Parabol: Tepe Noktası, Eksenleri Kesen Noktalar ve Grafik

Tahmini süre: 20 dk

Günlük hayattan giriş

Bir basketbol topunu potaya attığında top önce yükselir, bir noktada en yüksek yere ulaşır, sonra aşağı iner. Bahçedeki hortumdan fışkıran su da, havaya atılan bir taş da aynı şekilde kıvrılan bir yol çizer. Bu kıvrık eğrinin matematikteki adı paraboldür. Uydu çanakları ve araba farlarının içindeki aynalar da parabol biçiminde yapılır. Bu biçim, gelen sinyalleri ya da ışığı tek bir noktada toplamayı veya o noktadan çıkan ışığı düz bir demet hâlinde göndermeyi sağlar.

Günlük hayatta sık sık şu soruları sorarız: "Top en fazla kaç metre yükselir?", "Elimdeki tel ile en geniş bahçeyi nasıl çevirebilirim?", "Bir ürünün fiyatını ne kadar yaparsam kazancım en fazla olur?" Bu soruların birçoğu ikinci dereceden bir fonksiyonla ifade edilir. Cevap da parabolün tepe noktasında saklıdır.

Bu kursta polinomları, çarpanlara ayırmayı ve ikinci dereceden denklemleri öğrendik. Şimdi hepsini bir araya getirip y = ax² + bx + c ifadesinin grafiğini çizeceğiz. Grafiği okuyabilen biri, denklemin kaç kökü olduğunu hiç hesap yapmadan görebilir.

Tanım ve kural

a ≠ 0 olmak üzere y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğine parabol denir. Parabolü çizmek için dört şeyi bulmamız yeterlidir: kolların yönü, tepe noktası, y eksenini kestiği nokta ve x eksenini kestiği noktalar.

1) Kolların yönü: a > 0 ise kollar yukarı bakar (gülen yüz), a < 0 ise aşağı bakar (üzgün yüz). Neden? x çok büyüdüğünde ax² terimi diğer terimlerden çok daha hızlı büyür. a pozitifse y çok büyük pozitif değerler alır, negatifse çok küçük negatif değerlere iner.

2) Tepe noktası T(r, k): r = −b / (2a) ve k = f(r) olur. Neden? Parabol simetrik bir eğridir. İki kökü x₁ ile x₂ ise tepe tam ortalarındadır. Kökler toplamının x₁ + x₂ = −b/a olduğunu biliyoruz. Ortalarını bulmak için bu toplamı 2'ye böleriz: r = −b/(2a). Başka bir açıdan bakalım: Fonksiyon y = a(x − r)² + k biçiminde yazılabilir. (x − r)² hiçbir zaman negatif olmaz ve en küçük değeri olan 0'ı x = r iken alır. Bu yüzden a > 0 ise k fonksiyonun en küçük değeri, a < 0 ise en büyük değeridir. İstersen k = −Δ/(4a) formülünü de kullanabilirsin.

3) Simetri ekseni: Tepe noktasından geçen dikey doğrudur, denklemi x = r olur. Grafiği bu doğru boyunca katlarsan iki yarı tam üst üste gelir.

4) Eksenleri kestiği noktalar: y eksenindeki her noktada x = 0 olduğu için x = 0 yazarız ve (0, c) noktasını buluruz. x eksenindeki her noktada y = 0 olduğu için ax² + bx + c = 0 denklemini çözeriz. Bu denklemin kaç kökü olduğunu diskriminant (Δ = b² − 4ac) söyler.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): y = x² − 4x + 3 parabolünü inceleyip çizelim.

Çözüm:

Adım 1: a = 1, b = −4, c = 3. a > 0 olduğu için kollar yukarı bakar.

Adım 2: r = −(−4) / (2·1) = 4/2 = 2.

Adım 3: k = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Tepe noktası T(2, −1).

Adım 4: x = 0 için y = 3, yani y eksenini (0, 3) noktasında keser.

Adım 5: x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 veya x = 3.

Adım 6: Kontrol için değer tablosu: x = 0, 1, 2, 3, 4 iken y = 3, 0, −1, 0, 3 olur. Değerlerin x = 2'ye göre simetrik olduğuna dikkat et.

Sonuç: Kollar yukarı, T(2, −1), simetri ekseni x = 2, eksenleri kestiği noktalar (0, 3), (1, 0) ve (3, 0).

Örnek 2: y = −x² + 6x − 5 fonksiyonunun en büyük değerini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: a = −1 < 0, kollar aşağı bakar. Demek ki tepe noktası en yüksek noktadır.

Adım 2: r = −6 / (2·(−1)) = −6/(−2) = 3.

Adım 3: k = −(3²) + 6·3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4.

Adım 4: x eksenini kestiği noktalar için −x² + 6x − 5 = 0 denkleminin iki tarafını −1 ile çarparız: x² − 6x + 5 = 0 → (x − 1)(x − 5) = 0 → x = 1 veya x = 5.

Adım 5: Kontrol: 1 ile 5'in ortası 3'tür, bu da r ile aynı.

Sonuç: T(3, 4). Fonksiyonun en büyük değeri 4'tür.

Örnek 3: y = x² + 2x + 5 parabolü x eksenini keser mi?

Çözüm:

Adım 1: Δ = b² − 4ac = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16.

Adım 2: Δ < 0 olduğu için denklemin gerçek kökü yoktur.

Adım 3: Tepe noktası: r = −2/2 = −1, k = (−1)² + 2·(−1) + 5 = 1 − 2 + 5 = 4. T(−1, 4).

Adım 4: Kollar yukarı bakıyor ve en alçak nokta y = 4'te duruyor. Grafik hiçbir zaman x eksenine inemez. Bu sonuç Δ ile uyumludur.

Sonuç: Kesmez. Parabol tamamen x ekseninin üstündedir.

Örnek 4: y = x² − 6x + 9 parabolünün x ekseniyle ilişkisini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Δ = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0.

Adım 2: Δ = 0 olduğu için tek bir kök (çakışık iki kök) vardır: x² − 6x + 9 = (x − 3)² = 0 → x = 3.

Adım 3: r = 6/2 = 3, k = 9 − 18 + 9 = 0. Tepe noktası T(3, 0), yani tam x ekseninin üstündedir.

Sonuç: Parabol x eksenine (3, 0) noktasında teğettir.

Örnek 5 (orta): y = x² − 4x + m parabolü x eksenine teğet ise m kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Teğet olması, x ekseniyle tek ortak noktası olması demektir. Bu yüzden Δ = 0 olmalıdır.

Adım 2: Δ = (−4)² − 4·1·m = 16 − 4m.

Adım 3: 16 − 4m = 0 → 4m = 16 → m = 4.

Adım 4: Kontrol: y = x² − 4x + 4 = (x − 2)², tepe noktası (2, 0). Doğru.

Sonuç: m = 4.

Örnek 6 (orta): Tepe noktası T(1, −4) olan ve (0, −3) noktasından geçen parabolün denklemini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Tepe noktası bilinen parabolü y = a(x − r)² + k biçiminde yazarız: y = a(x − 1)² − 4.

Adım 2: (0, −3) noktasını yerine koyarız: −3 = a(0 − 1)² − 4 → −3 = a − 4 → a = 1.

Adım 3: y = (x − 1)² − 4 = x² − 2x + 1 − 4 = x² − 2x − 3.

Adım 4: Kontrol: x = 0 için y = −3. Doğru. r = 2/2 = 1. Doğru.

Sonuç: y = x² − 2x − 3.

Örnek 7 (zor, günlük hayat): 40 metre telle dikdörtgen bir bahçenin çevresi çitle çevrilecek. Bahçenin alanı en fazla kaç m² olur?

Çözüm:

Adım 1: Çevre 40 m olduğundan iki kenarın toplamı 40 ÷ 2 = 20 m olur. Kenarlara x ve 20 − x diyelim.

Adım 2: Alan A = x(20 − x) = −x² + 20x.

Adım 3: a = −1 < 0 olduğu için kollar aşağı bakar ve tepe noktası en büyük alanı verir.

Adım 4: r = −20 / (2·(−1)) = 10.

Adım 5: A = −10² + 20·10 = −100 + 200 = 100.

Adım 6: Kenarlar 10 m ve 20 − 10 = 10 m olur. En büyük alanı kare verir.

Sonuç: En büyük alan 100 m²'dir.

Sık yapılan hatalar

• İşaret hatası: y = x² − 4x + 3 için r = −4/2 = −2 yazmak yanlıştır. Doğrusu: r = −b/(2a) = −(−4)/2 = 2. b'nin işaretini parantez içinde yaz.
• −x² ile (−x)² karışıklığı: y = −x² + 6x − 5 için x = 3 koyup −3² yerine (−3)² = 9 almak ve 9 + 18 − 5 = 22 bulmak yanlıştır. Doğrusu: −(3²) = −9, sonuç −9 + 18 − 5 = 4.
• Eksenleri karıştırmak: y eksenini kestiği noktayı bulmak için y = 0 yazmak yanlıştır. Doğrusu: y ekseni için x = 0, x ekseni için y = 0 yazılır.
• "Δ < 0 ise grafik yoktur" demek: Bu yanlıştır. Doğrusu: Parabol yine vardır, yalnızca x eksenini kesmez.
• En küçük ile en büyük değeri karıştırmak: y = −x² + 4x + 5'te tepe değeri 9'u "en küçük değer" sanmak yanlıştır. Doğrusu: a < 0 olduğu için 9 en büyük değerdir, en küçük değer yoktur.

Sınav taktiği: Grafik sorularında önce a'nın işaretine bak ve kolları yanlış yöne bakan şıkları ele. Sonra c'ye bakıp y eksenini yanlış yerde kesen şıkları ele. Kalan şıklarda tepe noktasını kontrol et. Tepe noktasının apsisinin iki kökün tam ortasında olması da hızlı bir kontroldür.

Alıştırma

1) y = x² − 8x + 7 parabolünün tepe noktası nedir?

2) y = −2x² + 4x + 1 parabolünün kolları hangi yöne bakar, tepe noktası nedir?

3) y = x² − 5x + 6 parabolü x eksenini hangi noktalarda keser?

4) y = 3x² − 2x + 7 parabolü y eksenini hangi noktada keser?

5) y = x² + 4x + 8 parabolü x eksenini kaç noktada keser?

6) y = x² − 10x + m parabolü x eksenine teğet ise m kaçtır?

7) y = x² − 2x − 8 parabolünün simetri ekseninin denklemi nedir?

8) f(x) = −x² + 4x + 5 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

9) Tepe noktası T(2, 1) olan ve (0, 5) noktasından geçen parabolün denklemi nedir?

10) Yukarı atılan bir topun t saniyedeki yüksekliği h = −5t² + 30t metredir. Top en fazla kaç metre yükselir ve kaçıncı saniyede yere düşer?

Cevap Anahtarı

• 1) T(4, −9). r = 8/2 = 4 ve k = 16 − 32 + 7 = −9.
• 2) Aşağı, T(1, 3). a = −2 < 0, r = −4/(−4) = 1 ve k = −2 + 4 + 1 = 3.
• 3) (2, 0) ve (3, 0). x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0.
• 4) (0, 7). x = 0 yazınca y = c = 7 olur.
• 5) Hiçbir noktada (0). Δ = 16 − 32 = −16 < 0.
• 6) m = 25. Δ = 100 − 4m = 0 olmalıdır.
• 7) x = 1. r = 2/2 = 1 (kökler −2 ile 4, ortaları da 1).
• 8) 9. r = −4/(−2) = 2 ve f(2) = −4 + 8 + 5 = 9.
• 9) y = x² − 4x + 5. y = a(x − 2)² + 1 yazılır, (0, 5) koyunca 4a + 1 = 5 ve a = 1 bulunur.
• 10) 45 m, 6. saniyede. t = 30/10 = 3 için h = −45 + 90 = 45; h = t(−5t + 30) = 0 denkleminden t = 6.

Dersin özeti

• y = ax² + bx + c grafiği paraboldür. a > 0 ise kollar yukarı, a < 0 ise aşağı bakar.
• Tepe noktası T(r, k) için r = −b/(2a) ve k = f(r) olur. Simetri ekseni x = r doğrusudur.
• y eksenini (0, c) noktasında keser. x eksenini kestiği noktalar ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleridir.
• Δ > 0 ise iki noktada keser, Δ = 0 ise teğettir, Δ < 0 ise kesmez.
• En büyük/en küçük değer problemlerinde cevap tepe noktasındadır.

Kursun kapanışı: Bu kursta polinomlarla başladık. Çarpanlara ayırmayı ve ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendik. Son olarak bu denklemlerin grafikteki karşılığı olan parabolü inceledik. Artık bir denklemin köklerini hem hesapla hem de grafikte görerek bulabilirsin. Bir sonraki adımda fonksiyonlar ve eşitsizlikler konusunda bu bilgilerin hepsini yeniden kullanacaksın.