Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde oran-orantı kurduk ve bilinmeyen bir değeri harfle göstermeye alıştık. Bu derste o harfin değerini bulmanın düzenli bir yolunu öğreneceğiz. Bir sonraki adımda da bu yöntemi günlük hayat problemlerinde denklem kurarak kullanacak, ardından eşitsizliklere geçeceğiz. Yani bugün öğrendiklerimiz kursun geri kalanının temeli olacak.

Bir manav terazisi düşünelim. Sol kefede içinde kaç tane ceviz olduğunu bilmediğimiz kapalı bir paket ve 3 tane 100 gramlık ağırlık var. Sağ kefede 7 tane 100 gramlık ağırlık var ve terazi dengede. Paketin kaç gram olduğunu nasıl buluruz? İki kefeden de 3 ağırlık alırsak terazi yine dengede kalır. Solda yalnızca paket, sağda 4 ağırlık kalır. Demek ki paket 400 gramdır.

İşte denklem çözmek tam olarak budur. Terazinin iki kefesi eşitliğin iki tarafıdır. Bilinmeyen paket x'tir. Dengeyi bozmadan iki tarafa aynı işlemi yaparak x'i tek başına bırakırız. Market alışverişinde kalan parayı hesaplamak, bir yolculuğun kalan kilometresini bulmak ya da bir tarifteki malzemeyi ayarlamak gibi pek çok durumda farkında olmadan bu düşünceyi kullanırız.

Tanım ve kural

Denklem: İçinde bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliktir. Örneğin x + 3 = 10 bir denklemdir; yalnızca x = 7 için doğrudur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem: Tek bir bilinmeyeni olan ve bu bilinmeyenin üssü 1 olan denklemdir. Genel görünüşü ax + b = 0 şeklindedir (a ≠ 0). 2x − 5 = 9 böyle bir denklemdir; x² + 1 = 5 ise değildir, çünkü x'in üssü 2'dir.

Denklemin çözümü (kökü): Denklemi doğru yapan sayıdır. Çözümü bulmak için bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakırız.

Temel kural: Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir, iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir, iki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir. Eşitlik bozulmaz.

Neden? İki şey birbirine eşitse, ikisine de aynı şeyi yaptığımızda sonuçlar da eşit kalır. Terazide iki kefeye aynı ağırlığı eklersek denge değişmez. İki kefedeki her şeyi iki katına çıkarırsak yine dengede kalır. Peki neden sıfırla çarpmıyoruz? Çünkü iki tarafı 0 ile çarparsak her denklem 0 = 0 olur ve x hakkındaki bilgiyi kaybederiz. Sıfıra bölme ise zaten tanımsızdır.

Karşıya geçirme ne demek? Sık duyduğumuz 'sayı karşıya geçince işaret değiştirir' sözü aslında temel kuralın kısa yoludur. x + 5 = 12 denkleminde iki taraftan 5 çıkarırız: x + 5 − 5 = 12 − 5, yani x = 7. Sanki 5 karşıya −5 olarak geçmiş gibi görünür. Kuralın nedenini bilirsek işareti karıştırmayız.

Çözüm sırası: Önce parantezleri dağıt, kesir varsa paydalardan kurtul, bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa topla, en son bilinmeyenin katsayısına böl. Bulduğun sonucu mutlaka denklemde yerine koyarak kontrol et.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: x + 7 = 15 denklemini çözünüz.

Çözüm:

x'in yanında +7 var. İki taraftan 7 çıkaralım.

x + 7 − 7 = 15 − 7

x = 8

Kontrol: 8 + 7 = 15 ✓

Sonuç: x = 8

Örnek 2: 3x − 5 = 16 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Önce −5'ten kurtulmak için iki tarafa 5 ekleyelim: 3x − 5 + 5 = 16 + 5

3x = 21

İki tarafı 3'e bölelim: x = 21 ÷ 3

x = 7

Kontrol: 3 × 7 − 5 = 21 − 5 = 16 ✓

Sonuç: x = 7

Örnek 3: x/3 + 2 = 6 denklemini çözünüz.

Çözüm:

İki taraftan 2 çıkaralım: x/3 = 4

x, 3'e bölünmüş. İki tarafı 3 ile çarpalım: x = 4 × 3

x = 12

Kontrol: 12/3 + 2 = 4 + 2 = 6 ✓

Sonuç: x = 12

Örnek 4: 4(x − 2) = 2x + 6 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Parantezi dağıtalım; 4'ü hem x ile hem −2 ile çarparız: 4x − 8 = 2x + 6

x'li terimleri sola toplamak için iki taraftan 2x çıkaralım: 2x − 8 = 6

İki tarafa 8 ekleyelim: 2x = 14

İki tarafı 2'ye bölelim: x = 7

Kontrol: Sol taraf 4(7 − 2) = 4 × 5 = 20. Sağ taraf 2 × 7 + 6 = 14 + 6 = 20 ✓

Sonuç: x = 7

Örnek 5: x/2 + x/3 = 10 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Paydalar 2 ve 3. EKOK(2, 3) = 6.

Eşitliğin iki tarafındaki her terimi 6 ile çarpalım: 6 × x/2 + 6 × x/3 = 6 × 10

3x + 2x = 60

5x = 60

x = 60 ÷ 5 = 12

Kontrol: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10 ✓

Sonuç: x = 12

Örnek 6: (2x − 1)/3 = (x + 4)/2 denklemini çözünüz.

Çözüm:

İki tarafı paydaların EKOK'u olan 6 ile çarpalım. Sol taraf 2(2x − 1), sağ taraf 3(x + 4) olur. Bu, içler-dışlar çarpımının nedenidir.

2(2x − 1) = 3(x + 4)

Parantezleri dağıtalım: 4x − 2 = 3x + 12

İki taraftan 3x çıkaralım: x − 2 = 12

İki tarafa 2 ekleyelim: x = 14

Kontrol: (2 × 14 − 1)/3 = 27/3 = 9. (14 + 4)/2 = 18/2 = 9 ✓

Sonuç: x = 14

Örnek 7: 5 − 2(x − 3) = x − 4 denklemini çözünüz.

Çözüm:

Parantezin önünde −2 var. −2 × x = −2x ve −2 × (−3) = +6 olur: 5 − 2x + 6 = x − 4

Sayıları birleştirelim: 11 − 2x = x − 4

İki tarafa 2x ekleyelim: 11 = 3x − 4

İki tarafa 4 ekleyelim: 15 = 3x

İki tarafı 3'e bölelim: x = 5

Kontrol: Sol taraf 5 − 2(5 − 3) = 5 − 4 = 1. Sağ taraf 5 − 4 = 1 ✓

Sonuç: x = 5

LGS taktiği: soru tipi, süre ve şık eleme

LGS'de denklemler genellikle doğrudan 'x kaçtır?' diye sorulmaz; bir problem, bir tablo ya da bir şekil içine yerleştirilir. Yine de temelde yukarıdaki adımlar kullanılır. Böyle bir soruya ortalama 1,5-2 dakika ayırmayı hedefle; denklemi kurduktan sonra çözüm genellikle 30 saniye sürer.

Şık eleme örneği: 3(x − 1) + 2 = 2x + 5 denkleminin çözümü hangisidir? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

Yol 1, çözerek: 3x − 3 + 2 = 2x + 5 → 3x − 1 = 2x + 5 → x = 6.

Yol 2, şıkları yerine koyarak: x = 6 için sol taraf 3 × 5 + 2 = 17, sağ taraf 2 × 6 + 5 = 17. Eşit olduğu için doğru şık C'dir.

Sonuç: C) 6

İpucu: Çözümün bittiğinde bulduğun sayıyı denklemde yerine koy. Bu kontrol 15-20 saniye sürer ama işaret hatasından kaynaklanan yanlışları yakalar. Çözemediğin durumda şıkları ortadan (B veya C) denemeye başlamak çoğu zaman zaman kazandırır.

Sık yapılan hatalar

• Parantezi eksik dağıtmak: 3(x + 4) = 3x + 4 yazmak yanlıştır. Doğrusu: 3 hem x'le hem 4'le çarpılır, 3(x + 4) = 3x + 12.
• Eksili parantezde işareti unutmak: −2(x − 3) = −2x − 6 yazmak yanlıştır. Doğrusu: (−2) × (−3) = +6 olduğu için −2(x − 3) = −2x + 6.
• Kesirden kurtulurken yalnız bir terimi çarpmak: x/4 + 3 = 5 denkleminde 4 ile çarpıp x + 3 = 20 yazmak yanlıştır. Doğrusu: Her terim çarpılır, x + 12 = 20, buradan x = 8.
• Karşıya geçirirken işareti değiştirmemek: x + 6 = 10 için x = 16 yazmak yanlıştır. Doğrusu: İki taraftan 6 çıkarılır, x = 4.
• Katsayıyı çıkarmak: 3x = 12 için x = 12 − 3 = 9 yazmak yanlıştır. 3x, '3 çarpı x' demektir; çarpmanın tersi bölmedir. Doğrusu: x = 12 ÷ 3 = 4.

Alıştırma

1) x − 9 = 14

2) 5x + 3 = 43

3) 2x − 7 = 11

4) 6x − 4 = 2x + 20

5) 3(x + 2) = 21

6) 2(3x − 1) = 4(x + 3)

7) x/5 − 1 = 3

8) (x + 3)/4 = (x − 1)/2

9) x/2 + x/4 = 9

10) 8 − 3(x − 2) = x − 2

Cevap Anahtarı

1) x = 23 — İki tarafa 9 eklenir: x = 14 + 9.

2) x = 8 — İki taraftan 3 çıkarılır, 5x = 40 olur ve 5'e bölünür.

3) x = 9 — İki tarafa 7 eklenir, 2x = 18 olur ve 2'ye bölünür.

4) x = 6 — 2x sola, −4 sağa toplanınca 4x = 24 olur.

5) x = 5 — İki taraf 3'e bölünür, x + 2 = 7 olur.

6) x = 7 — Dağıtınca 6x − 2 = 4x + 12, buradan 2x = 14 olur.

7) x = 20 — İki tarafa 1 eklenince x/5 = 4 olur, iki taraf 5 ile çarpılır.

8) x = 5 — İki taraf 4 ile çarpılınca x + 3 = 2(x − 1), yani x + 3 = 2x − 2 olur.

9) x = 12 — İki taraf 4 ile çarpılınca 2x + x = 36, yani 3x = 36 olur.

10) x = 4 — Dağıtınca 14 − 3x = x − 2 olur, buradan 16 = 4x bulunur.

Dersin özeti

• Denklem dengedeki bir terazi gibidir; iki tarafa aynı işlemi yapmak dengeyi, yani eşitliği bozmaz (sıfırla çarpma ve sıfıra bölme hariç).
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemde tek bilinmeyen vardır ve üssü 1'dir; amaç bilinmeyeni bir tarafta yalnız bırakmaktır.
• Çözüm sırası: parantezi dağıt, paydaların EKOK'uyla çarparak kesirden kurtul, bilinmeyenleri bir tarafa ve sayıları diğer tarafa topla, katsayıya böl.
• Parantez dağıtırken her terimi çarp, önünde eksi varsa işaretlere özellikle dikkat et.
• Bulduğun sonucu denklemde yerine koyarak kontrol et; LGS'de bu kontrol ve şıkları yerine koyma yöntemi hem zaman kazandırır hem hataları yakalar. Bir sonraki adımda bu becerileri problemlerden denklem kurmak için kullanacağız.