Oran ve Orantı: İş Yerinde Karşılaştırma Yapmak

Kursa hoş geldiniz! Bu kursta iş hayatında her gün karşınıza çıkan sayılarla rahat çalışmayı öğreneceğiz: oranlar, ortalamalar, grafikler ve basit istatistik. Formülleri ezberlemek yerine her kuralın neden öyle olduğunu konuşacağız. İlk dersimiz oran ve orantı. Tahmini süre: 14 dk.

Günlük hayattan giriş

İş yerinde sayıları çoğu zaman tek başına değil, karşılaştırarak kullanırız. “Bu ay 120 sipariş aldık” cümlesi tek başına az şey söyler. “Geçen ay 100 sipariş almıştık” dediğimizde bilgi anlam kazanır. İki büyüklüğü birbirine göre değerlendirmenin matematikteki adı orandır. Bir ekipteki deneyimli ve yeni çalışan sayısı, bir ürünün maliyetiyle satış fiyatı ya da mesainin ne kadarının toplantılarla geçtiği hep birer orandır.

Satın alma biriminde çalışan biri iki tedarikçinin teklifini karşılaştırırken de oranı kullanır. Bir teklif 12 kg için 180 TL, diğeri 15 kg için 210 TL olabilir. Hangisinin daha uygun olduğunu toplam fiyata bakarak anlayamayız, çünkü miktarlar farklıdır. Kilogram başına fiyatı, yani birim oranı bulmamız gerekir.

Planlama yaparken de orantı kullanırız. “Bir makine 4 saatte 1.200 parça üretiyorsa 7 saatte kaç parça üretir?” ya da “6 kişilik ekip bu işi 10 günde bitiriyorsa 4 kişilik ekip kaç günde bitirir?” gibi sorular üretim, personel planlaması ve teslim tarihi hesaplarının temelidir. Bu derste bu soruları sağlam bir mantıkla çözmeyi öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Oran: Aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. a’nın b’ye oranı a/b ya da a:b şeklinde yazılır ve “a’ya b” diye okunur. Sıra önemlidir: kadın çalışanların erkek çalışanlara oranı ile erkeklerin kadınlara oranı farklı şeylerdir.

Neden birimler aynı olmalı? 45 dakikayı 8 saatle doğrudan karşılaştırırsak 45/8 gibi anlamsız bir sayı çıkar, çünkü dakika ile saat farklı büyüklüktedir. Önce ikisini aynı birime çeviririz. Sonra bölme işlemi bize “biri diğerinin kaçta kaçı” sorusunun gerçek cevabını verir.

Sadeleştirme: Oranın iki terimini aynı sayıya böldüğümüzde oran değişmez. Bunun nedeni basittir: 24 kadına karşılık 36 erkek varsa, çalışanları 12’şer kişilik eşit gruplara ayırdığımızda her 2 kadına karşılık 3 erkek düşer. Karşılaştırma aynıdır, yalnızca sayılar küçülmüştür. En sade hâli bulmak için iki sayının en büyük ortak bölenine (EBOB) böleriz.

Birim oran: Oranı “1 birim başına” değere çevirmektir: kilogram başına fiyat, saat başına üretim, kişi başına maliyet gibi. Farklı miktarları karşılaştırmanın en güvenli yolu budur.

Orantı: İki oranın eşitliğidir: a/b = c/d. Bu eşitlikte a × d = b × c olur (içler dışlar çarpımı). Neden? Eşitliğin iki tarafını da b × d ile çarparsak paydalar sadeleşir ve a × d = c × b kalır. Yani bu kural bir ezber değil, eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygulamanın sonucudur.

Doğru orantı: Bir çokluk kaç katına çıkarken diğeri de aynı katına çıkıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır. Çalışma süresi 2 katına çıkınca üretilen parça da 2 katına çıkar. Burada y/x oranı sabittir; bu sabit, birim orandır (örneğin saat başına parça).

Ters orantı: Bir çokluk kaç katına çıkarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır. İşçi sayısı 2 katına çıkınca işin bitme süresi yarıya iner. Burada x × y çarpımı sabittir. Neden? Yapılacak toplam iş değişmez; bu toplam iş “işçi sayısı × gün” kadardır. Kişi sayısı artınca gün sayısı azalmak zorundadır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): Oranı sadeleştirme

Bir şirkette 24 kadın ve 36 erkek çalışan vardır. Kadın çalışanların erkek çalışanlara oranını en sade biçimde yazınız. Kadınların tüm çalışanlara oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Kadın:erkek oranı 24:36 olur.

Adım 2: 24 ile 36’nın EBOB’u 12’dir.

Adım 3: 24 ÷ 12 = 2 ve 36 ÷ 12 = 3 olur.

Adım 4: Toplam çalışan sayısı 24 + 36 = 60’tır. Kadınların tüm çalışanlara oranı 24/60 olur.

Adım 5: 24/60 ifadesini 12’ye bölersek 2/5 elde ederiz.

Sonuç: Kadın:erkek = 2:3; kadınların tüm çalışanlara oranı 2/5

Örnek 2 (kolay): Birimleri eşitleyerek oran

Günlük toplantı 45 dakika, mesai 8 saat sürüyor. Toplantı süresinin mesai süresine oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Birimleri eşitleyelim: 8 saat = 8 × 60 = 480 dakika.

Adım 2: Oran 45/480 olur.

Adım 3: 45 ile 480’in EBOB’u 15’tir.

Adım 4: 45 ÷ 15 = 3 ve 480 ÷ 15 = 32 olur.

Sonuç: 3/32 (mesainin 32 eşit parçasından 3’ü toplantıda geçiyor)

Örnek 3 (orta): Birim oranla teklif karşılaştırma

A tedarikçisi 12 kg malzemeyi 180 TL’ye, B tedarikçisi 15 kg malzemeyi 210 TL’ye veriyor. Hangisi daha uygundur?

Çözüm:

Adım 1: A’nın kilogram fiyatı: 180 ÷ 12 = 15 TL/kg.

Adım 2: B’nin kilogram fiyatı: 210 ÷ 15 = 14 TL/kg.

Adım 3: 14 < 15 olduğu için B’nin kilogram fiyatı daha düşüktür.

Sonuç: B tedarikçisi daha uygundur (kilogramı 1 TL daha ucuz).

Örnek 4 (orta): Doğru orantı

Bir makine sabit hızla 4 saatte 1.200 parça üretiyor. Aynı makine 7 saatte kaç parça üretir?

Çözüm:

Adım 1: Süre artınca üretim de aynı oranda artar; bu doğru orantıdır.

Adım 2: Birim oran: 1.200 ÷ 4 = saatte 300 parça.

Adım 3: 7 saatte: 300 × 7 = 2.100 parça.

Adım 4 (kontrol, içler dışlar): 4/1.200 = 7/x ise 4 × x = 1.200 × 7 = 8.400, x = 8.400 ÷ 4 = 2.100.

Sonuç: 2.100 parça

Örnek 5 (orta): Ters orantı

6 kişilik bir ekip bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 4 kişilik bir ekip bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm:

Adım 1: Kişi sayısı azalınca süre uzar; bu ters orantıdır.

Adım 2: Toplam iş = 6 × 10 = 60 kişi-gün.

Adım 3: 4 kişi için süre = 60 ÷ 4 = 15 gün.

Adım 4 (mantık kontrolü): Daha az kişi çalıştığı için sürenin 10 günden uzun çıkması gerekir; 15 > 10, cevap mantıklı.

Sonuç: 15 gün

Örnek 6 (zor): Verilen orana göre paylaştırma

Üç ortak 40.000 TL kârı 2:3:5 oranında paylaşacak. Her ortak ne kadar alır?

Çözüm:

Adım 1: Toplam parça sayısı: 2 + 3 + 5 = 10 parça.

Adım 2: Bir parçanın değeri: 40.000 ÷ 10 = 4.000 TL.

Adım 3: Birinci ortak: 2 × 4.000 = 8.000 TL.

Adım 4: İkinci ortak: 3 × 4.000 = 12.000 TL.

Adım 5: Üçüncü ortak: 5 × 4.000 = 20.000 TL.

Adım 6 (kontrol): 8.000 + 12.000 + 20.000 = 40.000 TL.

Sonuç: 8.000 TL, 12.000 TL ve 20.000 TL

Örnek 7 (zor): İki değişkenli orantı

Bir depoda 5 işçi 8 saatte 400 koli hazırlıyor. Aynı hızda çalışan 8 işçi 6 saatte kaç koli hazırlar?

Çözüm:

Adım 1: Toplam emek = 5 × 8 = 40 işçi-saat.

Adım 2: 1 işçi-saatte hazırlanan koli: 400 ÷ 40 = 10 koli.

Adım 3: Yeni durumdaki emek = 8 × 6 = 48 işçi-saat.

Adım 4: Hazırlanan koli: 48 × 10 = 480 koli.

Sonuç: 480 koli

Sık yapılan hatalar

• Birimleri eşitlememek: 45 dakika ile 8 saatin oranını 45/8 yazmak yanlıştır. Doğrusu önce 8 saati 480 dakikaya çevirip 45/480 = 3/32 bulmaktır.
• Oranda sırayı karıştırmak: “Kadınların erkeklere oranı” sorulunca 36:24 = 3:2 yazmak yanlıştır. Soruda ilk söylenen önce yazılır: 24:36 = 2:3.
• Ters orantıyı doğru orantı gibi çözmek: 6 kişi 10 günde bitiriyorsa 4 kişi için “10 × 4 ÷ 6 ≈ 6,67 gün” demek yanlıştır; daha az kişi daha kısa sürede bitiremez. Doğrusu 6 × 10 = 60 kişi-gün, 60 ÷ 4 = 15 gündür.
• Toplam fiyata bakıp karar vermek: 180 TL, 210 TL’den düşük diye A’yı ucuz sanmak yanlıştır. Doğrusu birim fiyatlara bakmaktır: A 15 TL/kg, B 14 TL/kg; B daha uygundur.
• Orana göre paylaştırmada toplam parçayı unutmak: 25.000 TL 2:3 oranında paylaşılırken birinciye “2/3’ü” vermek yanlıştır. Toplam parça 2 + 3 = 5’tir; birinci 2/5 × 25.000 = 10.000 TL, ikinci 15.000 TL alır.

Alıştırma

1) 18:27 oranını en sade biçimde yazınız.

2) 2 saatlik bir eğitimin 40 dakikalık bir molaya oranı nedir? (Sade biçimde)

3) 250 ml’lik temizlik ürünü 20 TL, 400 ml’liği 30 TL’dir. Hangisi daha uygundur?

4) 3/5 = x/40 orantısında x kaçtır?

5) Bir yazıcı 3 dakikada 45 sayfa basıyor. 12 dakikada kaç sayfa basar?

6) 8 kişilik bir ekip bir işi 9 günde bitiriyor. 12 kişilik ekip aynı işi kaç günde bitirir?

7) 60 çalışanlı bir firmada tam zamanlı çalışanların yarı zamanlı çalışanlara oranı 3:2’dir. Kaç tam zamanlı çalışan vardır?

8) Bir servis aracı sabit hızla 5 saatte 400 km yol alıyor. 180 km’yi kaç saatte alır?

9) Depodaki erzak 30 kişiye 12 gün yetiyor. Aynı erzak 40 kişiye kaç gün yeter?

10) 4 makine 5 saatte 1.000 parça üretiyor. Aynı hızda çalışan 6 makine 3 saatte kaç parça üretir?

Cevap Anahtarı

• 1) 2:3 — İki sayıyı da EBOB olan 9’a bölün.
• 2) 3:1 — 2 saat = 120 dakika, 120:40 oranını 40’a bölün.
• 3) 400 ml’lik ürün — 100 ml fiyatı 250 ml’likte 8 TL, 400 ml’likte 7,5 TL’dir.
• 4) x = 24 — İçler dışlar çarpımı: 5 × x = 3 × 40 = 120, x = 24.
• 5) 180 sayfa — Dakikada 45 ÷ 3 = 15 sayfa, 15 × 12 = 180.
• 6) 6 gün — Toplam iş 8 × 9 = 72 kişi-gün, 72 ÷ 12 = 6.
• 7) 36 kişi — Toplam parça 5, bir parça 60 ÷ 5 = 12, tam zamanlı 3 × 12 = 36.
• 8) 2,25 saat (2 saat 15 dakika) — Hız 400 ÷ 5 = 80 km/sa, 180 ÷ 80 = 2,25.
• 9) 9 gün — Toplam erzak 30 × 12 = 360 kişi-gün, 360 ÷ 40 = 9.
• 10) 900 parça — 1 makine-saatte 1.000 ÷ 20 = 50 parça, 6 × 3 = 18 makine-saat, 18 × 50 = 900.

Dersin özeti

• Oran, aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır; önce birimler eşitlenir, sıra soruda söylendiği gibi korunur.
• Oranın iki terimi aynı sayıya bölünerek sadeleştirilir; farklı miktarları karşılaştırmak için birim oran (kg başına, saat başına) kullanılır.
• Orantıda a/b = c/d ise a × d = b × c olur; bu, eşitliğin iki tarafını aynı sayıyla çarpmanın sonucudur.
• Doğru orantıda bölüm sabittir (süre artar, üretim artar); ters orantıda çarpım sabittir (işçi artar, süre azalır).
• Her cevabı mantıkla kontrol edin: daha az işçi daha uzun süre, daha uzun çalışma daha fazla üretim demektir.