Türev Alma Kuralları: Kuvvet, Çarpım, Bölüm ve Zincir Kuralı

Tahmini süre: 16 dk

Önceki dersten köprü: Bir önceki derste türevi limitle tanımladık: f′(x) = lim (h→0) [f(x+h) − f(x)] / h. Bu tanım bize bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızını veriyordu. Ancak her türev için bu limiti baştan hesaplamak uzun sürer. Bu derste tanımı birkaç kez kullanıp genel kurallar elde edeceğiz; sonra bu kuralları hızlıca uygulayacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir arabanın aldığı yolu zamana bağlı bir fonksiyon olarak düşünelim. Türev, arabanın o andaki hızını verir. Yol fonksiyonu basit bir ifade ise türevi bir çırpıda bulunur. Ama gerçek hayattaki ilişkiler çoğu zaman iç içedir. Örneğin bir mağazanın geliri, satılan ürün sayısı ile birim fiyatın çarpımıdır. Hem satış adedi hem fiyat zamanla değişiyorsa gelirin değişim hızını bulmak için iki değişimi birlikte hesaba katmamız gerekir. İşte burada çarpım kuralı devreye girer.

Bir başka durum: Şişirilen bir balonun yarıçapı zamanla büyür, balonun yüzey alanı da yarıçapa bağlıdır. Yani alan, yarıçapa; yarıçap da zamana bağlıdır. Bu “fonksiyonun içinde fonksiyon” durumuna bileşke fonksiyon denir ve değişim hızı zincir kuralı ile bulunur. Dişli çarkları düşünün: A dişlisi, B dişlisinin her turunda 3 tur dönüyor; B dişlisi de C dişlisinin her turunda 2 tur dönüyor. O hâlde A, C'nin her turunda 3 × 2 = 6 tur döner. Zincir kuralı tam olarak bu çarpma fikridir.

Ortalama hız, birim başına maliyet, verim oranı gibi büyüklükler ise iki fonksiyonun bölümü şeklindedir. Bu derste sabit, kuvvet, toplam, çarpım, bölüm ve zincir kurallarını hem nasıl kullanacağımızı hem de neden doğru olduklarını göreceğiz.

Tanım ve kural

1) Sabitin türevi: f(x) = c ise f′(x) = 0. Neden? f(x+h) − f(x) = c − c = 0 olur. Payı sıfır olan ifadenin limiti de 0'dır. Sabit bir fonksiyonun grafiği yatay bir doğrudur; hiç değişmediği için değişim hızı sıfırdır.

2) Kuvvet kuralı: f(x) = xⁿ ise f′(x) = n·xⁿ⁻¹. Neden? Önce n = 2 için bakalım: (x+h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h². Bunu h'ye bölersek 2x + h elde ederiz; h → 0 iken sonuç 2x olur. Genel durumda (x+h)ⁿ açılımı xⁿ + n·xⁿ⁻¹·h + (h², h³, … içeren terimler) şeklindedir. xⁿ'ler birbirini götürür, h'ye bölünce n·xⁿ⁻¹ ile h içeren terimler kalır; h → 0 iken yalnızca n·xⁿ⁻¹ kalır. Bu kural negatif ve rasyonel üsler için de geçerlidir: √x = x^(1/2), 1/x² = x⁻² yazılarak kullanılır.

3) Sabitle çarpım ve toplam kuralı: (c·f)′ = c·f′ ve (f ± g)′ = f′ ± g′. Neden? Limit, toplama ve sabitle çarpma işlemlerine “saygı gösterir”: toplamın limiti limitlerin toplamıdır. Bu yüzden polinomların türevini terim terim alabiliriz.

4) Çarpım kuralı: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Neden? u·v'yi kenarları u ve v olan bir dikdörtgenin alanı gibi düşünelim. Kenarlar Δu ve Δv kadar artarsa alandaki artış u·Δv + v·Δu + Δu·Δv olur (iki ince şerit ve köşede küçük bir kare). h'ye bölüp h → 0 alınca ilk iki parça u·v′ ve v·u′ olur; köşedeki küçük kare ise sıfıra gider. Dikkat: (u·v)′ ≠ u′·v′.

5) Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v², v ≠ 0. Neden? f = u/v dersek u = f·v olur. Çarpım kuralıyla u′ = f′·v + f·v′. Buradan f′ = (u′ − f·v′)/v. f yerine u/v yazıp payı ve paydayı v ile genişletirsek (u′·v − u·v′)/v² elde ederiz. Paydaki sıra önemlidir: önce payın türevi gelir.

6) Zincir kuralı: y = f(g(x)) ise y′ = f′(g(x))·g′(x). Neden? u = g(x) dersek y, u'ya bağlıdır; u da x'e bağlıdır. y'nin x'e göre değişim hızı, “y'nin u'ya göre hızı” ile “u'nun x'e göre hızı”nın çarpımıdır: dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Dişli örneğindeki 3 × 2 = 6 hesabının aynısı. Kısaca: dıştakinin türevini al, içi olduğu gibi bırak, sonra içtekinin türeviyle çarp.

Karar ipucu: Önce ifadeyi sadeleştirmeye çalış. (x² + 1)·3 gibi bir sabitle çarpımda çarpım kuralına gerek yoktur; 6/x² gibi paydası tek terimli ifadeleri 6x⁻² yazıp kuvvet kuralıyla almak bölüm kuralından daha hızlıdır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kuvvet ve toplam)

f(x) = 5x⁴ − 3x² + 7x − 9 fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

Terim terim türev alırız.

(5x⁴)′ = 5·4x³ = 20x³

(−3x²)′ = −3·2x = −6x

(7x)′ = 7, (−9)′ = 0

f′(x) = 20x³ − 6x + 7

Örnek 2 (kök ve negatif üs)

f(x) = √x + 1/x² ise f′(4) değerini bulunuz.

Çözüm:

Önce üslü biçimde yazarız: f(x) = x^(1/2) + x⁻².

f′(x) = (1/2)·x^(−1/2) + (−2)·x⁻³

Yani f′(x) = 1/(2√x) − 2/x³.

x = 4 için: 1/(2·2) − 2/64 = 1/4 − 1/32.

1/4 = 8/32 olduğundan 8/32 − 1/32 = 7/32.

f′(4) = 7/32

Örnek 3 (çarpım kuralı)

f(x) = (x² + 1)(3x − 2) ise f′(x) ve f′(1) değerini bulunuz.

Çözüm:

u = x² + 1 ⇒ u′ = 2x; v = 3x − 2 ⇒ v′ = 3.

f′(x) = u′·v + u·v′ = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1)

= 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3

Kontrol: f(x) açılırsa 3x³ − 2x² + 3x − 2 olur; türevi 9x² − 4x + 3, aynı sonuç.

f′(1) = 9 − 4 + 3 = 8

f′(x) = 9x² − 4x + 3, f′(1) = 8

Örnek 4 (bölüm kuralı)

f(x) = (2x + 1)/(x − 3) ise f′(4) değerini bulunuz.

Çözüm:

u = 2x + 1 ⇒ u′ = 2; v = x − 3 ⇒ v′ = 1.

f′(x) = [2·(x − 3) − (2x + 1)·1] / (x − 3)²

Pay: 2x − 6 − 2x − 1 = −7

f′(x) = −7/(x − 3)²

x = 4 için: −7/1² = −7

f′(4) = −7

Örnek 5 (zincir kuralı, parantez kuvveti)

f(x) = (3x² − 5)⁴ ise f′(1) değerini bulunuz.

Çözüm:

Dış fonksiyon: (…)⁴, iç fonksiyon: 3x² − 5.

Dışın türevi: 4(3x² − 5)³ (içi aynen kalır).

İçin türevi: 6x.

f′(x) = 4(3x² − 5)³·6x = 24x(3x² − 5)³

x = 1 için: 3 − 5 = −2, (−2)³ = −8.

f′(1) = 24·1·(−8) = −192

f′(1) = −192

Örnek 6 (zincir kuralı, kök)

f(x) = √(x² + 9) ise f′(4) değerini bulunuz.

Çözüm:

f(x) = (x² + 9)^(1/2) olarak yazarız.

Dışın türevi: (1/2)(x² + 9)^(−1/2) = 1/(2√(x² + 9))

İçin türevi: 2x

f′(x) = 2x/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9)

x = 4 için: √(16 + 9) = √25 = 5, f′(4) = 4/5

f′(4) = 4/5

Örnek 7 (çarpım + zincir birlikte)

f(x) = x·(2x + 1)³ ise f′(x) ifadesini çarpan biçiminde yazınız ve f′(0) değerini bulunuz.

Çözüm:

u = x ⇒ u′ = 1; v = (2x + 1)³ ⇒ v′ = 3(2x + 1)²·2 = 6(2x + 1)² (zincir kuralı).

f′(x) = 1·(2x + 1)³ + x·6(2x + 1)²

Ortak çarpan (2x + 1)²: f′(x) = (2x + 1)²·[(2x + 1) + 6x]

f′(x) = (2x + 1)²(8x + 1)

x = 0 için: 1²·1 = 1

f′(x) = (2x + 1)²(8x + 1), f′(0) = 1

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: (u·v)′ = u′·v′. Örneğin (x·x)′ = 1·1 = 1. Doğrusu: (x·x)′ = 1·x + x·1 = 2x; bu da (x²)′ = 2x ile uyumludur.
• Yanlış: Bölüm kuralında payı (u·v′ − u′·v) yazmak; sonuç işaretçe ters çıkar. Doğrusu: (u′·v − u·v′)/v², önce payın türevi.
• Yanlış: ((2x + 1)³)′ = 3(2x + 1)². Doğrusu: İçin türevi 2 unutulmamalı: 3(2x + 1)²·2 = 6(2x + 1)².
• Yanlış: (1/x³)′ = 1/(3x²). Doğrusu: 1/x³ = x⁻³ olduğundan türev −3x⁻⁴ = −3/x⁴.
• Yanlış: (π²)′ = 2π. Doğrusu: π² bir sabittir, x içermez; türevi 0'dır.

Alıştırma

1) f(x) = 4x³ − 2x + 11 ise f′(x) = ?

2) f(x) = 6/x² ise f′(x) = ?

3) f(x) = x√x ise f′(4) = ?

4) f(x) = (x + 2)(x² − x) ise f′(x) = ?

5) f(x) = x²/(x + 1) ise f′(1) = ?

6) f(x) = (x − 1)/(x + 1) ise f′(1) = ?

7) f(x) = (5x − 2)³ ise f′(x) = ?

8) f(x) = √(2x + 5) ise f′(2) = ?

9) f(x) = 1/(x² + 1) ise f′(1) = ?

10) f(x) = x²(x − 1)⁴ ise f′(2) = ?

Cevap Anahtarı

1) 12x² − 2. Terim terim kuvvet kuralı uygulanır, sabitin türevi 0'dır.

2) −12/x³. 6x⁻² yazılır, türevi 6·(−2)x⁻³ olur.

3) 3. x√x = x^(3/2), türevi (3/2)√x; x = 4 için (3/2)·2 = 3.

4) 3x² + 2x − 2. Çarpım kuralı: (x² − x) + (x + 2)(2x − 1) açılıp toplanır.

5) 3/4. f′(x) = (x² + 2x)/(x + 1)²; x = 1 için 3/4.

6) 1/2. f′(x) = [(x + 1) − (x − 1)]/(x + 1)² = 2/(x + 1)²; x = 1 için 2/4.

7) 15(5x − 2)². Dışın türevi 3(5x − 2)², içinin türevi 5 ile çarpılır.

8) 1/3. f′(x) = 2/(2√(2x + 5)) = 1/√(2x + 5); x = 2 için 1/√9.

9) −1/2. (x² + 1)⁻¹ yazılıp zincir kuralıyla −2x/(x² + 1)² bulunur; x = 1 için −2/4.

10) 20. f′(x) = 2x(x − 1)⁴ + 4x²(x − 1)³; x = 2 için 4 + 16.

Dersin özeti

• Sabitin türevi 0'dır; xⁿ'nin türevi n·xⁿ⁻¹'dir ve kök ya da payda içeren kuvvetler üslü yazılarak aynı kuralla alınır.
• Toplamın türevi türevlerin toplamıdır; bu yüzden polinomlar terim terim türevlenir.
• Çarpım kuralı (u·v)′ = u′·v + u·v′, bölüm kuralı (u/v)′ = (u′·v − u·v′)/v²; her ikisi de tanımdan ve dikdörtgen alanı fikrinden gelir.
• Zincir kuralı iç içe fonksiyonlarda kullanılır: dıştakinin türevi × içtekinin türevi (dişli çark mantığı).
• Kural seçmeden önce sadeleştir; gereksiz yere bölüm kuralı kullanmak işlemi uzatır ve hata riskini artırır.

Sonraki derse köprü: Artık hemen her cebirsel fonksiyonun türevini hızlıca alabiliyoruz. Bir sonraki derste bu kuralları araç olarak kullanacak ve türevin bize fonksiyonun davranışı hakkında neler söylediğini inceleyeceğiz. Bu yüzden bugünkü alıştırmaları, özellikle zincir ve çarpım kuralının birlikte geçtiği soruları, akıcı hâle gelene kadar tekrar etmeniz faydalı olur.