Belirsiz İntegral: Türevin Tersine Gitmek

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde türevin bir değişim hızı olduğunu gördük. Bir aracın konum fonksiyonu elimizdeyse, türev alarak hızını buluyorduk. Hız fonksiyonu elimizdeyse, türev alarak da ivmeyi (hızlanmayı) buluyorduk. Kısacası türev bize şu soruyu cevaplatıyordu: Bu büyüklük ne kadar hızlı değişiyor?

Günlük hayatta çoğu zaman ters yönden bir soruyla karşılaşırız. Bir aracın hız göstergesini her an kaydettiğimizi düşünelim. Elimizde yalnızca hız bilgisi var ve aracın nerede olduğunu bulmak istiyoruz. Benzer şekilde, bir depoya dakikada kaç litre su aktığını biliyor ve depodaki toplam su miktarını merak ediyor olabiliriz. Burada değişim hızından yola çıkıp değişen büyüklüğün kendisine ulaşmaya çalışıyoruz. İşte bu türevin tersine gitmek demektir.

Bu tersine gitme işlemine integral diyoruz. Ancak küçük bir sorun var: Hızı bilmek, aracın yola nereden başladığını söylemez. İki araç aynı hızla gidiyor ama biri İstanbul'dan, diğeri Ankara'dan çıkmış olabilir. Hızları aynıdır, konumları farklıdır. Bu yüzden integral sonucuna bilinmeyen bir başlangıç değeri, yani sabit C eklenir. Bu derste C'nin neden gerekli olduğunu, temel integral kurallarını ve değişken değiştirme yöntemini öğreneceğiz. Bir sonraki derste ise integrali belirli bir aralıkta hesaplayarak alan bulmaya geçeceğiz.

Tanım ve kural

Tanım: Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x)'in ilkel fonksiyonu denir. f(x)'in tüm ilkel fonksiyonlarının kümesine belirsiz integral denir ve şöyle yazılır:

∫f(x) dx = F(x) + C, burada F'(x) = f(x)

Buradaki ∫ işareti integral işaretidir. dx ise hangi değişkene göre integral aldığımızı gösterir.

C neden var? Şu üç fonksiyonun türevine bakalım:

(x²)' = 2x

(x² + 5)' = 2x

(x² − 7)' = 2x

Üçünün de türevi 2x çıktı, çünkü sabitin türevi 0'dır. Türev alırken sabit kaybolur. Geriye dönerken hangi sabitin kaybolduğunu bilemeyiz. Bu yüzden ∫2x dx = x² + C yazarız. C, herhangi bir gerçek sayı olabilir. Başlangıç koşulu (örneğin f(0) = 3 gibi bir bilgi) verilirse C'yi tam olarak bulabiliriz.

Kuvvet kuralı neden öyle? Türevde üs bir azalır ve başa çarpan olarak iner: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Tersine gidince tam tersini yaparız: üssü bir artırır, yeni üsse böleriz.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)

Kontrol edelim: xⁿ⁺¹/(n+1) ifadesinin türevi (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ olur. Kural doğru. n = −1 olursa paydada 0 oluşur, bu yüzden o durum ayrıdır: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

Altın kontrol: Bulduğun integralin türevini al. İçerideki fonksiyona geri dönüyorsan cevabın doğrudur.

Değişken değiştirme yöntemi: Türevde zincir kuralını hatırla: [g(x)]ⁿ ifadesinin türevi n·[g(x)]ⁿ⁻¹·g'(x) idi. Yani integralin içinde bir ifade ve onun türevi birlikte duruyorsa, zincir kuralının tersine gidebiliriz. Adımlar şöyledir:

1. İçteki ifadeye u de: u = g(x).

2. Her iki tarafın türevini al: du = g'(x) dx.

3. İntegrali tamamen u cinsinden yaz ve temel kuralla çöz.

4. Sonunda u yerine g(x) yaz. C'yi unutma.

Önemli: Çarpımın integrali, integrallerin çarpımı değildir. Çarpım varsa ya önce çarpımı açarsın ya da değişken değiştirme kullanırsın.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: ∫(3x² + 4x − 5) dx integralini bulunuz.

Çözüm:

Her terimin integralini ayrı ayrı alırız.

∫3x² dx = 3·x³/3 = x³

∫4x dx = 4·x²/2 = 2x²

∫(−5) dx = −5x

Kontrol: (x³ + 2x² − 5x)' = 3x² + 4x − 5 ✓

Sonuç: x³ + 2x² − 5x + C

Örnek 2: ∫(x⁴ + 1/x²) dx integralini bulunuz.

Çözüm:

Önce 1/x² ifadesini üslü yazarız: 1/x² = x⁻².

∫x⁴ dx = x⁵/5

∫x⁻² dx = x⁻¹/(−1) = −x⁻¹ = −1/x

Kontrol: (−1/x)' = (−x⁻¹)' = x⁻² = 1/x² ✓

Sonuç: x⁵/5 − 1/x + C

Örnek 3: ∫(√x + eˣ + cos x) dx integralini bulunuz.

Çözüm:

√x = x^(1/2) olarak yazılır.

∫x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) = (2/3)·x^(3/2) = (2/3)·x√x

∫eˣ dx = eˣ

∫cos x dx = sin x

Kontrol: ((2/3)·x^(3/2))' = (2/3)·(3/2)·x^(1/2) = √x ✓

Sonuç: (2/3)·x√x + eˣ + sin x + C

Örnek 4 (başlangıç koşulu): f'(x) = 6x² − 2x ve f(1) = 5 olduğuna göre f(x) fonksiyonunu ve f(2) değerini bulunuz.

Çözüm:

f(x) = ∫(6x² − 2x) dx = 6·x³/3 − 2·x²/2 + C = 2x³ − x² + C

f(1) = 5 bilgisini kullanalım: 2·1 − 1 + C = 5

1 + C = 5, buradan C = 4

f(x) = 2x³ − x² + 4

f(2) = 2·8 − 4 + 4 = 16

Sonuç: f(x) = 2x³ − x² + 4 ve f(2) = 16

Örnek 5 (değişken değiştirme): ∫2x·(x² + 1)³ dx integralini bulunuz.

Çözüm:

İçteki ifade x² + 1, türevi 2x. İkisi de integralin içinde var.

u = x² + 1 dersek du = 2x dx olur.

İntegral ∫u³ du hâline gelir.

∫u³ du = u⁴/4 + C

u yerine x² + 1 yazarız.

Kontrol: ((x² + 1)⁴/4)' = 4·(x² + 1)³·2x/4 = 2x·(x² + 1)³ ✓

Sonuç: (x² + 1)⁴/4 + C

Örnek 6 (katsayıyı ayarlama): ∫x·(x² − 3)⁴ dx integralini bulunuz.

Çözüm:

u = x² − 3 dersek du = 2x dx olur.

İçeride 2x dx değil, x dx var. O yüzden x dx = du/2 yazarız.

İntegral ∫u⁴·(du/2) = (1/2)·∫u⁴ du hâline gelir.

(1/2)·u⁵/5 = u⁵/10

Kontrol: ((x² − 3)⁵/10)' = 5·(x² − 3)⁴·2x/10 = x·(x² − 3)⁴ ✓

Sonuç: (x² − 3)⁵/10 + C

Örnek 7 (iki kez integral): f''(x) = 6x, f'(0) = 2 ve f(0) = 1 olduğuna göre f(1) değerini bulunuz.

Çözüm:

Önce f'(x)'i bulalım: f'(x) = ∫6x dx = 3x² + C₁

f'(0) = 2 olduğundan 0 + C₁ = 2, yani C₁ = 2. Böylece f'(x) = 3x² + 2.

Şimdi f(x)'i bulalım: f(x) = ∫(3x² + 2) dx = x³ + 2x + C₂

f(0) = 1 olduğundan C₂ = 1. Böylece f(x) = x³ + 2x + 1.

f(1) = 1 + 2 + 1 = 4

Sonuç: f(1) = 4

Örnek 8 (eğim bilgisiyle eğri bulma): Bir y = f(x) eğrisinin her noktasındaki teğetinin eğimi 2x + 3'tür. Eğri (1, 6) noktasından geçtiğine göre f(x) nedir?

Çözüm:

Teğetin eğimi türevdir: f'(x) = 2x + 3.

f(x) = ∫(2x + 3) dx = x² + 3x + C

Eğri (1, 6) noktasından geçiyor: f(1) = 6.

1 + 3 + C = 6, buradan C = 2.

Sonuç: f(x) = x² + 3x + 2

AYT için sınav taktiği

• Soru tipi: AYT'de belirsiz integral çoğunlukla 'f'(x) ve bir değer verilmiş, başka bir değeri bulunuz' veya 'aşağıdakilerden hangisi bu integralin sonucudur?' biçiminde gelir.
• Süre: Temel kural sorusuna 1 dakika, değişken değiştirme veya başlangıç koşullu soruya 1,5–2 dakika ayırmayı hedefle.
• Şık eleme: Şıklarda fonksiyon varsa integral almak yerine şıkların türevini al. Türevi integralin içindeki fonksiyonu veren şık doğrudur. Önce en baştaki terimin katsayısını kontrol et; bu çoğu zaman 2–3 şıkkı hemen eler.
• Başlangıç koşulu verilmişse C'yi mutlaka hesapla; C bulunmadan sayı cevabı yanlış çıkar.

Sık yapılan hatalar

• C'yi unutmak: ∫2x dx = x² yazmak eksiktir. Doğrusu: x² + C. Sabit türevde kaybolduğu için geri dönerken eklenmelidir.
• Çarpımı ayrı ayrı integrallemek: ∫x·x² dx = (x²/2)·(x³/3) yazmak yanlıştır. Doğrusu: önce çarp, x·x² = x³, sonra ∫x³ dx = x⁴/4 + C.
• İç türevi hesaba katmamak: ∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C yanlıştır, çünkü türevi 2·(2x + 1)³ çıkar. Doğrusu: u = 2x + 1, du = 2dx olduğundan sonuç (2x + 1)⁴/8 + C.
• 1/x için kuvvet kuralını kullanmak: ∫x⁻¹ dx = x⁰/0 yazılamaz, sıfıra bölme olur. Doğrusu: ln|x| + C.
• sin x integralinde işareti karıştırmak: ∫sin x dx = cos x + C yanlıştır, çünkü (cos x)' = −sin x. Doğrusu: −cos x + C.

Alıştırma

1) ∫5 dx = ?

2) ∫(4x³ − 6x) dx = ?

3) ∫(x² + 2)² dx = ?

4) ∫(3/x²) dx = ?

5) ∫3√x dx = ?

6) ∫(2x + 1)⁵ dx = ?

7) ∫3x²·(x³ + 4)² dx = ?

8) f'(x) = 4x − 3 ve f(2) = 7 ise f(−1) kaçtır?

9) f''(x) = 12x², f'(1) = 5 ve f(0) = 2 ise f(1) kaçtır?

10) ∫6x·(x² − 1)² dx = ?

Cevap Anahtarı

1) 5x + C — Sabitin integrali sabit çarpı x'tir.

2) x⁴ − 3x² + C — Her terimde üssü bir artırıp yeni üsse böl: 4·x⁴/4 ve 6·x²/2.

3) x⁵/5 + 4x³/3 + 4x + C — Önce karesini aç: x⁴ + 4x² + 4, sonra terim terim integral al.

4) −3/x + C — 3x⁻² yaz; 3·x⁻¹/(−1) = −3/x olur.

5) 2x√x + C — 3·x^(3/2)/(3/2) = 2·x^(3/2) = 2x√x olur.

6) (2x + 1)⁶/12 + C — u = 2x + 1, dx = du/2 olduğundan (1/2)·u⁶/6 = u⁶/12 olur.

7) (x³ + 4)³/3 + C — u = x³ + 4 dersen du = 3x² dx olur ve ∫u² du = u³/3 kalır.

8) 10 — f(x) = 2x² − 3x + C, f(2) = 2 + C = 7'den C = 5; f(−1) = 2 + 3 + 5 = 10.

9) 4 — f'(x) = 4x³ + 1 ve f(x) = x⁴ + x + 2 bulunur; f(1) = 1 + 1 + 2 = 4.

10) (x² − 1)³ + C — u = x² − 1, du = 2x dx olduğundan 6x dx = 3du ve 3·u³/3 = u³ olur.

Dersin özeti

• Belirsiz integral türevin ters işlemidir: F'(x) = f(x) ise ∫f(x) dx = F(x) + C.
• Sabitin türevi 0 olduğu için türev alınca sabit kaybolur; geri dönerken bu kayıp sabit C ile gösterilir, başlangıç koşulu verilirse C hesaplanır.
• Kuvvet kuralı: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); n = −1 için sonuç ln|x| + C'dir.
• İçeride bir ifade ve onun türevi birlikte varsa değişken değiştirme (u = g(x), du = g'(x) dx) kullanılır; bu, zincir kuralının tersidir.
• Her cevabı türev alarak kontrol et; bir sonraki derste integrali belirli aralıkta hesaplayıp alan bulmayı öğreneceğiz.