Çember ve Daire

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derslerde üçgenlerde ve çokgenlerde açı, kenar ve alan hesaplarını çalıştık. Çokgenlerin hepsi düz kenarlardan oluşuyordu. Bu derste kenarı olmayan, tamamen eğri bir şekle geçiyoruz: çember ve daire. Burada öğreneceğin çevre ve alan formülleri, bir sonraki ve son derste silindir, koni ve küre gibi katı cisimlerin alan ve hacim hesaplarının temelini oluşturacak.

Günlük hayattan giriş

Bir bisiklet tekerleği bir tam tur döndüğünde bisiklet, tekerleğin çevresi kadar yol alır. Tekerleğin yarıçapını biliyorsan, pedalı çevirmeden kaç metre gideceğini hesaplayabilirsin. İşte bu, çemberin uzunluğu (çevresi) sorusudur. Duvar saatinde de aynı fikir var: yelkovan 15 dakikada tam turun dörtte birini, yani 90°'lik bir yay çizer. Yelkovanın ucunun aldığı yol, tam çevrenin dörtte biridir.

Yuvarlak bir pizzayı düşün. Pizzanın tamamı bir dairedir; üzerindeki kenar çizgisi ise çemberdir. Pizzayı merkezden 8 eşit dilime ayırırsan her dilim 360° ÷ 8 = 45°'lik bir daire dilimi olur ve alanı bütün pizzanın 1/8'idir. Bahçedeki döner fıskiye de sadece belli bir açıyla dönüyorsa, suladığı bölge yine bir daire dilimidir.

Özetle: çember bir çizgidir (uzunluğu ölçülür), daire ise o çizginin içini de kapsayan bölgedir (alanı ölçülür). TYT sorularında bu iki kavramı karıştırmamak puan kaybını önler.

Tanım ve kural

Çember: Bir noktaya (merkez, O) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu sabit uzaklığa yarıçap (r) denir. Merkezden geçen ve iki ucu çember üzerinde olan kiriş çaptır; çap = 2r.

Merkez açı: Köşesi merkezde olan açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Bunun nedeni basittir: yayı derece cinsinden ölçmeyi zaten merkez açıya göre tanımlarız. Tam çember 360°'dir.

Çevre açı: Köşesi çember üzerinde, kolları kiriş olan açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Neden yarısı? En basit durumu düşünelim: C çember üzerinde, CA kirişi ve C'den geçen çap CD olsun. OA ve OC ikisi de yarıçap olduğu için OAC üçgeni ikizkenardır; A ve C'deki taban açıları eşittir, ikisine de x diyelim. AOD açısı, OAC üçgeninin dış açısıdır ve dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: x + x = 2x. Yani merkez açı 2x iken aynı yayı gören çevre açı x'tir. Buradan önemli bir sonuç çıkar: çapı gören çevre açı 180° ÷ 2 = 90°'dir.

Teğet: Çembere tek noktada değen doğrudur. Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Nedeni: merkezden teğet doğrusuna olan en kısa mesafe, değme noktasına olan mesafedir (doğrunun diğer tüm noktaları çemberin dışındadır, merkeze daha uzaktır). Bir noktadan doğruya en kısa yol ise dik inen yoldur.

Dıştan çizilen teğetler: Çemberin dışındaki bir P noktasından çizilen iki teğet parçası eşit uzunluktadır (PA = PB). Çünkü OAP ve OBP dik üçgenlerinde OA = OB = r ve OP ortaktır; Pitagoras'tan PA = PB çıkar.

Teğet-kiriş açısı: Köşesi değme noktasında, bir kolu teğet diğeri kiriş olan açıdır; o da çevre açı gibi gördüğü yayın yarısıdır.

Uzunluk ve alan formülleri: Bir çemberin çevresinin çapına oranı her çemberde aynıdır ve bu sabite π denir. Bu yüzden çevre = π × çap = 2πr olur. Dairenin alanı πr²'dir. Yay ve dilim ise tam çemberin/dairenin bir parçası olduğundan, formülü α/360 oranıyla çarparız: 90°'lik dilim tam dairenin 90/360 = 1/4'üdür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin çevresi ve alanı kaçtır?

Çözüm:

Çevre = 2πr = 2 × π × 5 = 10π

Alan = πr² = π × 5² = π × 25 = 25π

Çevre 10π cm, alan 25π cm²'dir.

Örnek 2 (kolay)

O merkezli çemberde AOB merkez açısı 80°'dir. Aynı AB yayını gören ACB çevre açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Merkez açı, gördüğü yaya eşittir: AB yayı = 80°.

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: 80° ÷ 2 = 40°.

ACB = 40°

Örnek 3 (orta)

Yarıçapı 6 cm olan bir dairede merkez açısı 60° olan daire diliminin yay uzunluğu ve alanı kaçtır?

Çözüm:

Oran: 60/360 = 1/6 (dilim, dairenin altıda biri).

Tam çevre: 2π × 6 = 12π. Yay uzunluğu: 12π × 1/6 = 2π.

Tam alan: π × 6² = 36π. Dilim alanı: 36π × 1/6 = 6π.

Kontrol (ℓ × r ÷ 2): 2π × 6 ÷ 2 = 6π. Tutuyor.

Yay uzunluğu 2π cm, dilim alanı 6π cm²'dir.

Örnek 4 (orta)

O merkezli, yarıçapı 5 cm olan çembere dışındaki P noktasından çizilen teğet, çembere A noktasında değiyor. OP = 13 cm ise PA kaç cm'dir?

Çözüm:

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir: OA ⊥ PA, yani OAP dik üçgen ve hipotenüs OP'dir.

Pitagoras: PA² + OA² = OP² → PA² + 25 = 169.

PA² = 169 − 25 = 144 → PA = √144 = 12.

PA = 12 cm

Örnek 5 (orta-zor)

[AB] bir dairenin çapıdır. C noktası çember üzerindedir; AC = 6 cm ve BC = 8 cm'dir. Dairenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

ACB açısı çapı gören çevre açıdır, yani 90°'dir. ACB dik üçgen, hipotenüs AB'dir.

AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → AB = 10.

Çap 10 ise yarıçap r = 10 ÷ 2 = 5.

Alan = π × 5² = 25π.

Dairenin alanı 25π cm²'dir.

Örnek 6 (zor, yay uzunluğundan dilim alanı)

Yarıçapı 6 cm olan bir daire diliminin yay uzunluğu 4π cm'dir. Bu dilimin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Kısa yol: Dilim alanı = ℓ × r ÷ 2 = 4π × 6 ÷ 2 = 12π.

Uzun yolla kontrol: 2π × 6 × α/360 = 4π → 12π × α/360 = 4π → α/360 = 1/3 → α = 120°.

Alan = 36π × 1/3 = 12π. İki yol aynı sonucu verdi.

Dilim alanı 12π cm²'dir.

Örnek 7 (TYT tipi, şık eleme)

Bir kenarı 4 cm olan karenin içine, karenin dört kenarına da teğet bir daire çiziliyor. Karenin içinde kalıp dairenin dışında kalan bölgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 4π − 16   B) 16 − 16π   C) 16 − 4π   D) 8 − π   E) 16 − 2π

Çözüm:

Daire dört kenara teğet olduğundan çapı karenin kenarına eşittir: çap = 4, r = 2.

Kare alanı: 4 × 4 = 16. Daire alanı: π × 2² = 4π.

İstenen bölge: 16 − 4π.

Şık eleme ile kontrol: π ≈ 3,14 alırsak 4π ≈ 12,56 ve 16 − 4π ≈ 3,44. A şıkkı negatiftir (≈ −3,44), B şıkkı da negatiftir; alan negatif olamaz, ikisi de elenir. E şıkkı ≈ 9,72 olur; bu, karenin yarısından fazladır, oysa dairenin kareyi büyük ölçüde doldurduğu şekilden açıkça görülür.

Cevap: C) 16 − 4π

TYT'de soru tipi, süre ve şık eleme taktikleri

• Soru tipleri: Çevre açı-merkez açı ilişkisi, çapı gören 90° açıdan Pitagoras, teğet-yarıçap dikliği, yay uzunluğu ve dilim alanı, kare/üçgen içinde boyalı alan.
• Süre: Bu soruların çoğu tek bir kuralla çözülür; 1-1,5 dakikayı hedefle. Uzuyorsa şekilde gizli bir yarıçap ya da çap arıyorsundur: merkezden her noktaya çizilen parça r'dir.
• Negatif eleme: Boyalı alan cevaplarında π ≈ 3,14 koyup işaretine bak; negatif çıkan şık hemen elenir.
• Boyut eleme: Alan cevabında r² ile π birlikte olmalıdır; uzunluk cevabında r² olmaz. Yarıçap 6 iken uzunluk sorusunda 36π görüyorsan o şık şüphelidir.
• Büyüklük eleme: Dilim alanı tüm daireden, yay uzunluğu tüm çevreden büyük olamaz. 60°'lik dilim, dairenin 1/6'sı civarında olmalıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Merkez açı 80° ise aynı yayı gören çevre açı da 80°'dir. Doğrusu: Çevre açı yayın yarısıdır: 40°.
• Yanlış: Çapı 10 olan dairenin alanı π × 10² = 100π. Doğrusu: Formüle yarıçap girer: r = 5, alan 25π.
• Yanlış: r = 6, 60°'lik yay uzunluğu = 36π × 1/6 = 6π. Doğrusu: Yay bir uzunluktur, çevreden hesaplanır: 12π × 1/6 = 2π. (6π, dilimin alanıdır.)
• Yanlış: OP = 13, r = 5 için teğet uzunluğu 13 − 5 = 8. Doğrusu: Teğet yarıçapa dik olduğundan Pitagoras kullanılır: √(169 − 25) = 12.
• Yanlış: Şıklar π'li iken π yerine 3 koyup cevabı sayı olarak aramak. Doğrusu: π'yi sembol olarak bırak; yaklaşık değeri yalnızca şık elemek için kullan.

Alıştırma

1) Yarıçapı 7 cm olan çemberin uzunluğu kaç cm'dir?

2) Çapı 12 cm olan dairenin alanı kaç cm²'dir?

3) Bir çevre açı 35°'dir. Gördüğü yayın ölçüsü kaç derecedir?

4) O merkezli çemberde A ve B çember üzerindedir ve AOB = 100°'dir. OAB açısı kaç derecedir?

5) Yarıçapı 9 cm olan dairede merkez açısı 40° olan yayın uzunluğu kaç cm'dir?

6) Yarıçapı 4 cm olan dairede 90°'lik daire diliminin alanı kaç cm²'dir?

7) Yarıçapı 8 cm olan çembere dıştaki P noktasından çizilen teğet A'da değiyor. OP = 17 cm ise PA kaç cm'dir?

8) [AB] çap, AB = 10 cm, C çember üzerinde ve AC = 6 cm'dir. BC kaç cm'dir?

9) Dıştaki P noktasından çizilen teğet parçaları PA = x + 3 ve PB = 2x − 1 ise PA kaç birimdir?

10) Kenarı 6 cm olan karenin içine dört kenara teğet daire çiziliyor. Kare içinde, daire dışında kalan alan kaç cm²'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) 14π cm — 2 × π × 7 = 14π.
• 2) 36π cm² — Çap 12 ise r = 6, alan π × 36.
• 3) 70° — Çevre açı yayın yarısı olduğundan yay 35° × 2'dir.
• 4) 40° — OA = OB olduğundan üçgen ikizkenardır: (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.
• 5) 2π cm — Çevre 18π, oran 40/360 = 1/9, 18π × 1/9 = 2π.
• 6) 4π cm² — Tam alan 16π, 90°'lik dilim bunun 1/4'ü.
• 7) 15 cm — Teğet yarıçapa dik: √(289 − 64) = √225 = 15.
• 8) 8 cm — Çapı gören açı 90° olduğundan BC = √(100 − 36) = √64.
• 9) 7 — Teğet parçaları eşit: x + 3 = 2x − 1 → x = 4, PA = 4 + 3.
• 10) 36 − 9π cm² — r = 3, kare alanı 36'dan daire alanı 9π çıkarılır.

Dersin özeti

• Merkez açı gördüğü yaya eşittir; çevre açı ve teğet-kiriş açısı gördüğü yayın yarısıdır. Çapı gören çevre açı her zaman 90°'dir.
• Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; bu diklik genellikle bir Pitagoras sorusuna kapı açar. Dıştaki bir noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir.
• Çember uzunluğu 2πr, daire alanı πr²'dir; yay ve dilim için bu değerler α/360 oranıyla çarpılır. Dilim alanı ℓ × r ÷ 2 ile de bulunur.
• TYT'de π'li şıklarda π ≈ 3,14 ile negatif ve mantıksız büyüklükteki şıkları ele; formüle çap değil yarıçap koyduğunu kontrol et.
• Bir sonraki derste bu formülleri silindir, koni ve küre gibi cisimlerin yüzey alanı ve hacim hesaplarında kullanacağız.