Üçgende Alan ve Özel Doğrular

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde üçgenin kenarları, açıları ve dik üçgendeki bağıntılar üzerinde çalıştık. Bu derste o bilgileri alana taşıyoruz: bir üçgenin içini ne kadar yer kapladığını hesaplayacak, alanı parçalara bölerek zor görünen soruları kolaylaştıracağız. Burada öğrendiğin "aynı yükseklik, taban oranı" fikri bir sonraki derste çokgenlerin alanını hesaplarken en büyük yardımcın olacak.

Günlük hayattan giriş

Bir bahçenin köşesinde üçgen biçiminde bir çim alanı olduğunu düşün. Kaç metrekare çim tohumu alacağını bilmek için bu üçgenin alanını hesaplaman gerekir. Benzer şekilde üçgen biçimli bir yelken bezi dikilecekse ya da çatının üçgen biçimli alın duvarı boyanacaksa, ne kadar kumaş ya da boya gerektiğini alan hesabı söyler.

Arsa paylaşımı da güzel bir örnektir. Üçgen biçimli bir arsayı bir köşesinden karşı kenara çekilen bir çitle iki kişiye bölmek istediğini düşün. Çiti karşı kenarın tam ortasına çekersen iki parçanın alanı eşit olur mu? Köşedeki açıyı ikiye bölen bir çit çekersen ne olur? Bu dersin sonunda bu soruları hesap yapmadan, sadece mantıkla cevaplayabileceksin.

TYT geometri sorularında alan sorularının çoğu uzun hesap istemez. Asıl beceri, şeklin içinde aynı yüksekliği paylaşan üçgenleri görmek ve oranı doğru kurmaktır. Bu yüzden formülü ezberlemek yetmez; formülün neden öyle olduğunu anlamak gerekir.

Tanım ve kural

Üçgenin alanı = taban × yükseklik ÷ 2

Burada yükseklik, tabanın karşısındaki köşeden tabana (ya da tabanın uzantısına) inen dik doğru parçasının uzunluğudur. Yükseklik her zaman tabana 90° açı yapar; üçgenin eğik bir kenarı yükseklik değildir.

Neden ÷ 2? Önce dik üçgeni düşün. Kenarları a ve b olan bir dikdörtgeni köşegeninden kesersen birbirinin aynısı iki dik üçgen elde edersin. Dikdörtgenin alanı a × b olduğuna göre her dik üçgenin alanı a × b ÷ 2 olur.

Şimdi herhangi bir üçgeni düşün. A köşesinden BC tabanına yükseklik indir; ayağı H olsun. Yükseklik üçgeni ABH ve AHC adlı iki dik üçgene ayırır. Bunların alanları BH × h ÷ 2 ve HC × h ÷ 2 olur. Topladığımızda (BH + HC) × h ÷ 2 = BC × h ÷ 2 elde ederiz. Geniş açılı üçgende yükseklik şeklin dışına düşer; bu kez büyük dik üçgenden küçük dik üçgeni çıkarırız ve yine aynı formüle ulaşırız. Yani formül her üçgende geçerlidir.

Önemli sonuç 1 – Aynı yükseklik: İki üçgenin yükseklikleri eşitse alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. Çünkü alan formülünde h ve ÷ 2 ortaktır; geriye sadece taban kalır. Örneğin D noktası BC üzerindeyse ABD ve ADC üçgenleri A'dan inen aynı yüksekliği paylaşır, dolayısıyla Alan(ABD) : Alan(ADC) = BD : DC olur.

Önemli sonuç 2 – Kenarortay: Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler. Tabanlar eşit, yükseklik ortak olduğundan kenarortay üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır. Üç kenarortay birlikte çizildiğinde ağırlık merkezi G'de kesişir ve üçgeni alanları eşit 6 küçük üçgene böler. Bu yüzden GBC, GAB ve GAC üçgenlerinin her biri tüm alanın 1/3'üdür.

Önemli sonuç 3 – Açıortay: A açısının iç açıortayı BC'yi D noktasında kessin. Açıortay teoremine göre BD : DC = AB : AC olur. ABD ve ADC aynı yüksekliği paylaştığından Alan(ABD) : Alan(ADC) = AB : AC olur. Bunu başka bir yoldan da görebilirsin: açıortay üzerindeki her nokta açının iki kenarına eşit uzaklıktadır. D noktasının AB'ye ve AC'ye uzaklığı aynı olduğu için, bu uzaklığı yükseklik olarak kullanınca alanlar AB ve AC ile orantılı çıkar. Dikkat: açıortay alanı genelde ikiye bölmez; sadece AB = AC ise böler.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Tabanı 10 cm, bu tabana ait yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Alan = taban × yükseklik ÷ 2

Alan = 10 × 6 ÷ 2

Alan = 60 ÷ 2 = 30

Cevap: 30 cm²

Örnek 2

Dik kenarları 8 cm ve 15 cm olan dik üçgenin alanını ve hipotenüse ait yüksekliğini bulunuz.

Çözüm:

Dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olur: Alan = 8 × 15 ÷ 2 = 60 cm².

Hipotenüs: 8² + 15² = 64 + 225 = 289, √289 = 17 cm.

Aynı alanı hipotenüsü taban alarak yazalım: 17 × h ÷ 2 = 60.

17 × h = 120, buradan h = 120/17 cm.

Cevap: Alan 60 cm², hipotenüse ait yükseklik 120/17 cm

Örnek 3

ABC üçgeninde BC = 12 cm ve A'dan BC'ye inen yükseklik 8 cm'dir. AB = 16 cm olduğuna göre C köşesinden AB'ye inen yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm:

Bir üçgenin alanı tektir; hangi tabanı seçersek seçelim sonuç aynıdır.

BC tabanıyla: Alan = 12 × 8 ÷ 2 = 48 cm².

AB tabanıyla: 16 × h ÷ 2 = 48, yani 8 × h = 48.

h = 6 cm.

Cevap: 6 cm

Örnek 4

ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. BD = 3 cm, DC = 5 cm ve ABC üçgeninin alanı 40 cm²'dir. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları kaçtır?

Çözüm:

ABD ve ADC üçgenleri A'dan inen aynı yüksekliği paylaşır.

Alanların oranı tabanların oranıdır: 3 : 5.

Toplam 3 + 5 = 8 parça, 40 ÷ 8 = 5 cm² bir parça.

Alan(ABD) = 3 × 5 = 15 cm², Alan(ADC) = 5 × 5 = 25 cm².

Kontrol: 15 + 25 = 40 ✓

Cevap: Alan(ABD) = 15 cm², Alan(ADC) = 25 cm²

Örnek 5

ABC üçgeninin alanı 54 cm²'dir. G noktası üçgenin ağırlık merkezi olduğuna göre AGB üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Üç kenarortay üçgeni alanları eşit 6 küçük üçgene böler.

Bir küçük üçgenin alanı: 54 ÷ 6 = 9 cm².

AGB üçgeni bu küçük üçgenlerden 2 tanesini içerir.

Alan(AGB) = 2 × 9 = 18 cm² (yani tüm alanın 1/3'ü).

Cevap: 18 cm²

Örnek 6

ABC üçgeninde AB = 6 cm, AC = 9 cm ve [AD], A açısının iç açıortayıdır (D, BC üzerinde). ABC üçgeninin alanı 45 cm² ise ABD üçgeninin alanı kaçtır?

Çözüm:

Açıortay teoremi: BD : DC = AB : AC = 6 : 9 = 2 : 3.

ABD ve ADC aynı yüksekliği paylaştığından alan oranı da 2 : 3 olur.

Toplam 5 parça, 45 ÷ 5 = 9 cm² bir parça.

Alan(ABD) = 2 × 9 = 18 cm², Alan(ADC) = 3 × 9 = 27 cm².

Kontrol: 18 + 27 = 45 ✓

Cevap: 18 cm²

Örnek 7 (Parçalara bölme taktiği)

ABC üçgeninin alanı 60 cm²'dir. D noktası BC üzerinde ve BD : DC = 1 : 2'dir. E noktası [AD]'nin orta noktasıdır. EBD ve BEC üçgenlerinin alanlarını bulunuz.

Çözüm:

1. adım: A'dan inen yükseklik ortak olduğundan Alan(ABD) : Alan(ADC) = 1 : 2.

60 ÷ 3 = 20, yani Alan(ABD) = 20 cm², Alan(ADC) = 40 cm².

2. adım: ABD üçgeninde BE doğrusu çizilmiştir. ABE ve EBD üçgenleri B'den AD'ye inen aynı yüksekliği paylaşır ve AE = ED'dir.

Bu yüzden Alan(EBD) = 20 ÷ 2 = 10 cm².

3. adım: Aynı mantıkla ADC üçgeninde CE çizilir; AE = ED olduğundan Alan(EDC) = 40 ÷ 2 = 20 cm².

4. adım: BEC üçgeni, EBD ve EDC üçgenlerinin birleşimidir: 10 + 20 = 30 cm².

Sağlama: E, AD'nin ortası olduğundan E'nin BC'ye uzaklığı A'nın BC'ye uzaklığının yarısıdır. Taban aynı (BC), yükseklik yarısı; o hâlde Alan(BEC) = 60 ÷ 2 = 30 cm² ✓

Cevap: Alan(EBD) = 10 cm², Alan(BEC) = 30 cm²

Sık yapılan hatalar

• Eğik kenarı yükseklik sanmak. Yanlış: Kenarları 6 ve 8 olan her üçgenin alanı 6 × 8 ÷ 2 = 24'tür. Doğrusu: Bu sadece 6 ve 8 birbirine dik kenarlarsa (dik üçgen) doğrudur. Yükseklik, tabana 90° açıyla iner.
• ÷ 2'yi unutmak. Yanlış: Taban 10, yükseklik 6 ise alan 60'tır. Doğrusu: 60, dikdörtgenin alanıdır; üçgenin alanı 60 ÷ 2 = 30'dur.
• Parça oranını tüm alana yanlış uygulamak. Yanlış: BD : DC = 3 : 5 ise Alan(ABD) tüm alanın 3/5'idir. Doğrusu: Toplam parça 3 + 5 = 8'dir; Alan(ABD) tüm alanın 3/8'idir.
• Açıortay alanı ikiye böler sanmak. Yanlış: [AD] açıortay ise Alan(ABD) = Alan(ADC). Doğrusu: Alanlar AB : AC oranındadır. Alanı ikiye bölen kenarortaydır.
• Ağırlık merkezinde parçaları karıştırmak. Yanlış: G ağırlık merkezi ise Alan(GBC) tüm alanın 1/6'sıdır. Doğrusu: GBC iki küçük parçadan oluşur, tüm alanın 2/6 = 1/3'üdür.

TYT taktikleri: soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipi: TYT'de bu konu çoğunlukla "şekildeki taralı alan kaçtır" ya da "alanlar oranı kaçtır" biçiminde gelir. Bir kenar üzerinde nokta, kenarortay, açıortay veya ağırlık merkezi verilir.
• Süre: Bu tip bir soruyu 1–1,5 dakikada bitirmeyi hedefle. Uzun işlem yapıyorsan büyük ihtimalle ortak yüksekliği gözden kaçırmışsındır.
• İlk bakış: Şekilde "hangi üçgenler aynı köşeden, aynı doğru üzerine iniyor?" diye sor. Aynı köşe + aynı doğru = ortak yükseklik.
• Şık eleme 1: Parçanın alanı tüm üçgenin alanından büyük olamaz; böyle şıkları hemen ele.
• Şık eleme 2: Parçaları bulduysan toplamlarının tüm alana eşit olduğunu kontrol et. Tutmuyorsa oran kurarken hata vardır.
• Şık eleme 3: Kenarortay varsa iki parça eşit, açıortay varsa büyük kenar tarafındaki parça büyük olmalıdır. Bu yön kontrolü, ters oran kurulmuş tuzak şıkları eler.

Alıştırma

1) Tabanı 14 cm, yüksekliği 9 cm olan üçgenin alanı kaç cm²'dir?

2) Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin alanı kaç cm²'dir?

3) Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?

4) ABC üçgeninde BC = 10 cm, A'dan BC'ye inen yükseklik 12 cm ve AC = 15 cm'dir. B'den AC'ye inen yükseklik kaç cm'dir?

5) ABC üçgeninde D, BC üzerindedir. BD = 4 cm, DC = 6 cm ve ABD üçgeninin alanı 18 cm² ise ABC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

6) ABC üçgeninde [AD] kenarortaydır ve ABC'nin alanı 50 cm²'dir. ABD üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

7) ABC üçgeninin alanı 72 cm² ve G ağırlık merkezidir. AGC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

8) ABC üçgeninde AB = 8 cm, AC = 12 cm, [AD] A açısının iç açıortayı ve ABC'nin alanı 60 cm²'dir. ABD üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

9) ABC üçgeninin alanı 48 cm²'dir. D, BC üzerinde ve BD : DC = 1 : 3'tür. E noktası [AD]'nin orta noktası ise EDC üçgeninin alanı kaç cm²'dir?

10) Bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) 63 cm² — 14 × 9 = 126, 126 ÷ 2 = 63.
• 2) 24 cm² — Dik kenarlar taban ve yükseklik olur: 6 × 8 ÷ 2 = 24.
• 3) 4,8 cm — Hipotenüs 10 cm; 10 × h ÷ 2 = 24 olduğundan h = 48/10 = 4,8.
• 4) 8 cm — Alan 10 × 12 ÷ 2 = 60; 15 × h ÷ 2 = 60 olduğundan h = 120/15 = 8.
• 5) 45 cm² — Alanlar 4 : 6 oranında, bir parça 18 ÷ 4 = 4,5; toplam 10 parça 45 eder.
• 6) 25 cm² — Kenarortay alanı iki eşit parçaya böler: 50 ÷ 2 = 25.
• 7) 24 cm² — AGC tüm alanın 1/3'üdür: 72 ÷ 3 = 24.
• 8) 24 cm² — Alanlar 8 : 12 = 2 : 3 oranında, bir parça 60 ÷ 5 = 12, ABD = 2 × 12 = 24.
• 9) 18 cm² — ADC = 48 × 3/4 = 36 ve E, AD'nin ortası olduğundan EDC = 36 ÷ 2 = 18.
• 10) 9√3 cm² — Yükseklik √(6² − 3²) = √27 = 3√3; alan 6 × 3√3 ÷ 2 = 9√3.

Dersin özeti

• Üçgenin alanı taban × yükseklik ÷ 2'dir; çünkü her üçgen, dikdörtgenlerin yarısı olan dik üçgenlere bölünebilir.
• Bir üçgenin alanı tektir: farklı taban–yükseklik çiftleriyle yazılan alanlar birbirine eşitlenerek bilinmeyen yükseklik bulunur.
• Aynı yüksekliği paylaşan üçgenlerde alan oranı taban oranına eşittir; parça oranını toplam parça sayısına göre kurmayı unutma.
• Kenarortay alanı iki eşit parçaya, üç kenarortay ise 6 eşit parçaya böler; iç açıortay ise alanı yanındaki kenarlar oranında (AB : AC) böler.
• Karmaşık şekillerde alanı ortak yükseklikli küçük üçgenlere böl, parçaları adım adım bul ve toplamın tüm alana eşit olduğunu kontrol et. Bir sonraki derste bu taktiği çokgenlere uygulayacağız.