Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Tahmini süre: 15 dk

Günlük hayattan giriş

Bir lunaparkta bazı oyuncakların girişinde şöyle bir tabela görürsün: Boyu 120 cm ve üzeri olanlar binebilir. Bu tabela tek bir boyu değil, pek çok boyu birden anlatır. 120 cm, 135 cm, 150 cm uzunluğundaki çocuklar binebilir, 110 cm olan çocuk binemez. İşte bu durumu matematikte bir eşitlikle değil, bir eşitsizlikle yazarız: boy ≥ 120.

Günlük hayatta eşitsizlikle çok sık karşılaşırız. Bir asansörün taşıma sınırı 600 kg ise içindekilerin toplam kütlesi 600 kg’dan fazla olmamalıdır. Otoyolda hız sınırı 120 km/sa ise hızın 120’yi geçmemelidir. Harçlığın 200 TL ise alacağın ürünlerin toplam fiyatı 200 TL’yi aşmamalıdır. Bu durumların hepsinde tek bir cevap yoktur; bir aralık vardır.

Bu kursta oran-orantıyı ve denklemleri öğrendin. Denklemde “Bilinmeyen tam olarak kaçtır?” diye sorarız. Eşitsizlikte ise “Bilinmeyen hangi değerleri alabilir?” diye sorarız. Bu son derste, denklem çözerken kullandığın becerilerin neredeyse aynısını kullanacağız; yalnızca çok önemli bir farkı, yani negatif sayıyla çarpıp bölerken yönün değişmesini ve bunun nedenini öğreneceğiz.

Tanım ve kural

İçinde < (küçüktür), > (büyüktür), ≤ (küçük veya eşittir) ya da ≥ (büyük veya eşittir) sembolü bulunan ve bilinmeyenin üssü 1 olan ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Örneğin 2x + 3 > 7 böyle bir eşitsizliktir.

Sayı doğrusunda gösterim: x > 3 eşitsizliğinde 3 sayısı çözüme dahil değildir. Bu yüzden sayı doğrusunda 3’ün üzerine içi boş daire çizilir ve 3’ten sağa doğru ok çizilir. x ≤ 3 eşitsizliğinde ise 3 sayısı çözüme dahildir; 3’ün üzerine içi dolu daire çizilir ve sola doğru ok çizilir. Kısacası “eşit” kelimesi varsa daire doludur.

Kural 1: Her iki tarafa aynı sayıyı eklemek ya da çıkarmak yönü değiştirmez. Neden? 3 < 8 olsun. İki tarafa 5 eklersek 8 < 13 olur. Sayı doğrusunda iki sayıyı da aynı miktarda sağa kaydırdık; hangisinin önde olduğu değişmez.

Kural 2: Her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü değiştirmez. Neden? 3 < 8 olsun. İki tarafı 2 ile çarparsak 6 < 16 olur. Büyük olan sayının iki katı yine büyüktür.

Kural 3: Her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü DEĞİŞTİRİR. Neden? 2 < 5 olsun. İki tarafı −1 ile çarparsak −2 ve −5 sayılarını elde ederiz. Sayı doğrusunda −2, −5’in sağındadır; yani −2 > −5 olur. Negatif sayıyla çarpmak, sayıları sayı doğrusunda sıfıra göre ayna gibi ters çevirir. Sağdaki sola, soldaki sağa geçer. Bu yüzden sembolün yönü de ters çevrilmelidir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

x + 5 > 12 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

İki taraftan 5 çıkaralım: x + 5 − 5 > 12 − 5

Çıkarma işlemi yönü değiştirmez: x > 7

Sayı doğrusunda 7’ye içi boş daire çizilir, sağa ok çizilir.

Sonuç: x > 7

Örnek 2

3x − 4 ≤ 11 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

İki tarafa 4 ekleyelim: 3x ≤ 15

İki tarafı pozitif sayı olan 3’e bölelim, yön değişmez: x ≤ 5

Kontrol: x = 5 için 3 × 5 − 4 = 11 ve 11 ≤ 11 doğrudur.

Sonuç: x ≤ 5

Örnek 3

−2x + 3 < 11 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

İki taraftan 3 çıkaralım: −2x < 8

İki tarafı negatif sayı olan −2’ye bölelim; yön değişir: x > −4

Kontrol: x = 0 için 0 + 3 = 3 ve 3 < 11 doğrudur. x = −5 için 10 + 3 = 13 ve 13 < 11 yanlıştır. Çözümümüz tutarlı.

Sonuç: x > −4

Örnek 4

2(x − 3) ≥ 5x + 6 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Parantezi açalım: 2x − 6 ≥ 5x + 6

İki taraftan 5x çıkaralım: −3x − 6 ≥ 6

İki tarafa 6 ekleyelim: −3x ≥ 12

İki tarafı −3’e bölelim; yön değişir: x ≤ −4

Kontrol: x = −4 için sol taraf 2 × (−7) = −14, sağ taraf −20 + 6 = −14 olur. −14 ≥ −14 doğrudur.

Sonuç: x ≤ −4

Örnek 5

x/3 − 1 < (x + 2)/4 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Paydaları yok etmek için 3 ve 4’ün ortak katı olan 12 ile iki tarafı çarpalım. 12 pozitif olduğu için yön değişmez.

Sol taraf: 12 × (x/3) − 12 × 1 = 4x − 12

Sağ taraf: 12 × (x + 2)/4 = 3(x + 2) = 3x + 6

Yeni hâli: 4x − 12 < 3x + 6

İki taraftan 3x çıkaralım: x − 12 < 6

İki tarafa 12 ekleyelim: x < 18

Sonuç: x < 18

Örnek 6 (Günlük hayat problemi)

Bir otoparkta giriş ücreti 40 TL, ayrıca her saat için 15 TL ödeniyor. Elinde 130 TL olan biri aracını en fazla kaç saat park edebilir?

Çözüm:

Park süresine x saat diyelim. Toplam ücret: 40 + 15x

Ücret 130 TL’yi geçmemeli: 40 + 15x ≤ 130

İki taraftan 40 çıkaralım: 15x ≤ 90

İki tarafı 15’e bölelim: x ≤ 6

Kontrol: 40 + 15 × 6 = 40 + 90 = 130 TL, bütçeye tam yeter.

Sonuç: En fazla 6 saat

Örnek 7 (LGS tarzı)

−3 < 2x + 1 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm:

Bu bir çift taraflı eşitsizliktir. Yapılan işlem üç tarafa birden uygulanır.

Üç taraftan 1 çıkaralım: −4 < 2x ≤ 8

Üç tarafı 2’ye bölelim: −2 < x ≤ 4

−2 dahil değil, 4 dahil. Tam sayılar: −1, 0, 1, 2, 3, 4

Toplam: −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9

Sonuç: 9

LGS için soru tipi, süre ve şık eleme taktiği

• Soru tipleri: Çözüm kümesini sayı doğrusunda doğru gösteren şıkkı seçme, eşitsizliği sağlayan en büyük/en küçük tam sayıyı bulma, belirli aralıktaki tam sayıları sayma ve bütçe, kapasite, puan gibi günlük hayat problemlerini eşitsizlikle modelleme.
• Süre: LGS sayısal oturumunda 80 dakikada 40 soru çözülür; bu da soru başına ortalama 2 dakika demektir. Eşitsizlik soruları genelde bu süreden daha kısa sürede bitebilir; kazandığın zamanı uzun problemlere ayır.
• Deneme sayısı taktiği: Şıklarda farklı yönler varsa x = 0 gibi kolay bir değeri eşitsizlikte yerine koy. Eşitsizlik doğruysa 0’ı içermeyen şıkları ele.
• Sınır noktası taktiği: Sınır sayısını yerine koy. Eşitlik sağlanıyorsa sembol ≤ veya ≥ olmalıdır, yani sayı doğrusunda daire dolu olmalıdır.
• Yön kontrolü: Çözüm sırasında negatif sayıya böldüysen, işaretlediğin şıkta yönün ters dönüp dönmediğine son bir kez bak.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: −3x < 12 → x < −4. Doğrusu: −3’e bölerken yön değişir: x > −4.
• Yanlış: 2x > −6 → x < −3 (sağda negatif sayı var diye yönü çevirmek). Doğrusu: Bölen sayı 2, yani pozitiftir; yön değişmez: x > −3. Yönü belirleyen, sağdaki sayı değil, çarptığın ya da böldüğün sayıdır.
• Yanlış: x ≥ 2 eşitsizliğini sayı doğrusunda 2’ye içi boş daire çizerek göstermek. Doğrusu: “Eşit” kelimesi olduğundan 2 dahildir; içi dolu daire çizilir.
• Yanlış: x/2 + 1 > 4 eşitsizliğini 2 ile çarparken x + 1 > 8 yazmak. Doğrusu: Her terim 2 ile çarpılır: x + 2 > 8, buradan x > 6.
• Yanlış: x < 5 eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıları 1, 2, 3, 4, 5 diye saymak. Doğrusu: 5 dahil değildir; cevap 1, 2, 3, 4, yani 4 tanedir.

Alıştırma

1) x − 7 ≥ 3 eşitsizliğini çözünüz.

2) 4x < 28 eşitsizliğini çözünüz.

3) −5x ≤ 20 eşitsizliğini çözünüz.

4) 2x + 9 > 1 eşitsizliğini çözünüz.

5) 7 − 3x ≥ −8 eşitsizliğini çözünüz.

6) 3(x + 2) < x + 14 eşitsizliğini çözünüz.

7) x/2 − 3 ≤ 1 eşitsizliğini çözünüz.

8) Bir sayının 2 katının 5 eksiği, bu sayının 3 fazlasından küçüktür. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

9) −1 ≤ x − 2 < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

10) Bir öğrenci ilk iki sınavdan 70 ve 85 almıştır. Üç sınavın ortalamasının en az 80 olması için üçüncü sınavdan en az kaç alması gerekir?

Cevap Anahtarı

• 1) x ≥ 10 — İki tarafa 7 eklenir.
• 2) x < 7 — İki taraf pozitif 4’e bölünür, yön değişmez.
• 3) x ≥ −4 — İki taraf −5’e bölünür ve yön değişir.
• 4) x > −4 — 9 çıkarılınca 2x > −8 olur, pozitif 2’ye bölünür.
• 5) x ≤ 5 — 7 çıkarılınca −3x ≥ −15 olur, −3’e bölünürken yön değişir.
• 6) x < 4 — Parantez açılınca 3x + 6 < x + 14, düzenlenince 2x < 8 olur.
• 7) x ≤ 8 — 3 eklenince x/2 ≤ 4 olur, iki taraf 2 ile çarpılır.
• 8) 7 — 2x − 5 < x + 3 eşitsizliğinden x < 8 bulunur; 8 dahil olmadığından en büyük tam sayı 7’dir.
• 9) 4 — Üç tarafa 2 eklenince 1 ≤ x < 5 olur; tam sayılar 1, 2, 3, 4’tür.
• 10) 85 — (70 + 85 + x)/3 ≥ 80 ise 155 + x ≥ 240, yani x ≥ 85 olur.

Dersin özeti

• Eşitsizlik tek bir değeri değil, koşulu sağlayan tüm değerleri anlatır; < ve > sınırı dahil etmez, ≤ ve ≥ dahil eder.
• Sayı doğrusunda sınır dahilse içi dolu, dahil değilse içi boş daire çizilir.
• Ekleme, çıkarma ve pozitif sayıyla çarpma/bölme yönü değiştirmez.
• Negatif sayıyla çarpma/bölme, sayıları sayı doğrusunda ters çevirdiği için yönü değiştirir.
• Sonucu mutlaka bir sınır değeri ve bir iç değerle yerine koyarak kontrol et; LGS’de bu yöntem şık elemenin en hızlı yoludur.

Kursun kapanışı: Bu kursta önce oran-orantı ile büyüklükleri karşılaştırmayı, sonra denklemlerle bilinmeyeni bulmayı, son olarak da eşitsizliklerle bilinmeyenin alabileceği değerleri belirlemeyi öğrendin. Üç konunun ortak noktası, günlük hayattaki bir durumu matematik diline çevirmek ve her adımı nedenini bilerek atmaktır. Bir problemi okurken “Burada bir oran mı var, bir eşitlik mi, yoksa bir sınır mı?” diye sorman, doğru modeli kurmanın ilk adımıdır. Emeğin için tebrikler!