Logaritma Fonksiyonu ve Özellikleri

Tahmini süre: 16 dk

Önceki dersten köprü: Önceki derste üstel fonksiyonları, yani f(x) = aˣ biçimindeki fonksiyonları ve üs kurallarını ele aldık. Orada sorduğumuz soru hep şuydu: "Tabanı ve üssü biliyorum, sonuç kaç?" Örneğin 2⁵ kaçtır? Cevap 32. Bu derste soruyu tersine çeviriyoruz: "Tabanı ve sonucu biliyorum, üs kaç olmalı?" Yani 2 üzeri kaç 32 eder? İşte bu sorunun cevabını veren işleme logaritma diyoruz.

Günlük hayattan giriş

Laboratuvarda bir bakteri kolonisinin her saat iki katına çıktığını düşünelim. Başlangıçta 1 birim olan koloni kaç saat sonra 1024 birim olur? Bunu bulmak için 2ˣ = 1024 denklemini çözmemiz gerekir. 2'yi art arda çarparak 2, 4, 8, 16, … diye sayabiliriz ve 10. adımda 1024'e ulaşırız. Ama sonuç 1024 yerine 1000 olsaydı, deneme yanılma işe yaramazdı. Üssü doğrudan bulan bir araca ihtiyacımız var; bu araç logaritmadır: x = log₂ 1024 = 10.

Logaritma, çok büyük ya da çok küçük sayıları insanın kavrayabileceği küçük sayılara dönüştürmek için de kullanılır. Kimyada suyun asitliğini ölçen pH değeri, hidrojen iyonu derişiminin 10 tabanında logaritması ile tanımlanır: pH = −log[H⁺]. Derişim 10 kat artınca pH değeri yalnızca 1 azalır. Ses şiddetini ölçen desibel ölçeğinde de benzer bir durum vardır: ses şiddeti 10 kat artınca desibel değeri 10 artar. Richter ölçeğinde deprem büyüklüğü 1 arttığında, sismografın kaydettiği dalga genliği 10 katına çıkar. Yani "6 ile 7 arasında sadece 1 fark var" diye düşünmek yanıltıcıdır; bu ölçeklerin hepsi logaritmiktir.

Hesap makinelerindeki log ve ln tuşları da bu işlemi yapar. Bu derste logaritmayı ezberlenecek bir formül listesi olarak değil, üstel fonksiyonun "geri alma düğmesi" olarak göreceğiz. Göreceksin ki bütün logaritma kuralları, zaten bildiğin üs kurallarının başka bir dille yazılmış hâlidir.

Tanım ve kural

Logaritmanın tanımı

a > 0, a ≠ 1 ve b > 0 olmak üzere:

aˣ = b ⇔ logₐ b = x

Okunuşu: "a tabanında b'nin logaritması x'tir." Kısacası logaritma bir üstür: logₐ b, "a'yı kaçıncı kuvvete yükseltirsem b elde ederim?" sorusunun cevabıdır. Yazım notu: Taban karmaşık bir ifade olduğunda log_(x − 1) gibi yazacağız; alt çizgiden sonra parantez içindeki ifade tabandır.

Koşullar neden var?

• a > 0 olmalı: Taban negatif olursa (−2)^(1/2) gibi gerçek sayı olmayan değerler çıkar. Üstel fonksiyonun her x için tanımlı olması için taban pozitif seçilir.
• a ≠ 1 olmalı: 1'in her kuvveti 1'dir. log₁ 5 = x dersek 1ˣ = 5 olmalıydı; böyle bir x yoktur. log₁ 1 dersek de her x uyar, tek bir cevap çıkmaz. İki durumda da işlem anlamsızdır.
• b > 0 olmalı: Pozitif bir tabanın hangi kuvvetini alırsan al, sonuç her zaman pozitiftir. Bu yüzden log₂ (−8) ya da log₂ 0 tanımsızdır; 2ˣ hiçbir zaman −8 ya da 0 olamaz.

Logaritma fonksiyonu

f(x) = aˣ fonksiyonu birebir ve örten (ℝ'den (0, ∞) aralığına) olduğu için tersi vardır. Bu ters fonksiyon f⁻¹(x) = logₐ x fonksiyonudur. Ters fonksiyonda tanım kümesi ile değer kümesi yer değiştirir: üstel fonksiyonun değer kümesi (0, ∞) olduğundan logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (0, ∞), değer kümesi ise ℝ olur. İki fonksiyonun grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.

Her grafiğin (1, 0) noktasından geçmesinin nedeni a⁰ = 1 olmasıdır; (a, 1) noktasından geçmesinin nedeni ise a¹ = a olmasıdır.

Özellikler ve nereden geldikleri

Tüm kuralların kanıtı aynı fikre dayanır: logaritmaya bir isim ver, üstel biçime çevir, üs kuralını uygula, tekrar logaritmaya dön. logₐ x = m ve logₐ y = n diyelim. Tanımdan x = aᵐ ve y = aⁿ olur.

• Çarpım kuralı: x · y = aᵐ · aⁿ = a^(m + n). O hâlde logₐ (x · y) = m + n = logₐ x + logₐ y. Üs kuralındaki "çarpımda üsler toplanır" bilgisi buraya "çarpımın logaritması, logaritmaların toplamıdır" olarak geçer.
• Bölüm kuralı: x ÷ y = aᵐ ÷ aⁿ = a^(m − n). O hâlde logₐ (x/y) = logₐ x − logₐ y.
• Üs kuralı: xᵏ = (aᵐ)ᵏ = a^(m·k). O hâlde logₐ (xᵏ) = k · logₐ x.
• Taban değiştirme: logₐ b = x olsun. Tanımdan aˣ = b. İki tarafın da 10 tabanında logaritmasını alalım: log (aˣ) = log b. Üs kuralıyla x · log a = log b, yani x = log b ÷ log a. Aynı işlemi 10 yerine herhangi bir uygun c tabanıyla da yapabiliriz.

Özel gösterimler: log x 10 tabanında logaritmadır (onluk logaritma). ln x ise e ≈ 2,718 tabanında logaritmadır (doğal logaritma).

Çözümlü örnekler

Örnek 1

log₂ 32 kaçtır?

Çözüm:

1. log₂ 32 = x diyelim. Tanımdan 2ˣ = 32.

2. 32'yi 2'nin kuvveti olarak yazalım: 32 = 2⁵.

3. 2ˣ = 2⁵ olduğundan x = 5.

Sonuç: log₂ 32 = 5

Örnek 2

log₆ 4 + log₆ 9 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1. Tabanlar aynı ve işlem toplama olduğu için çarpım kuralını tersten kullanırız: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9).

2. 4 · 9 = 36 olduğundan ifade log₆ 36 olur.

3. 36 = 6² olduğundan log₆ 36 = 2.

Sonuç: 2

Dikkat: log₆ 4 ve log₆ 9 tek başına tam sayı değildir; ama toplamları tam sayıdır. Kural bu yüzden çok işe yarar.

Örnek 3

f(x) = log_(x − 1) (5 − x) fonksiyonunun tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?

Çözüm:

1. Logaritmanın içi pozitif olmalı: 5 − x > 0, yani x < 5.

2. Taban pozitif olmalı: x − 1 > 0, yani x > 1.

3. Taban 1 olmamalı: x − 1 ≠ 1, yani x ≠ 2.

4. Üç koşulun kesişimi: 1 < x < 5 ve x ≠ 2.

5. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4'tür; 2 çıkarılınca 3 ve 4 kalır.

Sonuç: 2 tam sayı (3 ve 4)

Örnek 4

log 2 = a olduğuna göre log 40 ifadesini a cinsinden yazınız.

Çözüm:

1. 40'ı 2'nin kuvvetleri ve 10 ile yazalım: 40 = 4 · 10.

2. Çarpım kuralı: log 40 = log 4 + log 10.

3. log 10 = 1, çünkü taban 10'dur.

4. log 4 = log 2² = 2 · log 2 = 2a.

5. Toplam: log 40 = 2a + 1.

Kontrol: 40 = 8 · 5 diye de yazabiliriz. log 8 = 3a, log 5 = log (10/2) = 1 − a. Toplam 3a + 1 − a = 2a + 1. İki yol aynı sonucu verdi.

Sonuç: log 40 = 2a + 1

Örnek 5

log₈ 32 kaçtır?

Çözüm:

1. Taban ve içi aynı sayının kuvveti olarak yazalım: 8 = 2³ ve 32 = 2⁵.

2. İfade log_(2³) (2⁵) olur.

3. Tabanın kuvveti kuralı: log_(2³) (2⁵) = (5/3) · log₂ 2.

4. log₂ 2 = 1 olduğundan sonuç 5/3.

Kontrol: 8^(5/3) = (2³)^(5/3) = 2⁵ = 32. Doğru.

Sonuç: 5/3

Örnek 6

25^(log₅ 3) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

1. Tabanı 5 cinsinden yazalım: 25 = 5².

2. (5²)^(log₅ 3) = 5^(2 · log₅ 3).

3. Kuvvet kuralı: 2 · log₅ 3 = log₅ 3² = log₅ 9.

4. İfade 5^(log₅ 9) olur. Üstel ve logaritma birbirini götürür: sonuç 9.

Sonuç: 9

Örnek 7

log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 16 çarpımı kaçtır?

Çözüm:

1. Her logaritmayı taban değiştirme kuralıyla 10 tabanında yazalım: (log 3 ÷ log 2) · (log 5 ÷ log 3) · (log 16 ÷ log 5).

2. log 3 ve log 5 hem payda hem paydada olduğu için sadeleşir.

3. Geriye log 16 ÷ log 2 kalır, bu da log₂ 16 demektir.

4. 16 = 2⁴ olduğundan log₂ 16 = 4.

Sonuç: 4

Kısayol: Bir logaritmanın içi, sonrakinin tabanı olarak zincir kuruyorsa ortadakiler sadeleşir; ilk taban ile son iç kalır.

Örnek 8

f(x) = log₂ (x + 3) − 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm:

1. y = log₂ (x + 3) − 1 yazalım.

2. −1'i karşıya atalım: y + 1 = log₂ (x + 3).

3. Tanımı kullanıp üstel biçime geçelim: x + 3 = 2^(y + 1).

4. x'i yalnız bırakalım: x = 2^(y + 1) − 3.

5. x ile y'nin yerini değiştirelim: f⁻¹(x) = 2^(x + 1) − 3.

Kontrol: f(1) = log₂ 4 − 1 = 2 − 1 = 1. f⁻¹(1) = 2² − 3 = 1. Fonksiyon 1'i 1'e, ters fonksiyon da 1'i 1'e götürdü; tutarlı.

Sonuç: f⁻¹(x) = 2^(x + 1) − 3

Sınav notu (YKS): Logaritma soruları genellikle ya "sayıyı aynı tabanın kuvveti olarak yaz" ya da "verilen log değerleri cinsinden ifade et" tipindedir. Tek bir soruya bir buçuk–iki dakikadan fazla harcama. Şık elemek için şunları kullan: logaritmanın içi tabandan büyük ve taban 1'den büyükse sonuç 1'den büyük olmalı; içi 1 ile taban arasındaysa sonuç 0 ile 1 arasında olmalı. Örneğin log₈ 32 için içi (32) tabandan (8) büyük olduğu için cevap 1'den büyük olmalı; 5/3 ≈ 1,67 bu şartı sağlar.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: log (x + y) = log x + log y. Doğrusu: Toplamanın logaritması için bir kural yoktur. Kural çarpım içindir: log (x · y) = log x + log y. Örneğin log (5 + 5) = log 10 = 1, ama log 5 + log 5 = log 25 ≠ 1.
• Yanlış: logₐ x ÷ logₐ y = logₐ (x/y). Doğrusu: İki logaritmanın bölümü, taban değiştirme kuralına göre log_y x'tir. logₐ (x/y) ise logaritmaların farkına eşittir.
• Yanlış: (log x)² = 2 · log x. Doğrusu: Kuvvet kuralı yalnızca logaritmanın içindeki kuvvet için geçerlidir: log (x²) = 2 · log x. (log x)² ise logaritmanın sonucunun karesidir, başka bir şeydir.
• Yanlış: Tanım kümesini bulurken yalnızca "içi pozitif" koşulunu yazmak. Doğrusu: Taban değişken içeriyorsa taban > 0 ve taban ≠ 1 koşulları da yazılmalıdır (Örnek 3'teki x ≠ 2 koşulu gibi).
• Yanlış: Her x için log₂ (x²) = 2 · log₂ x. Doğrusu: x = −4 için sol taraf log₂ 16 = 4 olarak tanımlıdır ama sağ taraftaki log₂ (−4) tanımsızdır. Genel doğru yazım log₂ (x²) = 2 · log₂ |x| biçimindedir.

Alıştırma

1. log₃ 81 kaçtır?

2. log₅ (1/25) kaçtır?

3. log_(1/2) 8 kaçtır?

4. log₄ 8 kaçtır?

5. log₁₂ 3 + log₁₂ 48 işleminin sonucu kaçtır?

6. log₂ 40 − log₂ 5 işleminin sonucu kaçtır?

7. f(x) = log_(x − 2) (8 − x) fonksiyonunun tanım kümesinde kaç tam sayı vardır?

8. log 3 = b olduğuna göre log 900 ifadesini b cinsinden yazınız.

9. log₃ 5 · log₂₅ 27 çarpımı kaçtır?

10. 2^(log₂ 5 + 3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1. 4 — 81 = 3⁴ olduğundan üs 4'tür.
• 2. −2 — 1/25 = 5⁻² olduğundan üs −2'dir.
• 3. −3 — (1/2)⁻³ = 2³ = 8 olduğundan üs −3'tür.
• 4. 3/2 — 4 = 2² ve 8 = 2³ olduğundan log_(2²) (2³) = 3/2 olur.
• 5. 2 — Çarpım kuralıyla log₁₂ (3 · 48) = log₁₂ 144 ve 144 = 12² olur.
• 6. 3 — Bölüm kuralıyla log₂ (40 ÷ 5) = log₂ 8 = 3 olur.
• 7. 4 — x < 8, x > 2 ve x ≠ 3 koşullarından tam sayılar 4, 5, 6, 7 kalır.
• 8. 2b + 2 — 900 = 3² · 10² olduğundan log 900 = 2 · log 3 + 2 · log 10 = 2b + 2 olur.
• 9. 3/2 — log₂₅ 27 = log_(5²) (3³) = (3/2) · log₅ 3 ve log₃ 5 · log₅ 3 = 1 olduğundan sonuç 3/2'dir.
• 10. 40 — 2^(log₂ 5) · 2³ = 5 · 8 = 40 olur.

Dersin özeti

• Logaritma bir üstür: aˣ = b ⇔ logₐ b = x. Logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.
• Tanımlı olması için taban > 0, taban ≠ 1 ve içi > 0 olmalıdır; tanım kümesi (0, ∞), değer kümesi ℝ'dir.
• a > 1 ise logₐ x artan, 0 < a < 1 ise azalandır; grafik her zaman (1, 0) noktasından geçer.
• Çarpım, bölüm ve kuvvet kuralları sırasıyla aᵐ · aⁿ = a^(m+n), aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n) ve (aᵐ)ᵏ = a^(mk) üs kurallarından doğar.
• Taban değiştirme kuralı logₐ b = log b ÷ log a, aˣ = b denkleminin iki tarafına logaritma uygulanarak elde edilir; zincir çarpımlarda sadeleştirme sağlar.

Sonraki derse köprü: Bu derste öğrendiğimiz tanım kümesi koşulları ve dönüşüm kuralları, kursun devamında logaritma içeren ifadelerle çalışırken temel araç kutumuz olacak. Özellikle "üstel biçime çevir" ve "aynı tabana getir" adımlarını iyice pekiştirmen, sonraki konuları çok kolaylaştıracak.