Orantı ve İçler-Dışlar Çarpımı

Tahmini süre: 13 dk

Önceki derste oranı öğrendik: aynı birimle ya da birbiriyle ilişkili iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: iki oran birbirine eşit olursa ne olur? Buna orantı diyoruz. Orantıda bilinmeyen bir sayıyı bulmak için kullandığımız içler-dışlar çarpımı yönteminin neden işe yaradığını da denk kesirlerle göstereceğiz.

Günlük hayattan giriş

Evde kek yaptığınızı düşünün. Tarifte 2 yumurtaya 1 su kabı un yazıyor. Misafir gelecek ve kekin iki katı büyüklükte olmasını istiyorsunuz. Hiç düşünmeden 4 yumurta ve 2 su kabı un kullanırsınız. Çünkü yumurta ile unun oranını bozmamanız gerekir. 2/1 ile 4/2 aynı oranı gösterir. İşte bu iki oranın eşitliği bir orantıdır.

Aynı düşünceyi markette de yaparız. 3 kalem 45 TL ise 5 kalem kaç TL olur? Kalem sayısı ile fiyat arasındaki oran değişmez. Haritalarda da durum aynıdır: haritada 1 cm gerçekte 5 km gösteriyorsa, 4 cm gerçekte 20 km gösterir. Ölçek, harita üzerindeki uzunlukla gerçek uzunluk arasındaki sabit bir orandır.

Bu örneklerin hepsinde ortak bir durum vardır: dört sayıdan üçünü biliyoruz, dördüncüsünü arıyoruz. Bu dersin sonunda bu tür soruları tahmin yürüterek değil, her zaman işe yarayan bir yöntemle çözebileceksiniz.

Tanım ve kural

Orantı: İki oranın birbirine eşit olmasıdır. a/b ve c/d birer oran ise

a/b = c/d ya da a : b = c : d

eşitliğine orantı denir (b ≠ 0 ve d ≠ 0). Bu yazılışta a, b, c, d sayılarına orantının terimleri denir.

İçler ve dışlar: a : b = c : d biçiminde yazdığımızda en dışta kalan a ve d sayılarına dışlar, ortada kalan b ve c sayılarına içler denir. İsimler bu yazılıştan gelir.

Kural: Bir orantıda dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir.

a/b = c/d ise a × d = b × c

Neden böyle? Denk kesirlerle gösterelim

İki kesri karşılaştırmanın en güvenli yolu, paydalarını eşitlemektir. a/b ve c/d kesirlerinin ortak paydası olarak b × d alalım.

Birinci kesri d ile genişletelim: a/b = (a × d) / (b × d)

İkinci kesri b ile genişletelim: c/d = (c × b) / (d × b)

Genişletme bir kesrin değerini değiştirmez, yani hâlâ aynı sayılardır. Şimdi iki kesrin paydası aynıdır: b × d. Paydaları aynı olan iki kesir eşitse payları da eşit olmak zorundadır. Örneğin ?/12 = 8/12 ise soru işaretinin yerinde yalnızca 8 olabilir.

Öyleyse a × d = c × b olur. İşte içler-dışlar çarpımı aslında paydaları eşitleyip payları karşılaştırmanın kısa yoludur.

Somut bir örnekle görelim: 2/3 = 8/12. Ortak payda 3 × 12 = 36 olsun. 2/3 = 24/36 ve 8/12 = 24/36. Paylar eşit: 2 × 12 = 24 ve 3 × 8 = 24.

Tersi de doğrudur: a × d = b × c ise (b ve d sıfırdan farklıyken) a/b = c/d bir orantıdır. Bu sayede iki oranın orantı oluşturup oluşturmadığını hızlıca kontrol edebiliriz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

2/3 ile 8/12 oranları bir orantı oluşturur mu?

Çözüm:

Dışlar çarpımı: 2 × 12 = 24

İçler çarpımı: 3 × 8 = 24

İki çarpım eşit olduğu için oranlar eşittir.

Evet, orantı oluşturur.

Örnek 2

3/5 = x/20 orantısında x kaçtır?

Çözüm:

İçler-dışlar çarpımı yazalım: 5 × x = 3 × 20

Sağ tarafı hesaplayalım: 5x = 60

İki tarafı 5'e bölelim: x = 60 ÷ 5

Kontrol: 12/20 kesrini 4 ile sadeleştirirsek 3/5 olur. Doğru.

x = 12

Örnek 3

4 : x = 6 : 9 orantısında x kaçtır?

Çözüm:

Dışlar 4 ve 9, içler x ve 6'dır.

Dışlar çarpımı = içler çarpımı: 4 × 9 = 6 × x

36 = 6x

x = 36 ÷ 6

Kontrol: 4/6 = 2/3 ve 6/9 = 2/3. Doğru.

x = 6

Örnek 4

Bir kek tarifinde 250 g una 3 yumurta kullanılıyor. 750 g un ile aynı tarifte kaç yumurta gerekir?

Çözüm:

Aynı türden çoklukları aynı yere yazarak orantı kuralım: yumurta / un.

3/250 = x/750

İçler-dışlar çarpımı: 250 × x = 3 × 750

250x = 2250

x = 2250 ÷ 250 = 9

Mantık kontrolü: un 3 katına çıktı (250 × 3 = 750), yumurta da 3 katına çıkmalı: 3 × 3 = 9. Doğru.

9 yumurta gerekir.

Örnek 5

(x + 2)/5 = 6/10 orantısında x kaçtır?

Çözüm:

İçler-dışlar çarpımı: 10 × (x + 2) = 5 × 6

Parantezi dağıtalım: 10x + 20 = 30

İki taraftan 20 çıkaralım: 10x = 10

x = 1

Kontrol: (1 + 2)/5 = 3/5 ve 6/10 = 3/5. Doğru.

x = 1

Örnek 6

Bir haritada 3 cm, gerçekte 12 km'lik bir yolu gösteriyor. Aynı haritada 7 cm gerçekte kaç km'dir?

Çözüm:

Orantıyı kuralım (harita / gerçek): 3/12 = 7/x

İçler-dışlar çarpımı: 3 × x = 12 × 7

3x = 84

x = 84 ÷ 3 = 28

Kontrol: 3/12 = 1/4 ve 7/28 = 1/4. Doğru.

7 cm gerçekte 28 km'dir.

Örnek 7

(x + 1)/3 = (x + 5)/5 orantısında x kaçtır?

Çözüm:

İçler-dışlar çarpımı: 5 × (x + 1) = 3 × (x + 5)

Parantezleri dağıtalım: 5x + 5 = 3x + 15

Her iki taraftan 3x çıkaralım: 2x + 5 = 15

Her iki taraftan 5 çıkaralım: 2x = 10

x = 5

Kontrol: (5 + 1)/3 = 6/3 = 2 ve (5 + 5)/5 = 10/5 = 2. Doğru.

x = 5

LGS ipucu

• Soru tipi: LGS'de orantı genellikle tarif, fiyat, harita ölçeği ya da hız gibi bir günlük hayat metni içinde gelir. Önce metinden hangi iki çokluğun orantılı olduğunu bulun.
• Süre: Orantıyı doğru kurduktan sonra işlem kısadır. Böyle bir soruya yaklaşık 1-1,5 dakika ayırmak yeterlidir.
• Şık eleme: Önce mantık kontrolü yapın. Un artıyorsa yumurta da artmalıdır; verilen değerden küçük çıkan şıkları hemen eleyin. Ayrıca şıkları orantıya yerleştirip içler-dışlar çarpımının eşit olup olmadığına bakarak da doğru şıkkı bulabilirsiniz.

Sık yapılan hatalar

• Çapraz yerine düz çarpmak. Yanlış: 3/5 = x/20 için 3 × x = 5 × 20, yani x = 100/3. Doğrusu: çarpılan sayılar çapraz olmalıdır: 5 × x = 3 × 20, 5x = 60, x = 12.
• Parantezi unutmak. Yanlış: (x + 2)/5 = 6/10 için 10x + 2 = 30. Doğrusu: 10, payın tamamıyla çarpılır: 10(x + 2) = 30, 10x + 20 = 30, x = 1.
• Orantıyı karışık kurmak. Yanlış: 250 g una 3 yumurta ise 3/250 = 750/x yazmak. Bu durumda x = 62 500 gibi anlamsız bir sonuç çıkar. Doğrusu: aynı türden çokluklar aynı yerde olmalı: 3/250 = x/750, x = 9.
• İçler-dışlar çarpımını toplamada kullanmak. Yanlış: 1/2 + 3/4 işleminde 1 × 4 ve 2 × 3 çarpıp bir şey bulmaya çalışmak. Doğrusu: içler-dışlar çarpımı yalnızca iki kesir eşit olduğunda (orantıda) kullanılır. Toplamada paydalar eşitlenir: 2/4 + 3/4 = 5/4.
• Sonucu kontrol etmemek. Bulunan değeri orantıya yerleştirip iki oranın gerçekten eşit olup olmadığına bakmak, işlem hatasını anında yakalar.

Alıştırma

1) 4/7 ile 12/21 oranları orantı oluşturur mu?

2) 5/6 ile 15/20 oranları orantı oluşturur mu?

3) x/8 = 3/4 orantısında x kaçtır?

4) 5/x = 15/12 orantısında x kaçtır?

5) 9 : 12 = 6 : x orantısında x kaçtır?

6) (x − 3)/4 = 5/2 orantısında x kaçtır?

7) 2/(x + 1) = 6/15 orantısında x kaçtır?

8) (x + 2)/(x − 1) = 5/2 orantısında x kaçtır?

9) 4 defter 60 TL ise aynı defterlerden 7 tanesi kaç TL'dir?

10) Bir haritada 2 cm, gerçekte 15 km'yi gösteriyor. Gerçekte 90 km olan yol haritada kaç cm'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) Evet. 4 × 21 = 84 ve 7 × 12 = 84 olduğu için çarpımlar eşittir.
• 2) Hayır. 5 × 20 = 100 ama 6 × 15 = 90 olduğu için çarpımlar eşit değildir.
• 3) x = 6. 4x = 8 × 3 = 24 olduğundan x = 24 ÷ 4 = 6'dır.
• 4) x = 4. 15x = 5 × 12 = 60 olduğundan x = 60 ÷ 15 = 4'tür.
• 5) x = 8. 9x = 12 × 6 = 72 olduğundan x = 72 ÷ 9 = 8'dir.
• 6) x = 13. 2(x − 3) = 20 olduğundan x − 3 = 10 ve x = 13'tür.
• 7) x = 4. 6(x + 1) = 2 × 15 = 30 olduğundan x + 1 = 5 ve x = 4'tür.
• 8) x = 3. 2(x + 2) = 5(x − 1) yani 2x + 4 = 5x − 5 olduğundan 3x = 9 ve x = 3'tür.
• 9) 105 TL. 4/60 = 7/x kurulunca 4x = 420 ve x = 105 olur.
• 10) 12 cm. 2/15 = x/90 kurulunca 15x = 180 ve x = 12 olur.

Dersin özeti

• Orantı, iki oranın eşitliğidir: a/b = c/d ya da a : b = c : d.
• a : b = c : d yazılışında a ve d dışlar, b ve c içlerdir; bir orantıda a × d = b × c olur.
• Bu kural, iki kesrin paydalarını b × d ile eşitleyip payları karşılaştırmaktan gelir; ezber değil, denk kesirlerin kısa yoludur.
• Bilinmeyeni bulmak için orantıyı doğru kurun (aynı tür çokluklar aynı yerde), içler-dışlar çarpımını yazın, çıkan denklemi çözün ve sonucu yerine koyarak kontrol edin.
• Sonraki derslerde bu aracı, iki çokluğun birlikte nasıl değiştiğini incelediğimiz orantı problemlerinde ve denklem çözümünde sık sık kullanacağız.