Türevin Uygulamaları: Artan-Azalan, Ekstremum ve Optimizasyon

Tahmini süre: 17 dk

Önceki derste türev alma kurallarını çalıştık: kuvvet, toplam, çarpım, bölüm ve zincir kuralıyla bir fonksiyonun türevini bulmayı öğrendik. Türev, bir noktadaki anlık değişim hızı ve o noktadaki teğetin eğimiydi. Bu derste o bilgiyi kullanacağız. Türevin işaretine bakıp fonksiyonun nerede yükseldiğini, nerede alçaldığını ve nerede tepe ya da çukur yaptığını bulacağız. Sonra bunu gerçek problemlerde en iyi sonucu bulmak için kullanacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir dağ yolunda yürüdüğünü düşün. Yol yükseliyorsa her adımda daha yukarıdasın, alçalıyorsa daha aşağıdasın. Yokuş bitip inişin başladığı yerde bir tepedesin. İniş bitip yokuşun başladığı yerde de bir çukurdasın. Tam tepede ya da tam çukurda bir an için yol düzdür, yani eğim sıfırdır. Türev, işte bu eğimi ölçer. Eğim pozitifse yükseliyoruz, negatifse alçalıyoruz, sıfırsa belki bir tepe ya da çukurdayız.

Aynı düşünce günlük hayatta pek çok yerde karşımıza çıkar. Bir üretici, kutu yaparken aynı kartondan en çok hacmi nasıl elde edeceğini merak eder. Bir çiftçi, elindeki sınırlı telle en geniş bahçeyi çevirmek ister. Bir mühendis, en az malzemeyle en dayanıklı parçayı tasarlamaya çalışır. Bu soruların hepsinin ortak adı optimizasyon, yani en iyi değeri bulmaktır.

Bu problemleri deneme yanılmayla da çözebiliriz, ama bu yöntem hem uzun sürer hem de tam doğru sonucu garanti etmez. Türev ise bize kısa ve kesin bir yol sunar: fonksiyonu kur, türevini al, türevin sıfır olduğu yerleri incele.

Tanım ve kural

Artan ve azalan fonksiyon: Bir aralıktaki her x₁ < x₂ için f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f bu aralıkta artandır. f(x₁) > f(x₂) oluyorsa azalandır.

Neden türevin işareti bunu söyler? f'(x), x noktasındaki teğetin eğimidir. Bir aralıktaki her noktada eğim pozitifse grafik her yerde yukarı doğru gider, yani fonksiyon artandır. Eğim her yerde negatifse grafik aşağı iner, yani fonksiyon azalandır. Kısacası:

• Bir aralıkta f'(x) > 0 ise f bu aralıkta artandır.
• Bir aralıkta f'(x) < 0 ise f bu aralıkta azalandır.

Yerel (bağıl) ekstremum: f(a) değeri, a'nın yakın çevresindeki tüm değerlerden büyükse f(a) yerel maksimum, küçükse yerel minimum değeridir. Bunların ortak adı ekstremumdur.

Türevlenebilir bir fonksiyonun tepesinde ya da çukurunda teğet yatay olmalıdır. Bu yüzden ekstremum adayları f'(x) = 0 yapan x değerleridir. Bu x değerlerine kritik nokta denir. Ama sadece aday olurlar. Gerçekten ekstremum olup olmadığına karar vermek için türevin işaretine bakarız:

• f' işareti a noktasında + dan − ye geçiyorsa fonksiyon önce artıp sonra azalıyordur, yani x = a'da yerel maksimum vardır.
• f' işareti − den + ya geçiyorsa fonksiyon önce azalıp sonra artıyordur, yani x = a'da yerel minimum vardır.
• İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur. Örneğin f(x) = x³ için f'(0) = 0'dır, ama f'(x) = 3x² hiç negatif olmaz. Fonksiyon hep artar, dolayısıyla x = 0'da tepe ya da çukur yoktur.

Teğet denklemi: Grafiğin x = a noktasındaki teğeti (a, f(a)) noktasından geçer ve eğimi m = f'(a)'dır. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi şöyledir:

y − f(a) = f'(a) · (x − a)

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer (mutlak ekstremum): Sürekli bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki en büyük ya da en küçük değeri ya aralığın içindeki bir kritik noktada ya da aralığın uç noktalarında olur. Bu yüzden kritik noktalardaki ve uçlardaki değerlerin hepsini hesaplayıp karşılaştırırız.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

f(x) = x² − 6x + 5 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları ve ekstremum noktasını bulunuz.

Çözüm:

1. Türevi alalım: f'(x) = 2x − 6.

2. Türevi sıfıra eşitleyelim: 2x − 6 = 0, buradan x = 3.

3. İşareti inceleyelim: x < 3 için (örneğin x = 0) f'(0) = −6 < 0. x > 3 için (örneğin x = 4) f'(4) = 2 > 0.

4. İşaret − den + ya geçtiği için x = 3'te yerel minimum vardır.

5. Değeri hesaplayalım: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

f, (−∞, 3) aralığında azalan, (3, ∞) aralığında artandır. Yerel minimum noktası (3, −4)'tür.

Örnek 2

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.

Çözüm:

1. f'(x) = 3x² − 6x − 9.

2. Ortak çarpan 3'ü dışarı alalım: f'(x) = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).

3. Kritik noktalar: x = −1 ve x = 3.

4. İşaret tablosu: x < −1 için (x = −2): 3·(−5)·(−1) = 15 > 0. −1 < x < 3 için (x = 0): 3·(−3)·(1) = −9 < 0. x > 3 için (x = 4): 3·(1)·(5) = 15 > 0.

5. x = −1'de işaret + → − olduğu için yerel maksimum vardır: f(−1) = −1 − 3 + 9 + 2 = 7.

6. x = 3'te işaret − → + olduğu için yerel minimum vardır: f(3) = 27 − 27 − 27 + 2 = −25.

Yerel maksimum değeri 7 (x = −1'de), yerel minimum değeri −25'tir (x = 3'te).

Örnek 3

f(x) = x³ − 2x fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.

Çözüm:

1. Değme noktasını bulalım: f(1) = 1 − 2 = −1, yani nokta (1, −1).

2. Eğimi bulalım: f'(x) = 3x² − 2, buradan f'(1) = 3 − 2 = 1.

3. Formüle yerleştirelim: y − (−1) = 1 · (x − 1).

4. Düzenleyelim: y + 1 = x − 1, buradan y = x − 2.

5. Kontrol: x = 1 için y = −1 bulunur, doğru nokta.

Teğet denklemi: y = x − 2

Örnek 4

f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun [0, 2] aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.

Çözüm:

1. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).

2. Kritik noktalar x = 1 ve x = −1'dir. −1 aralıkta olmadığı için sadece x = 1'i alırız.

3. Aday değerleri hesaplayalım: f(0) = 0, f(1) = 1 − 3 = −2, f(2) = 8 − 6 = 2.

4. Karşılaştıralım: en büyüğü 2, en küçüğü −2.

En büyük değer 2 (x = 2'de), en küçük değer −2'dir (x = 1'de).

Örnek 5

f(x) = x³ + ax² + 3x fonksiyonu her x için artan olduğuna göre a'nın alabileceği değerler aralığını bulunuz.

Çözüm:

1. f'(x) = 3x² + 2ax + 3.

2. Fonksiyonun her yerde artan olması için f'(x) ≥ 0 olmalıdır; türev hiçbir aralıkta negatif olmamalıdır.

3. Baş katsayısı pozitif (3 > 0) olan bir ikinci derece ifadenin hiç negatif olmaması için diskriminantı Δ ≤ 0 olmalıdır.

4. Δ = (2a)² − 4·3·3 = 4a² − 36.

5. 4a² − 36 ≤ 0, buradan a² ≤ 9, yani −3 ≤ a ≤ 3.

6. Neden eşitlik de olur? Δ = 0 iken türev yalnızca tek bir noktada sıfır olur ve işaret değişmez (x³ örneğindeki gibi). Fonksiyon yine artandır.

−3 ≤ a ≤ 3

Örnek 6

40 metre uzunluğundaki bir telle dikdörtgen biçiminde bir bahçe çevrilecektir. Bahçenin alanı en fazla kaç m² olabilir?

Çözüm:

1. Kenarlara x ve y diyelim. Çevre: 2x + 2y = 40, buradan y = 20 − x.

2. Alanı tek değişkenle yazalım: A(x) = x(20 − x) = 20x − x². Tanım aralığı: 0 < x < 20.

3. Türev: A'(x) = 20 − 2x = 0, buradan x = 10.

4. x < 10 için A' > 0, x > 10 için A' < 0 olduğundan x = 10'da maksimum vardır.

5. y = 20 − 10 = 10, A = 10 · 10 = 100.

En büyük alan 100 m²'dir (bahçe kare olur).

Örnek 7

Kenarı 12 cm olan kare bir kartonun her köşesinden kenarı x cm olan birer kare kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en fazla kaç cm³ olur?

Çözüm:

1. Katlanınca kutunun tabanı (12 − 2x) × (12 − 2x), yüksekliği x olur.

2. Hacim: V(x) = x(12 − 2x)². Kenar uzunlukları pozitif olmalı, yani 0 < x < 6.

3. Çarpım kuralıyla türev: V'(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x) · (−2).

4. (12 − 2x) ortak çarpanını dışarı alalım: V'(x) = (12 − 2x)[(12 − 2x) − 4x] = (12 − 2x)(12 − 6x).

5. V'(x) = 0 için x = 6 ya da x = 2. x = 6 tanım aralığında değildir (hacim sıfır olur). Geriye x = 2 kalır.

6. İşaret kontrolü: x = 1 için (10)(6) > 0, x = 3 için (6)(−6) < 0. İşaret + → − olduğundan x = 2'de maksimum vardır.

7. V(2) = 2 · (12 − 4)² = 2 · 64 = 128.

En büyük hacim 128 cm³'tür (x = 2 cm).

Optimizasyon problemleri için adım listesi

• Neyin en büyük ya da en küçük olacağını belirle ve değişkenlere isim ver.
• Verilen koşulla (çevre, toplam, malzeme) bir değişkeni diğeri cinsinden yaz.
• Amaç fonksiyonunu tek değişkenli hâle getir ve tanım aralığını yaz.
• Türevi sıfıra eşitle; aralık dışındaki kökleri at.
• İşaret kontrolüyle maksimum ya da minimum olduğunu doğrula, sonra istenen değeri hesapla.

AYT için sınav taktikleri

• Soru tipleri: artan-azalan aralığı bulma, yerel ekstremum değeri ya da noktası, teğet denklemi veya teğetin eksenleri kestiği nokta, parametreli ‘her yerde artan’ soruları ve kutu, bahçe, sayı gibi optimizasyon problemleri.
• Süre: Rutin bir ekstremum ya da teğet sorusuna 1-2 dakika ayırmayı hedefle. Optimizasyon sorularında amaç fonksiyonunu kurmak zaman alır, bu yüzden önce şekli çizip değişkenleri üzerine yaz.
• Şık eleme: Teğet sorularında şıktaki doğrunun (a, f(a)) noktasından geçip geçmediğini kontrol et; geçmeyen şıkları hemen ele. Optimizasyonda tanım aralığı dışındaki x değerlerini (örneğin kutu sorusunda x ≥ 6) ele. Ekstremum sorularında şıktaki x değerini f'(x)'te yerine koy; sonuç sıfır değilse o şık yanlıştır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: ‘f'(0) = 0 olduğu için f(x) = x³ fonksiyonunun x = 0'da ekstremumu vardır.’ → Doğrusu: f'(x) = 3x² sıfırın iki yanında da pozitiftir, işaret değişmez. Ekstremum yoktur. f'(a) = 0 yalnızca aday gösterir.
• Yanlış: Örnek 1'de ‘yerel minimum değeri 3'tür.’ → Doğrusu: 3, minimumun olduğu x değeridir. Minimum değeri f(3) = −4'tür. Soru ‘nokta’ istiyorsa cevap (3, −4) olur.
• Yanlış: Teğet denklemini y − f(1) = f'(x)(x − 1) biçiminde, eğimde x bırakarak yazmak. → Doğrusu: Eğim bir sayıdır ve f'(a) hesaplanarak bulunur: y − f(1) = f'(1)(x − 1).
• Yanlış: Kapalı aralıkta sadece kritik noktaya bakıp ‘en büyük değer oradadır’ demek. → Doğrusu: Uç noktaları da hesapla. Örnek 4'te en büyük değer uç nokta olan x = 2'dedir.
• Yanlış: Kutu probleminde x = 6 kökünü de cevap olarak düşünmek. → Doğrusu: Tanım aralığı 0 < x < 6'dır. Aralık dışındaki ya da hacmi sıfır yapan kökler atılır.

Alıştırma

1. f(x) = x² − 4x + 7 fonksiyonunun artan olduğu aralığı bulunuz.

2. f(x) = −x² + 6x − 1 fonksiyonunun yerel maksimum noktasını bulunuz.

3. f(x) = x³ − 12x fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.

4. f(x) = 2x³ − 3x² fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.

5. f(x) = x² + 3x fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.

6. f(x) = x³ fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.

7. f(x) = x² − 2x fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.

8. Toplamları 20 olan iki pozitif sayının çarpımı en fazla kaçtır?

9. Bir duvarın kenarına, duvar tarafı açık kalacak biçimde dikdörtgen bir alan 60 m tel ile üç kenarından çevrilecektir. Alan en fazla kaç m² olur?

10. f(x) = x³ + mx fonksiyonu her x için artan olduğuna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz.

Cevap Anahtarı

1. (2, ∞): f'(x) = 2x − 4 > 0 eşitsizliğinden x > 2 bulunur.

2. (3, 8): f'(x) = −2x + 6 = 0'dan x = 3 çıkar ve f(3) = −9 + 18 − 1 = 8 olur.

3. Yerel maksimum 16, yerel minimum −16: f'(x) = 3x² − 12 = 0'dan x = ±2 çıkar; f(−2) = 16, f(2) = −16 olur.

4. (0, 1): f'(x) = 6x(x − 1) ifadesi yalnızca 0 ile 1 arasında negatiftir.

5. y = 5x − 1: f(1) = 4 ve f'(1) = 2·1 + 3 = 5 olduğundan y − 4 = 5(x − 1) yazılır.

6. y = 12x − 16: f(2) = 8 ve f'(2) = 3·4 = 12 olduğundan y − 8 = 12(x − 2) yazılır.

7. En büyük 3, en küçük −1: Kritik nokta x = 1'dir; f(0) = 0, f(1) = −1, f(3) = 3 karşılaştırılır.

8. 100: Çarpım P(x) = x(20 − x) olur; P'(x) = 20 − 2x = 0'dan x = 10 ve 10 · 10 = 100 bulunur.

9. 450 m²: Duvara dik kenarlar x ise diğer kenar 60 − 2x olur; A'(x) = 60 − 4x = 0'dan x = 15 ve A = 15 · 30 = 450 bulunur.

10. m ≥ 0: f'(x) = 3x² + m ifadesinin her x için ≥ 0 olması gerekir; bu da m ≥ 0 ile sağlanır.

Dersin özeti

• f'(x) > 0 olan aralıkta fonksiyon artan, f'(x) < 0 olan aralıkta azalandır, çünkü türev teğetin eğimidir.
• f'(a) = 0 olan noktalar ekstremum adayıdır. İşaret + → − ise yerel maksimum, − → + ise yerel minimum vardır. İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.
• x = a'daki teğetin denklemi y − f(a) = f'(a)(x − a) biçimindedir. Eğim, f'(a) sayısıdır.
• Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer için kritik noktalar ile uç noktaların hepsi karşılaştırılır.
• Optimizasyonda amaç fonksiyonu tek değişkene indirilir, tanım aralığı yazılır, türev sıfıra eşitlenir ve sonuç işaret kontrolüyle doğrulanır.

Bir sonraki derste türevin tersi olan işleme geçeceğiz: türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak, yani integral. Bu derste ‘fonksiyondan eğime’ gittik. Orada ‘eğimden fonksiyona’ geri döneceğiz. Türev kurallarını ne kadar iyi biliyorsan integral o kadar kolay gelecek.