Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Günlük hayattan giriş

Bir lunaparktaki dönme dolaba bindiğini düşün. Dolap sabit hızla döndükçe yerden yüksekliğin önce artar, en tepeye ulaşır, sonra azalır, en alta iner ve yeniden yükselmeye başlar. Dolap her tam turu attığında aynı yükseklik değerleri aynı sırayla tekrar eder. Yüksekliğin zamana göre grafiğini çizsen düzgün bir dalga görürsün.

Deniz kıyısındaki gel-git olayında suyun yükselip alçalması, bir salıncağın ileri geri hareketi, evdeki prizden gelen alternatif akımın yön değiştirmesi ve ses dalgaları da benzer şekilde tekrar eden hareketlerdir. Matematikte bu tür davranışları anlatmak için en çok kullanılan araçlar sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıdır.

Önceki derslerde birim çemberde sinüs ve kosinüs değerlerini, radyan ölçüsünü ve bir açının çember üzerinde tur attıkça aynı noktaya geri geldiğini gördük. Bu derste o bilgiyi bir adım ileri taşıyıp bu değerleri koordinat sistemine yerleştireceğiz: y = sin x ve y = cos x grafiklerini çizecek, dalganın ne kadar sürede tekrar ettiğini (periyot) ve ne kadar yükselip alçaldığını (genlik) hesaplayacağız.

Tanım ve kural

1. y = sin x ve y = cos x grafikleri

Birim çemberde bir noktanın y koordinatı sin x, x koordinatı cos x değerini verir. Açı x, 0'dan 2π'ye kadar büyürken bu koordinatların nasıl değiştiğini tabloya yazalım:

Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip yumuşak bir eğriyle birleştirince sinüs grafiği orijinden başlar, π/2'de tepeye (1) çıkar, π'de x eksenini keser, 3π/2'de dibe (−1) iner ve 2π'de yeniden x eksenine döner. Kosinüs grafiği ise 1 değerinden, yani tepeden başlar, π'de dibe iner, 2π'de yeniden tepeye çıkar.

Aslında iki grafik aynı dalgadır; kosinüs grafiği, sinüs grafiğinin π/2 birim sola kaydırılmış hâlidir. Bu yüzden cos x = sin(x + π/2) eşitliği her x için doğrudur.

Birkaç önemli özellik:

• Her iki fonksiyonun tanım kümesi tüm gerçek sayılardır (ℝ).
• Her ikisinin görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır. Neden? Çünkü birim çemberdeki bir noktanın koordinatları −1'den küçük, 1'den büyük olamaz.
• y = sin x grafiği orijine göre simetriktir (tek fonksiyon): sin(−x) = −sin x.
• y = cos x grafiği y eksenine göre simetriktir (çift fonksiyon): cos(−x) = cos x.

2. Periyot

Bir f fonksiyonu için f(x + T) = f(x) eşitliğini her x için sağlayan en küçük pozitif T sayısına periyot denir. Açı 2π kadar artınca birim çemberde tam bir tur atılır ve aynı noktaya dönülür. Bu yüzden y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarının periyodu 2π (derece cinsinden 360°) olur.

y = sin(bx + c) için periyot neden 2π/|b|? Dalganın bir kez tekrar etmesi için parantezin içindeki ifadenin 2π artması gerekir. x, T kadar artarsa bx + c ifadesi b·T kadar artar. O hâlde |b|·T = 2π olmalı, buradan T = 2π/|b| bulunur. c sayısı yalnızca grafiği sağa ya da sola kaydırır; dalganın uzunluğunu değiştirmez.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise yarım turda (π) kendini tekrar eder. Bu yüzden y = tan(bx + c) ve y = cot(bx + c) için periyot π/|b| olur.

3. Genlik, en büyük ve en küçük değer

y = a·sin(bx + c) + d fonksiyonunu adım adım düşünelim:

sin(bx + c) değeri −1 ile 1 arasındadır.

a ile çarpınca değerler −|a| ile |a| arasına yayılır. Dalganın orta çizgiden ne kadar yukarı ve aşağı çıktığını gösteren bu |a| sayısına genlik denir. Genlik uzunluk gibidir, negatif olmaz.

d eklenince tüm grafik d birim yukarı (d negatifse aşağı) kayar. Orta çizgi y = d olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

y = 2 sin x fonksiyonunun [0, 2π] aralığındaki önemli noktalarını bulunuz. En büyük ve en küçük değeri nedir?

Çözüm:

sin x tablosundaki her değeri 2 ile çarparız.

x = 0 için y = 2·0 = 0.

x = π/2 için y = 2·1 = 2.

x = π için y = 2·0 = 0.

x = 3π/2 için y = 2·(−1) = −2.

x = 2π için y = 2·0 = 0.

Grafik, y = sin x ile aynı yerlerde x eksenini keser ama iki kat yükseğe çıkar, iki kat derine iner.

En büyük değer 2 (x = π/2'de), en küçük değer −2 (x = 3π/2'de), genlik 2'dir.

Örnek 2

y = sin 3x fonksiyonunun periyodunu bulunuz.

Çözüm:

b = 3'tür.

T = 2π/|b| = 2π/3.

Yani x yalnızca 2π/3 arttığında 3x ifadesi 2π artar ve dalga bir kez tamamlanır. Grafik y = sin x'e göre üç kat sıkışmıştır.

Periyot 2π/3'tür.

Örnek 3

y = 4 cos(x/2) fonksiyonunun periyodunu, genliğini, en büyük ve en küçük değerini bulunuz.

Çözüm:

x/2 = (1/2)·x olduğundan b = 1/2'dir.

T = 2π ÷ (1/2) = 2π × 2 = 4π.

a = 4 olduğundan genlik |4| = 4'tür.

d = 0 olduğundan en büyük değer 0 + 4 = 4, en küçük değer 0 − 4 = −4'tür.

Periyot 4π, genlik 4, en büyük değer 4, en küçük değer −4.

Örnek 4

y = sin(πx) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözüm:

Burada b = π'dir. π bir sayıdır, formülde b yerine aynen yazılır.

T = 2π/π = 2.

Kontrol: x = 0 için πx = 0, x = 2 için πx = 2π olur; tam bir tur tamamlanmıştır.

Periyot 2'dir.

Örnek 5

y = −3 sin(2x − π/3) + 1 fonksiyonunun periyodunu, en büyük ve en küçük değerini bulunuz.

Çözüm:

b = 2 olduğundan T = 2π/2 = π. (−π/3 periyodu etkilemez.)

sin(2x − π/3) değeri −1 ile 1 arasındadır.

−3 ile çarpınca değerler −3 ile 3 arasında olur. Genlik |−3| = 3'tür.

1 ekleyince değerler −3 + 1 = −2 ile 3 + 1 = 4 arasında olur.

Periyot π, en büyük değer 4, en küçük değer −2.

Örnek 6

y = 5 − 2 cos(4x + 1) fonksiyonunun periyodunu ve görüntü kümesini bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyonu tanıdık biçimde yazalım: y = −2 cos(4x + 1) + 5.

b = 4 olduğundan T = 2π/4 = π/2.

cos(4x + 1) ∈ [−1, 1] olduğundan −2 cos(4x + 1) ∈ [−2, 2] olur.

5 ekleyince y ∈ [3, 7] bulunur.

Periyot π/2, görüntü kümesi [3, 7].

Örnek 7 (ters soru)

f(x) = a·sin(bx) + d fonksiyonunda a > 0 ve b > 0'dır. f'nin en büyük değeri 5, en küçük değeri −1 ve periyodu π'dir. a, b ve d kaçtır?

Çözüm:

En büyük değer d + a = 5, en küçük değer d − a = −1.

İki eşitliği taraf tarafa toplarız: 2d = 4, buradan d = 2.

d = 2'yi ilk eşitlikte yerine koyarız: 2 + a = 5, buradan a = 3.

Periyot: 2π/b = π, buradan b = 2.

Kontrol: f(x) = 3 sin 2x + 2 için değerler 2 − 3 = −1 ile 2 + 3 = 5 arasındadır, periyot 2π/2 = π'dir. Tutarlı.

a = 3, b = 2, d = 2.

Sınav taktiği: Bu tip sorularda önce yalnızca periyodu hesapla; çoğu zaman şıkların yarısı bununla elenir. Kalan şıklarda en büyük ve en küçük değeri kontrol et. Orta çizgi d her zaman en büyük ve en küçük değerin ortalamasıdır; genlik ise farklarının yarısıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: y = sin 4x için periyot 2π·4 = 8π. Doğrusu: b ile çarpılmaz, bölünür: T = 2π/4 = π/2. Parantez içindeki katsayı büyüdükçe dalga sıkışır, periyot küçülür.
• Yanlış: y = −3 cos x için genlik −3. Doğrusu: Genlik mutlak değerle alınır: |−3| = 3. Eksi işaret yalnızca grafiği x eksenine göre ters çevirir.
• Yanlış: y = 2 sin x + 3 için en büyük değer 2. Doğrusu: Kaydırma eklenmelidir: en büyük değer 3 + 2 = 5, en küçük değer 3 − 2 = 1.
• Yanlış: y = sin(2x + π) için periyot 2π/(2 + π). Doğrusu: Yalnızca x'in katsayısı kullanılır: T = 2π/2 = π. Sabit terim grafiği sadece kaydırır.
• Yanlış: y = tan 2x için periyot 2π/2 = π. Doğrusu: Tanjantın temel periyodu π'dir: T = π/2.

Alıştırma

1) y = sin 4x fonksiyonunun periyodu kaçtır?

2) y = cos(x/3) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

3) y = 7 sin x fonksiyonunun genliği kaçtır?

4) y = −5 cos 2x fonksiyonunun en büyük ve en küçük değeri kaçtır?

5) y = 3 sin x − 2 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değeri kaçtır?

6) y = 2 + 4 cos(3x − π) fonksiyonunun periyodunu ve görüntü kümesini bulunuz.

7) y = tan(x/2) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

8) y = sin(πx/4) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

9) f(x) = a·cos(bx) + d fonksiyonunda a > 0, b > 0'dır. En büyük değer 9, en küçük değer 1 ve periyot π/3 ise a, b, d kaçtır?

10) y = sin x grafiği [0, 2π] aralığında x eksenini kaç noktada keser?

Cevap Anahtarı

• 1) π/2 — T = 2π/4 = π/2.
• 2) 6π — b = 1/3 olduğundan T = 2π ÷ (1/3) = 6π.
• 3) 7 — Genlik |a| = |7| = 7.
• 4) En büyük 5, en küçük −5 — Genlik |−5| = 5 ve d = 0 olduğundan değerler −5 ile 5 arasındadır.
• 5) En büyük 1, en küçük −5 — 3 sin x ∈ [−3, 3] olup 2 çıkarınca [−5, 1] olur.
• 6) Periyot 2π/3, görüntü kümesi [−2, 6] — T = 2π/3 ve 4 cos(3x − π) ∈ [−4, 4] olup 2 ekleyince [−2, 6] olur.
• 7) 2π — Tanjant için T = π ÷ (1/2) = 2π.
• 8) 8 — b = π/4 olduğundan T = 2π ÷ (π/4) = 2π × 4/π = 8.
• 9) a = 4, b = 6, d = 5 — d = (9 + 1)/2 = 5, a = (9 − 1)/2 = 4, 2π/b = π/3 eşitliğinden b = 6.
• 10) 3 — sin x = 0 eşitliği bu aralıkta x = 0, π ve 2π için sağlanır.

Dersin özeti

• y = sin x ve y = cos x grafikleri, birim çemberdeki koordinatların koordinat sistemine taşınmasıyla oluşan dalgalardır; görüntü kümeleri [−1, 1], periyotları 2π'dir.
• y = a·sin(bx + c) + d ve y = a·cos(bx + c) + d için periyot 2π/|b|'dir; c ve d periyodu değiştirmez.
• Genlik |a|'dır; en büyük değer d + |a|, en küçük değer d − |a| olur.
• y = tan(bx + c) ve y = cot(bx + c) için periyot π/|b|'dir.
• Bu derste tekrar eden (periyodik) davranışları inceledik. Kursun devamında trigonometriden sonra logaritma ve dizilere geçerken, bu kez sürekli büyüyen ya da küçülen ve belirli bir kurala göre ilerleyen yapıları inceleyeceğiz; grafik okuma ve dönüşüm (kaydırma, sıkıştırma) becerileri orada da işimize yarayacak.