Katı Cisimler: Yüzey Alanı ve Hacim

Günlük hayattan giriş

Evdeki eşyalara bakınca geometrinin çoğunlukla üç boyutlu olduğunu görürsün. Ayakkabı kutusu bir dikdörtgenler prizmasıdır. Konserve kutusu ve su deposu silindirdir. Dondurma külahı koni, basketbol topu ise küredir. Bu cisimlerle ilgili günlük sorular hep iki türlüdür: Dışını kaplamak için ne kadar malzeme gerekir? ve İçine ne kadar şey sığar?

Bir konserve kutusunun etiketi ve kapakları için gereken sac miktarı yüzey alanı sorusudur. Bu soruda cismin yüzeylerini açıp düz bir kâğıda sererek düşünürüz. Bu açılmış hâle açınım denir. Aynı kutunun kaç mililitre salça aldığı ise hacim sorusudur. Hacim, cismin içini birim küplerle doldurduğumuzda kaç birim küp gerektiğini söyler. Bu yüzden yüzey alanı cm² ile, hacim cm³ ile ölçülür.

TYT'de bu konu genellikle iki kalıpla gelir. Birincisi, içine cisim atılan bir kapta suyun ne kadar yükseldiği sorusudur. İkincisi, bir cismin eritilip başka bir cisme dönüştürülmesidir. İki kalıbın da anahtarı aynıdır: Hacim korunur. Madde eritildiğinde ya da su bir kaptan diğerine aktarıldığında şekil değişir ama miktar değişmez. Bu dersi formül ezberi olarak değil, her formülün nereden geldiğini görerek çalışacağız. Bu kursun son dersi olduğu için sonunda kısa bir kapanış da yapacağız.

Tanım ve kural

Temel fikir (prizma ve silindir): Tabanı ve tavanı eş olan, yan yüzleri dik duran cisimlerde hacim şöyle bulunur: Hacim = Taban alanı × Yükseklik. Nedeni basittir. Tabanı 1 cm kalınlığında bir dilim gibi düşün. Bu dilimden yükseklik kadar üst üste koyarsan cismi elde edersin.

Küp (ayrıt a): Küpün 6 eş kare yüzü vardır. Her yüzün alanı a² olduğundan yüzey alanı 6a² olur. Taban alanı a², yüksekliği a olduğundan hacmi a² × a = a³ olur.

Dikdörtgenler prizması (a, b, c): Karşılıklı yüzler eştir. Bu yüzden ab, ac ve bc alanlı yüzlerden ikişer tane vardır. Yüzey alanı 2(ab + ac + bc) olur. Hacim ise a × b × c olur. Cisim köşegeni √(a² + b² + c²) formülüyle bulunur. Bu formül, Pitagoras bağıntısının iki kez uygulanmasından gelir.

Silindir (yarıçap r, yükseklik h): Silindiri açarsan iki daire ve bir dikdörtgen elde edersin. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik (h) olur. Diğer kenarı, dairenin etrafına sarıldığı için daire çevresine eşittir: 2πr. Buna göre:

Yanal alan = 2πr × h = 2πrh

Toplam yüzey alanı = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Hacim = Taban alanı × yükseklik = πr²h

Koni (yarıçap r, yükseklik h, ana doğru ℓ): Tepeden taban çemberine uzanan eğik kenara ana doğru denir. Yükseklik, yarıçap ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur. Bu yüzden ℓ² = r² + h² olur. Koninin yan yüzeyi açılınca yarıçapı ℓ olan bir daire dilimi çıkar. Bu dilimin yay uzunluğu taban çevresine, yani 2πr'ye eşittir. Daire diliminin alanı (1/2) × yarıçap × yay uzunluğu olduğundan:

Yanal alan = (1/2) × ℓ × 2πr = πrℓ

Toplam yüzey alanı = πr² + πrℓ

Hacim = (1/3)πr²h. Aynı taban ve aynı yükseklikteki bir silindiri su dolu koniyle doldurmaya çalışırsan tam 3 koni su gerekir. Koni ucu daraldığı için silindirin ancak üçte biri kadardır.

Küre (yarıçap r): Arşimet şunu göstermiştir: Küreyi tam içine alan silindirin yarıçapı r, yüksekliği 2r'dir. Kürenin hacmi bu silindirin hacminin 2/3'üdür. Silindirin hacmi πr² × 2r = 2πr³ olduğundan kürenin hacmi (2/3) × 2πr³ = (4/3)πr³ olur. Kürenin yüzey alanı, aynı yarıçaplı 4 dairenin alanına eşittir: 4πr².

Benzerlik kuralı: Bir cismin bütün uzunlukları k katına çıkarsa yüzey alanı k² katına, hacmi k³ katına çıkar. Çünkü alan iki uzunluğun, hacim ise üç uzunluğun çarpımıdır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Yüzey alanı 150 cm² olan küpün hacmi kaç cm³'tür?

Çözüm:

1. Yüzey alanı 6a² olduğundan 6a² = 150 yazılır.

2. Her iki taraf 6'ya bölünür: a² = 25.

3. Buradan a = 5 cm bulunur.

4. Hacim a³ = 5 × 5 × 5 = 125 olur.

Sonuç: 125 cm³

Örnek 2: Boyutları 3 cm, 4 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini, yüzey alanını ve cisim köşegenini bulunuz.

Çözüm:

1. Hacim = 3 × 4 × 12 = 144 cm³.

2. Yüz alanları: 3 × 4 = 12, 3 × 12 = 36, 4 × 12 = 48.

3. Yüzey alanı = 2(12 + 36 + 48) = 2 × 96 = 192 cm².

4. Köşegen = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm.

Sonuç: Hacim 144 cm³, yüzey alanı 192 cm², köşegen 13 cm

Örnek 3: Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 5 cm olan silindirin hacmini ve toplam yüzey alanını bulunuz.

Çözüm:

1. Hacim = πr²h = π × 9 × 5 = 45π cm³.

2. İki taban alanı = 2 × π × 3² = 18π cm².

3. Yanal alan = 2πrh = 2 × π × 3 × 5 = 30π cm².

4. Toplam yüzey alanı = 18π + 30π = 48π cm².

Sonuç: Hacim 45π cm³, yüzey alanı 48π cm²

Örnek 4: Taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan koninin toplam yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

Çözüm:

1. Ana doğru: ℓ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, buradan ℓ = 13 cm.

2. Yanal alan = πrℓ = π × 5 × 13 = 65π cm².

3. Taban alanı = π × 5² = 25π cm².

4. Toplam yüzey alanı = 65π + 25π = 90π cm².

5. Hacim = (1/3) × π × 25 × 12 = (1/3) × 300π = 100π cm³.

Sonuç: Yüzey alanı 90π cm², hacim 100π cm³

Örnek 5: Çapı 12 cm olan kürenin yüzey alanını ve hacmini bulunuz.

Çözüm:

1. Formüller yarıçapla çalışır: r = 12 ÷ 2 = 6 cm.

2. Yüzey alanı = 4πr² = 4 × π × 36 = 144π cm².

3. r³ = 6 × 6 × 6 = 216.

4. Hacim = (4/3) × π × 216 = 4 × 72π = 288π cm³.

Sonuç: Yüzey alanı 144π cm², hacim 288π cm³

Örnek 6 (su yükselmesi): Taban yarıçapı 6 cm olan silindir biçimli bir kapta 10 cm yüksekliğinde su vardır. Kaba yarıçapı 3 cm olan metal bir bilye atılıyor ve bilye suya tamamen batıyor. Su taşmadığına göre su seviyesi kaç cm yükselir?

Çözüm:

1. Batan bilye kendi hacmi kadar suyu yukarı iter.

2. Bilyenin hacmi = (4/3) × π × 3³ = (4/3) × 27π = 36π cm³.

3. Kabın taban alanı = π × 6² = 36π cm².

4. Yükselen su bir silindir dilimidir: 36π × x = 36π.

5. Buradan x = 1 cm bulunur.

Sonuç: Su seviyesi 1 cm yükselir.

Örnek 7 (eritme): Yarıçapı 6 cm olan metal küre eritiliyor. Bu metalden, madde kaybı olmadan, yarıçapı 2 cm olan kaç küre yapılabilir?

Çözüm:

1. Büyük kürenin hacmi = (4/3)π × 216 = 288π cm³.

2. Küçük kürenin hacmi = (4/3)π × 8 = (32/3)π cm³.

3. Adet = 288π ÷ (32/3)π = 288 × 3 ÷ 32 = 864 ÷ 32 = 27.

4. Kısa yol: Yarıçap oranı 6 ÷ 2 = 3 olduğundan hacim oranı 3³ = 27 olur.

Sonuç: 27 küre

Sık yapılan hatalar

• Konide 1/3'ü unutmak: r = 3, h = 4 olan koni için hacmi π × 9 × 4 = 36π yazmak yanlıştır. Doğrusu (1/3) × 36π = 12π olur.
• Yanal alanda yükseklik kullanmak: Aynı koni için yanal alanı π × 3 × 4 = 12π yazmak yanlıştır. Ana doğru ℓ = √(9 + 16) = 5 olduğundan doğrusu π × 3 × 5 = 15π olur.
• Çapı yarıçap sanmak: Çapı 6 cm olan kürenin hacmini (4/3)π × 216 = 288π yazmak yanlıştır. r = 3 alınmalıdır. Doğrusu (4/3)π × 27 = 36π olur.
• Silindirde bir tabanı unutmak: r = 2, h = 5 olan kapalı silindirin yüzey alanını 4π + 20π = 24π yazmak yanlıştır. İki taban vardır. Doğrusu 8π + 20π = 28π olur. Soruda "üstü açık kap" deniyorsa tek taban alınır.
• Hacmi uzunlukla aynı oranda büyütmek: Ayrıtı 2 katına çıkan küpün hacmi 2 katına çıkmaz. Doğrusu 2³ = 8 katına çıkar.

Alıştırma

TYT taktikleri: Bu konudan gelen sorular çoğunlukla tek formül ve bir iki işlem ister. Hedef süre soru başına yaklaşık 1–1,5 dakikadır. Şıkları elerken şunlara dikkat et:

• Hacim sorusunda birimin cm³ olduğundan emin ol.
• Eritme ve su aktarma sorularında π genellikle iki taraftan sadeleşir. Sonuç π'siz çıkıyorsa bu normaldir.
• Benzer cisimlerde oran sorulduysa hemen k² ya da k³ kullan. Uzun hesaba girme.
• Koni sonucu, aynı ölçülü silindirin tam üçte biri olmalıdır. Bu, hızlı bir kontroldür.

1. Ayrıtı 3 cm olan küpün yüzey alanı kaç cm²'dir?

2. Boyutları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaç cm'dir?

3. Taban yarıçapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmi kaç cm³'tür?

4. Taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 7 cm olan silindirin toplam yüzey alanı kaç cm²'dir?

5. Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 4 cm olan koninin toplam yüzey alanı kaç cm²'dir?

6. Yarıçapı 5 cm olan kürenin yüzey alanı kaç cm²'dir?

7. Taban boyutları 10 cm ve 20 cm olan dikdörtgenler prizması biçimli kapta 5 cm yüksekliğinde su vardır. Kaba 600 cm³ su eklenirse su yüksekliği kaç cm olur?

8. Taban yarıçapı 4 cm, yüksekliği 9 cm olan koni biçimli kap su doludur. Bu su, taban yarıçapı 4 cm olan silindir biçimli boş kaba dökülüyor. Silindirdeki su yüksekliği kaç cm olur?

9. Yarıçapı 4 cm olan metal küre eritilerek yarıçapı 1 cm olan kaç küre yapılabilir?

10. Hacmi 10π cm³ olan bir kürenin yarıçapı 2 katına çıkarılırsa yeni kürenin hacmi kaç cm³ olur?

Cevap Anahtarı

• 1. 54 cm²: 6 × 3² = 6 × 9 = 54.
• 2. 7 cm: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
• 3. 160π cm³: π × 16 × 10 = 160π.
• 4. 120π cm²: 2π × 5 × (5 + 7) = 120π.
• 5. 24π cm²: ℓ = 5 olduğundan 9π + π × 3 × 5 = 9π + 15π = 24π.
• 6. 100π cm²: 4 × π × 25 = 100π.
• 7. 8 cm: Taban alanı 200 cm² olduğundan artış 600 ÷ 200 = 3 cm, yeni yükseklik 5 + 3 = 8 cm.
• 8. 3 cm: Koninin hacmi (1/3) × π × 16 × 9 = 48π, silindirde 16π × H = 48π olduğundan H = 3.
• 9. 64 küre: Yarıçap oranı 4 olduğundan hacim oranı 4³ = 64.
• 10. 80π cm³: Yarıçap 2 katına çıkınca hacim 2³ = 8 katına çıkar, 10π × 8 = 80π.

Dersin özeti

• Prizma ve silindirde hacim = taban alanı × yükseklik. Koni ise aynı taban ve yükseklikteki silindirin üçte biridir.
• Yüzey alanını açınımla düşün: silindir 2 daire ve bir dikdörtgendir. Koninin yan yüzü, yarıçapı ℓ olan bir daire dilimidir ve alanı πrℓ'dir.
• Kürede yüzey alanı 4πr², hacim (4/3)πr³'tür. Formüllere her zaman yarıçapı koy.
• Su yükselmesi ve eritme sorularında hacim korunur. Benzer cisimlerde uzunluk k katına çıkınca alan k², hacim k³ katına çıkar.
• Kurs kapanışı: Üçgenlerde açı ve kenar bağıntılarıyla başladık. Ardından çokgenleri, çemberi ve alanları çalıştık. Bu derste de alanları üçüncü boyuta taşıdık. Hepsinin ortak fikri şudur: Karmaşık bir şekli, bildiğin basit parçalara ayır. Soru çözerken önce çizim yap, verilenleri üzerine yaz, sonra formülü seç. Bu alışkanlık TYT geometrisinde en güçlü silahındır.