Doğru Orantı ve Ters Orantı

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste oran ve orantı kavramlarını öğrendik: iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasını ve iki oranın eşitliğini gördük. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: İki çokluk birlikte değişirken nasıl değişiyor? Biri artınca diğeri de aynı oranda mı artıyor, yoksa azalıyor mu? Bu soruların cevabı bizi doğru orantı ve ters orantı kavramlarına götürecek.

Günlük hayattan giriş

Kırtasiyeye gittiğini düşün. Bir kalem 5 TL ise 2 kalem 10 TL, 3 kalem 15 TL tutar. Aldığın kalem sayısı 2 katına çıkınca ödediğin para da 2 katına çıkar. Kalem sayısı 3 katına çıkınca para da 3 katına çıkar. İşte bu, iki çokluğun aynı oranda birlikte arttığı bir durumdur. Buna doğru orantı diyoruz.

Şimdi başka bir durum düşünelim. Sınıfta bir duvar boyanacak. Duvarı tek bir öğrenci boyarsa uzun sürer; iki öğrenci birlikte boyarsa süre yarıya iner; dört öğrenci boyarsa daha da kısalır. Burada çalışan kişi sayısı artarken işin bitme süresi azalıyor. Aynı şey yolculukta da olur: Otomobil daha hızlı giderse aynı yolu daha kısa sürede alır. Bu tür durumlara ters orantı diyoruz.

Bu iki ilişkiyi tanımak, alışverişte fiyat hesaplamaktan yemek tarifini kişi sayısına göre ayarlamaya, bir işin kaç günde biteceğini tahmin etmekten yolculuk süresini hesaplamaya kadar pek çok yerde işimize yarar. Önemli olan, bir problemi okuduğumuzda önce hangi orantının söz konusu olduğunu doğru belirlemektir. Çünkü yanlış orantıyı seçersek hesap ne kadar dikkatli yapılırsa yapılsın sonuç yanlış çıkar.

Tanım ve kural

Doğru orantı: İki çokluktan biri kaç katına çıkarken diğeri de aynı katına çıkıyorsa (ya da biri kaç kat azalırken diğeri de aynı kat azalıyorsa) bu iki çokluk doğru orantılıdır. Bu durumda iki çokluğun oranı sabittir.

y ile x doğru orantılı ise: y ÷ x = k (k sabit bir sayıdır). Bu k sayısına orantı sabiti denir. Aynı şeyi y = k × x biçiminde de yazabiliriz.

Neden oran sabit? Çünkü x iki katına çıkınca y de iki katına çıkar. Örneğin 3 kalem 15 TL ise 15 ÷ 3 = 5 olur. 6 kalem 30 TL ise 30 ÷ 6 = 5 olur. Payı ve paydayı aynı sayıyla çarptığımızda bölümün değişmediğini biliyoruz; bu yüzden oran hep aynı kalır. Bu sabit oran aslında "birim fiyattır": 1 kalemin fiyatı.

Ters orantı: İki çokluktan biri kaç katına çıkarken diğeri aynı kat azalıyorsa (yani 2 katına çıkınca diğeri yarıya, 3 katına çıkınca diğeri üçte birine iniyorsa) bu iki çokluk ters orantılıdır. Bu durumda iki çokluğun çarpımı sabittir.

y ile x ters orantılı ise: x × y = k (k sabit bir sayıdır).

Neden çarpım sabit? Bir işi 2 işçi 6 günde bitiriyorsa toplam iş miktarı 2 × 6 = 12 "işçi-gün" kadardır. İşçi sayısı değişse de yapılacak iş değişmez; hâlâ 12 işçi-günlük iş vardır. 3 işçi çalışırsa 12 ÷ 3 = 4 günde, 4 işçi çalışırsa 12 ÷ 4 = 3 günde biter. Çarpım, yapılacak toplam işi gösterdiği için sabit kalır. Hız-zaman problemlerinde de çarpım (hız × zaman) gidilen yolu verir ve yol değişmediği için sabittir.

Grafikle ayırt etme: Doğru orantılı iki çokluğun grafiği başlangıç noktasından (0, 0) geçen bir doğrudur. Çünkü x = 0 iken y = k × 0 = 0 olur. Ters orantılı iki çokluğun grafiği ise bir doğru değildir; x büyüdükçe y küçülen, eksenlere yaklaşan ama onlara hiç değmeyen bir eğridir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

3 defter 12 TL ise aynı defterden 7 tanesi kaç TL olur?

Çözüm:

Defter sayısı artınca fiyat aynı oranda artar; bu bir doğru orantıdır.

Önce 1 defterin fiyatını bulalım: 12 ÷ 3 = 4 TL.

7 defterin fiyatı: 7 × 4 = 28 TL.

Kontrol: 28 ÷ 7 = 4 ve 12 ÷ 3 = 4; oranlar eşit.

Sonuç: 28 TL

Örnek 2

Aşağıdaki iki tabloyu inceleyelim. Hangisinde doğru orantı, hangisinde ters orantı vardır?

Tablo A: x = 2, 4, 6 iken y = 6, 12, 18

Tablo B: x = 2, 4, 6 iken y = 30, 15, 10

Çözüm:

Tablo A'da oranlara bakalım: 6 ÷ 2 = 3, 12 ÷ 4 = 3, 18 ÷ 6 = 3. Oran sabit.

Tablo B'de çarpımlara bakalım: 2 × 30 = 60, 4 × 15 = 60, 6 × 10 = 60. Çarpım sabit.

Sonuç: Tablo A doğru orantı (k = 3), Tablo B ters orantı (k = 60)

Örnek 3

a ile b doğru orantılıdır. a = 12 iken b = 18'dir. b = 30 olduğunda a kaçtır?

Çözüm:

Doğru orantıda oran sabittir: a ÷ b = 12 ÷ 18.

Bu oranı sadeleştirelim: 12 ÷ 18 = 2/3.

O hâlde a = b × 2/3 olmalı.

a = 30 × 2/3 = 60 ÷ 3 = 20.

Kontrol: 20 ÷ 30 = 2/3; oran aynı.

Sonuç: a = 20

Örnek 4

Bir otomobil saatte 60 km hızla giderek bir yolu 4 saatte alıyor. Aynı yolu saatte 80 km hızla giderse kaç saatte alır?

Çözüm:

Hız artınca süre azalır; yol sabit olduğu için bu bir ters orantıdır.

Yolun uzunluğu = hız × zaman = 60 × 4 = 240 km.

Yeni süre = yol ÷ yeni hız = 240 ÷ 80 = 3 saat.

Kontrol: 80 × 3 = 240; yol aynı kaldı.

Sonuç: 3 saat

Örnek 5

6 işçi bir duvarı 10 günde örüyor. Aynı hızda çalışan 4 işçi bu duvarı kaç günde örer?

Çözüm:

İşçi sayısı azalınca süre uzar; bu bir ters orantıdır.

Toplam iş = 6 × 10 = 60 işçi-gün.

4 işçi için süre = 60 ÷ 4 = 15 gün.

Mantık kontrolü: İşçi azaldı, gün sayısı 10'dan 15'e çıktı; beklediğimiz gibi.

Sonuç: 15 gün

Örnek 6

5 özdeş musluk bir havuzu 12 saatte dolduruyor. Havuzun 4 saatte dolması için bu musluklardan kaç tane gerekir?

Çözüm:

Süre kısalınca daha çok musluk gerekir; bu bir ters orantıdır.

Toplam iş = 5 × 12 = 60 musluk-saat.

Gereken musluk sayısı = 60 ÷ 4 = 15.

Sonuç: 15 musluk

Örnek 7 (LGS tarzı)

8 işçi bir işi 12 günde bitirebiliyor. İşçiler 3 gün çalıştıktan sonra aynı hızda çalışan 4 işçi daha ekibe katılıyor. İşin tamamı toplam kaç günde biter?

Çözüm:

Toplam iş = 8 × 12 = 96 işçi-gün.

İlk 3 günde yapılan iş = 8 × 3 = 24 işçi-gün.

Kalan iş = 96 − 24 = 72 işçi-gün.

Yeni işçi sayısı = 8 + 4 = 12.

Kalan işin süresi = 72 ÷ 12 = 6 gün.

Toplam süre = 3 + 6 = 9 gün.

Sonuç: 9 gün

Sık yapılan hatalar

• Her artışı doğru orantı sanmak. Yanlış: "Otopark ücreti saat arttıkça artıyor, o hâlde doğru orantı." Doğrusu: Oranın sabit olup olmadığına bak. 1 saat 50 TL, 2 saat 80 TL ise 50 ÷ 1 = 50 ama 80 ÷ 2 = 40 olur. Oran sabit olmadığı için bu doğru orantı değildir.
• Ters orantıda doğru orantı hesabı yapmak. Yanlış: "6 işçi 10 günde bitiriyorsa 3 işçi 5 günde bitirir." Doğrusu: İşçi azalınca süre uzar. 6 × 10 = 60, 60 ÷ 3 = 20 gün.
• Birimleri karıştırmak. Yanlış: "Saatte 90 km hızla 30 dakikada 90 × 30 = 2700 km gidilir." Doğrusu: Hız saat cinsinden olduğu için süreyi de saate çevir: 30 dakika = 1/2 saat, yol = 90 × 1/2 = 45 km.
• Grafiği yanlış yorumlamak. Yanlış: "Grafik bir doğru olduğuna göre kesin doğru orantıdır." Doğrusu: Doğru orantı grafiği bir doğru olmakla kalmaz, (0, 0) noktasından da geçer. Başlangıç noktasından geçmeyen doğru, doğru orantı göstermez.
• Oranı ters kurmak. Yanlış: a ÷ b = 12 ÷ 18 iken bir sonraki adımda b ÷ a kullanmak. Doğrusu: Oranı hangi sırayla başlattıysan aynı sırayla devam et.

LGS için taktikler

• Soru tipi: Bu konu LGS'de genellikle tablo, grafik veya günlük hayat metniyle verilen yeni nesil sorular olarak karşına çıkar. Bazen iki durumdan hangisinin doğru, hangisinin ters orantı olduğunu seçmen istenir.
• Süre: LGS sayısal bölümünde 40 soru için 80 dakika verilir; soru başına ortalama 2 dakika düşer. Orantı sorularında önce "oran mı sabit, çarpım mı?" sorusunu sorarsan çözüm genellikle bu süreden kısa sürer.
• Şık eleme: Hesaplamadan önce mantık kur. Örneğin 6 işçi 10 günde bitiren işi 4 işçi için soruyorsa işçi azaldığından cevap 10'dan büyük olmalı; 10 ve altındaki şıkları hemen ele.
• Kontrol: Bulduğun cevabı yerine koy: Doğru orantıda oranı, ters orantıda çarpımı tekrar hesapla. Aynı sayı çıkıyorsa cevabın doğrudur.

Alıştırma

1) 4 defter 60 TL ise aynı defterden 9 tanesi kaç TL olur?

2) x = 1, 2, 5 iken y = 7, 14, 35 oluyor. x ile y arasında nasıl bir orantı vardır?

3) x = 2, 3, 6 iken y = 18, 12, 6 oluyor. x ile y arasında nasıl bir orantı vardır?

4) Bir otoparkta 1 saat 50 TL, 2 saat 80 TL, 3 saat 110 TL'dir. Süre ile ücret doğru orantılı mıdır?

5) 5 işçi bir işi 12 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 3 işçi bu işi kaç günde bitirir?

6) Bir araç saatte 75 km hızla bir yolu 4 saatte alıyor. Aynı yolu 5 saatte alması için saatteki hızı kaç km olmalıdır?

7) a ile b doğru orantılıdır. a = 6 iken b = 15'tir. a = 10 olduğunda b kaçtır?

8) x ile y ters orantılıdır. x = 4 iken y = 9'dur. x = 12 olduğunda y kaçtır?

9) 4 kişilik bir kek tarifinde 300 g un kullanılıyor. Aynı tarif 10 kişilik yapılırsa kaç gram un gerekir?

10) 10 işçi bir işi 15 günde bitirebiliyor. 5 gün çalıştıktan sonra 5 işçi işten ayrılıyor. İşin tamamı toplam kaç günde biter?

Cevap Anahtarı

• 1) 135 TL - 1 defter 60 ÷ 4 = 15 TL, 9 defter 9 × 15 = 135 TL.
• 2) Doğru orantı - 7 ÷ 1 = 14 ÷ 2 = 35 ÷ 5 = 7; oran sabit.
• 3) Ters orantı - 2 × 18 = 3 × 12 = 6 × 6 = 36; çarpım sabit.
• 4) Hayır - 50 ÷ 1 = 50, 80 ÷ 2 = 40; oran sabit olmadığı için doğru orantı değildir.
• 5) 20 gün - Toplam iş 5 × 12 = 60, 60 ÷ 3 = 20.
• 6) 60 km - Yol 75 × 4 = 300 km, 300 ÷ 5 = 60.
• 7) b = 25 - b ÷ a = 15 ÷ 6 = 5/2, b = 10 × 5/2 = 25.
• 8) y = 3 - Çarpım 4 × 9 = 36, 36 ÷ 12 = 3.
• 9) 750 g - Kişi başı 300 ÷ 4 = 75 g, 10 kişi için 75 × 10 = 750 g.
• 10) 25 gün - Toplam iş 150, 5 günde 50 yapılır, kalan 100 iş 5 işçiyle 20 günde biter; 5 + 20 = 25.

Dersin özeti

• İki çokluktan biri kaç katına çıkınca diğeri de aynı katına çıkıyorsa doğru orantı vardır ve oranları sabittir (y ÷ x = k).
• İki çokluktan biri kaç katına çıkınca diğeri aynı kat azalıyorsa ters orantı vardır ve çarpımları sabittir (x × y = k).
• Doğru orantının grafiği (0, 0) noktasından geçen bir doğrudur; ters orantının grafiği ise bir eğridir.
• İşçi-iş, musluk-havuz ve hız-zaman problemlerinde önce sabit kalan toplamı (toplam iş ya da yol) bul, sonra yeni duruma böl.
• Sonucu mantıkla kontrol et. Sıradaki derslerde bu ilişkileri denklem kurarak çözmeye geçeceğiz; bugün öğrendiğin y = k × x ve x × y = k yazımları orada da işine yarayacak.