündür. Değeri her yıl yarıya inen bir miktar (1/2)ˣ gibi azalır. Radyoaktif maddelerin yarılanması buna örnektir. Bu derste y = aˣ fonksiyonunu, grafiğini ve üstel denklemlerin çözümünü öğreneceğiz.

Tanım ve kural

a pozitif bir gerçek sayı ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. f fonksiyonu gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara tanımlıdır, yani f: ℝ → (0, ∞).

Neden a > 0? Taban negatif olsaydı bazı x değerlerinde sonuç gerçek sayı olmazdı. Örneğin (−4)^(1/2) = √(−4) gerçek sayı değildir. Taban 0 olsaydı 0⁰ ve 0⁻¹ gibi tanımsız ifadeler çıkardı. Fonksiyonun bütün gerçek sayılarda tanımlı olması için tabanın pozitif olması gerekir.

Neden a ≠ 1? 1ˣ her x için 1'e eşittir. Bu fonksiyon sabit fonksiyondur ve üstel büyümeyi ya da azalmayı göstermez.

Şimdi iki fonksiyonun değer tablosuna bakalım:

Tablodan şunları görüyoruz:

• İki fonksiyonda da x = 0 için değer 1'dir, çünkü a⁰ = 1. Bu yüzden her üstel fonksiyonun grafiği (0, 1) noktasından geçer.
• Değerler hiçbir zaman 0 ya da negatif olmaz. Pozitif bir sayının hangi kuvvetini alırsanız alın sonuç pozitif çıkar. Bu yüzden görüntü kümesi (0, ∞) olur.
• 2ˣ fonksiyonunda x büyüdükçe değer de büyür. x çok küçüldükçe değer 0'a yaklaşır ama 0 olmaz. Grafik x eksenine yaklaşır ama onu kesmez. Bu durumda x ekseni (y = 0) grafiğin yatay asimptotu olur.
• (1/2)ˣ fonksiyonunda durum tersinedir: x büyüdükçe değer küçülür. Bunun nedeni (1/2)ˣ = 2⁻ˣ olmasıdır. Bu grafik, 2ˣ grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.

Üstel denklemlerin temel kuralı: a > 0 ve a ≠ 1 iken aᵐ = aⁿ ise m = n olur. Bunun nedeni şudur: Üstel fonksiyon ya hep artar ya da hep azalır. Bu yüzden iki farklı üs aynı sonucu veremez, yani fonksiyon bire birdir. Bir üstel denklemi çözerken önce iki tarafı aynı tabana yazarız, sonra üsleri eşitleriz.

Bileşik faiz formülü: Başlangıç parası P, yıllık faiz oranı r (ondalık olarak), yıl sayısı n ise n yıl sonraki para A = P · (1 + r)ⁿ olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: f(x) = 3ˣ olduğuna göre f(2), f(0) ve f(−1) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

f(2) = 3² = 9

f(0) = 3⁰ = 1

f(−1) = 3⁻¹ = 1/3

Sonuç: f(2) = 9, f(0) = 1, f(−1) = 1/3

Örnek 2: f(x) = 10 000 · (1,1)ˣ fonksiyonu, yıllık %10 bileşik faizle yatırılan 10 000 TL'nin x yıl sonraki değerini veriyor. 2 yıl sonra para kaç TL olur?

Çözüm:

f(2) = 10 000 · (1,1)²

(1,1)² = 1,21

10 000 · 1,21 = 12 100

Sonuç: 12 100 TL

Örnek 3: f(x) = (m − 2)ˣ fonksiyonu artan bir üstel fonksiyon olduğuna göre m hangi aralıktadır?

Çözüm:

Üstel fonksiyonun artan olması için taban 1'den büyük olmalıdır.

m − 2 > 1

m > 3

Sonuç: m > 3 (Azalan olması istenseydi 0 < m − 2 < 1 olmalıydı. O zaman sonuç 2 < m < 3 olurdu.)

Örnek 4: 2^(x + 1) = 32 denklemini çözünüz.

Çözüm:

32 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım: 32 = 2⁵

2^(x + 1) = 2⁵

Tabanlar eşit olduğu için üsler eşit olur: x + 1 = 5

x = 4

Sonuç: x = 4

Örnek 5: 9^(x − 1) = 27ˣ denklemini çözünüz.

Çözüm:

9 = 3² ve 27 = 3³ olarak yazalım.

(3²)^(x − 1) = (3³)ˣ

3^(2x − 2) = 3^(3x)

2x − 2 = 3x

x = −2

Kontrol: 9⁻³ = 3⁻⁶ ve 27⁻² = 3⁻⁶. İki taraf eşit.

Sonuç: x = −2

Örnek 6: (1/4)ˣ = 8^(x + 5) denklemini çözünüz.

Çözüm:

1/4 = 2⁻² ve 8 = 2³ olarak yazalım.

2^(−2x) = 2^(3x + 15)

−2x = 3x + 15

−5x = 15

x = −3

Kontrol: (1/4)⁻³ = 64 ve 8² = 64. İki taraf eşit.

Sonuç: x = −3

Örnek 7: 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm:

4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)² olduğunu fark edelim.

2ˣ = t diyelim. 2ˣ her zaman pozitif olduğu için t > 0 olmalıdır.

t² − 6t + 8 = 0

(t − 2)(t − 4) = 0, buradan t = 2 veya t = 4 bulunur. İki değer de pozitif olduğu için ikisi de geçerlidir.

2ˣ = 2 ise x = 1; 2ˣ = 4 ise x = 2

Sonuç: Çözüm kümesi {1, 2}

Örnek 8: (1/3)ˣ ≥ 9 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

9 sayısını 1/3 tabanında yazalım: 9 = (1/3)⁻²

(1/3)ˣ ≥ (1/3)⁻²

Taban 0 ile 1 arasında olduğu için fonksiyon azalandır, bu yüzden eşitsizliğin yönü değişir.

x ≤ −2

Kontrol: x = −3 için (1/3)⁻³ = 27 ≥ 9 olur, eşitsizlik sağlanır.

Sonuç: x ≤ −2

Sık yapılan hatalar

• Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek: 4ˣ = 8 denkleminden x = 2 bulmak yanlıştır. Doğrusu: Önce 2^(2x) = 2³ yazılır, 2x = 3 olur ve x = 3/2 bulunur.
• Üstel ifadeyi negatif sanmak: 3ˣ = −9 için x = −2 yazmak yanlıştır, çünkü 3⁻² = 1/9 olur. Doğrusu: 3ˣ her zaman pozitiftir, bu denklemin çözümü yoktur.
• Azalan fonksiyonda yönü değiştirmemek: (1/2)ˣ > (1/2)³ eşitsizliğinden x > 3 yazmak yanlıştır. Doğrusu: Taban 1'den küçük olduğu için yön değişir ve x < 3 olur.
• Üstel ifadeleri toplarken üsleri toplamak: 2ˣ + 2ˣ = 4ˣ yazmak yanlıştır. Doğrusu: 2ˣ + 2ˣ = 2 · 2ˣ = 2^(x + 1).
• Değişken değiştirmede negatif kökü kabul etmek: t = 2ˣ dönüşümünden t = −2 çıkarsa bunu çözüm saymak yanlıştır. Doğrusu: t > 0 olmalıdır, negatif kök atılır.

Alıştırma

1) f(x) = 5ˣ ise f(−2) kaçtır?

2) Yıllık %20 bileşik faizle yatırılan 5000 TL, 2 yıl sonra kaç TL olur?

3) f(x) = (2k − 3)ˣ azalan bir üstel fonksiyon ise k hangi aralıktadır?

4) 3^(x − 2) = 81 denklemini çözünüz.

5) 25ˣ = 125 denklemini çözünüz.

6) 8^(x + 1) = 16ˣ denklemini çözünüz.

7) (1/9)ˣ = 27 denklemini çözünüz.

8) 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

9) 2^(x + 2) − 2ˣ = 24 denklemini çözünüz.

10) (1/2)^(x − 1) < 1/8 eşitsizliğini çözünüz.

Cevap Anahtarı

• 1) 1/25. 5⁻² = 1/5² = 1/25.
• 2) 7200 TL. 5000 · (1,2)² = 5000 · 1,44 = 7200.
• 3) 3/2 < k < 2. Azalan olması için 0 < 2k − 3 < 1 olmalıdır.
• 4) x = 6. 81 = 3⁴ olduğundan x − 2 = 4 olur.
• 5) x = 3/2. 5^(2x) = 5³ olduğundan 2x = 3 olur.
• 6) x = 3. 2^(3x + 3) = 2^(4x) olduğundan 3x + 3 = 4x olur.
• 7) x = −3/2. 3^(−2x) = 3³ olduğundan −2x = 3 olur.
• 8) {0, 1}. 3ˣ = t denirse t² − 4t + 3 = 0 olur, t = 1 veya t = 3 bulunur.
• 9) x = 3. 2ˣ ortak paranteze alınırsa 2ˣ · (4 − 1) = 24 olur, buradan 2ˣ = 8 bulunur.
• 10) x > 4. 1/8 = (1/2)³ yazılır ve taban 1'den küçük olduğu için yön değişir: x − 1 > 3.

Dersin özeti

• a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f(x) = aˣ bir üstel fonksiyondur. Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi (0, ∞) olur ve grafiği (0, 1) noktasından geçer.
• a > 1 ise fonksiyon artandır; 0 < a < 1 ise azalandır. Eşitsizliklerde taban 1'den küçükse yön değişir.
• Üstel denklemde iki taraf aynı tabana yazılır, sonra üsler eşitlenir: aᵐ = aⁿ ise m = n.
• a²ˣ gibi ifadeler varsa aˣ = t dönüşümü yapılır. t > 0 olduğu için negatif kökler atılır.
• Bir sonraki derste üstel fonksiyonun tersi olan logaritma fonksiyonunu öğreneceğiz. Böylece 2ˣ = 5 gibi, tabanları eşitlenemeyen denklemleri de çözebileceğiz.