Diskriminant ve Kök Formülü

Günlük hayattan giriş

Önceki derste ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak ve tam kareye tamamlayarak çözdük. Örneğin x² − 5x + 6 = 0 denkleminde toplamı −5, çarpımı 6 olan iki sayıyı (−2 ve −3) hemen bulabiliyorduk. Her denklem bu kadar uyumlu değildir. x² − 4x + 1 = 0 denkleminde çarpımı 1, toplamı −4 olan iki tam sayı yoktur. Bu durumda tahmin yürütmek yerine her denklemde işe yarayan bir yönteme ihtiyacımız var. Bu yöntem kök formülüdür.

Bir örnek düşünelim: Dikdörtgen biçiminde bir bahçe yapmak istiyorsun. Bahçenin uzunluğu genişliğinden 3 metre fazla ve alanı 40 m² olacak. Genişliğe x dersek alan x·(x + 3) = 40 olur. Buradan x² + 3x − 40 = 0 denklemi çıkar. Bahçenin boyutlarını bulmak için bu denklemi çözmemiz gerekir. Mühendislik, fizik ve ekonomi hesaplarında da benzer denklemler sık çıkar ve katsayılar çoğu zaman ondalıklı ya da “çirkin” sayılardır. Kök formülü bu durumda da işe yarar.

Bazen denklemi çözmeden önce şunu merak ederiz: Bu problemin bir çözümü var mı? Varsa kaç tane? Örneğin “alanı şu kadar, çevresi bu kadar olan bir dikdörtgen yapılabilir mi?” sorusunun cevabı her zaman evet değildir. Bu soruyu, kökleri hiç hesaplamadan tek bir sayıyla cevaplayabiliriz. Bu sayıya diskriminant denir ve Δ (delta) ile gösterilir.

Tanım ve kural

a ≠ 0 olmak üzere genel denklemimiz ax² + bx + c = 0 biçimindedir. Formülü ezberlemek yerine tam kareye tamamlama ile adım adım elde edelim.

1. adım: Her iki tarafı a’ya bölelim (a ≠ 0 olduğu için bölebiliriz): x² + (b/a)x + c/a = 0

2. adım: Sabit terimi sağa atalım: x² + (b/a)x = −c/a

3. adım: x’in katsayısının yarısının karesini, yani (b/2a)² = b²/4a² değerini iki tarafa da ekleyelim: x² + (b/a)x + b²/4a² = b²/4a² − c/a

4. adım: Sol taraf artık tam karedir. Sağ tarafı 4a² paydasında birleştirelim: (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²

5. adım: Sağdaki paydaki ifadeye isim verelim: Δ = b² − 4ac. Böylece (x + b/2a)² = Δ / 4a² olur.

6. adım: Bir sayının karesi Δ/4a² ise o sayı ya +√Δ/2a ya da −√Δ/2a olur: x + b/2a = ±√Δ / 2a

7. adım: b/2a’yı sağa atalım: x = (−b ± √Δ) / 2a

Bu formülün her denklemde çalışmasının nedeni budur: Hiçbir özel sayı tahmin etmedik, yalnızca tam kareye tamamladık.

Δ’nın işareti neden kök sayısını belirler? 5. adımdaki eşitliğe bakalım: (x + b/2a)² = Δ / 4a². Sol taraf bir sayının karesidir, bu yüzden hiçbir zaman negatif olamaz. Sağ taraftaki 4a² her zaman pozitiftir, dolayısıyla sağ tarafın işaretini Δ belirler.

• Δ > 0 ise sağ taraf pozitiftir. Karesi pozitif bir sayı olan iki farklı sayı vardır (biri +, biri −). Bu yüzden iki farklı reel kök bulunur.
• Δ = 0 ise (x + b/2a)² = 0 olur. Karesi 0 olan tek sayı 0’dır, yani x = −b/2a. İki kök aynı sayıya düşer: çakışık (eşit) iki reel kök.
• Δ < 0 ise bir karenin negatif sayıya eşit olması gerekir. Bu reel sayılarda imkânsızdır, yani reel kök yoktur.

Önemli ipucu: Formülü kullanmadan önce denklemi mutlaka ax² + bx + c = 0 biçimine getir ve a, b, c değerlerini işaretleriyle birlikte yaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

x² − 5x + 6 = 0 denklemini kök formülüyle çözünüz.

Çözüm:

a = 1, b = −5, c = 6

Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1

Δ > 0 olduğu için iki farklı reel kök vardır. √Δ = √1 = 1

x = (−b ± √Δ) / 2a = (5 ± 1) / 2

x₁ = (5 + 1)/2 = 3, x₂ = (5 − 1)/2 = 2

Ç = {2, 3}

Örnek 2 (kolay)

x² − 6x + 9 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm:

a = 1, b = −6, c = 9

Δ = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0

Δ = 0 olduğu için kökler çakışıktır: x = −b / 2a

x = 6 / 2 = 3

Kontrol: Denklem (x − 3)² = 0 biçimindedir, sonuç tutarlıdır.

Ç = {3} (çakışık iki kök)

Örnek 3 (orta)

x² + 2x + 5 = 0 denkleminin reel köklerini bulunuz.

Çözüm:

a = 1, b = 2, c = 5

Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16

Δ < 0 olduğu için √(−16) reel sayı değildir.

Neden: Denklem (x + 1)² + 4 = 0, yani (x + 1)² = −4 biçimine gelir. Bir kare −4 olamaz.

Reel kök yoktur, Ç = ∅

Örnek 4 (orta)

2x² − 3x − 2 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm:

a = 2, b = −3, c = −2

Δ = (−3)² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25

√Δ = 5

x = (3 ± 5) / (2·2) = (3 ± 5) / 4

x₁ = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2, x₂ = (3 − 5)/4 = −2/4 = −1/2

Kontrol: 2·2² − 3·2 − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 ✓

Ç = {−1/2, 2}

Örnek 5 (orta-zor)

x² − 4x + 1 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm:

a = 1, b = −4, c = 1

Δ = (−4)² − 4·1·1 = 16 − 4 = 12

√12 = √(4·3) = 2√3

x = (4 ± 2√3) / 2

Paydaki her terimi 2’ye bölelim: x = 2 ± √3

Kontrol: (2 + √3)² − 4(2 + √3) + 1 = (7 + 4√3) − (8 + 4√3) + 1 = 0 ✓

Ç = {2 − √3, 2 + √3}

Örnek 6 (girişteki bahçe problemi)

Uzunluğu genişliğinden 3 m fazla olan dikdörtgen bir bahçenin alanı 40 m²’dir. Bahçenin genişliği kaç metredir?

Çözüm:

Genişlik x olsun. x(x + 3) = 40, yani x² + 3x − 40 = 0

a = 1, b = 3, c = −40

Δ = 3² − 4·1·(−40) = 9 + 160 = 169, √169 = 13

x = (−3 ± 13) / 2 → x₁ = 10/2 = 5, x₂ = −16/2 = −8

Uzunluk negatif olamayacağı için x = −8 atılır.

Kontrol: 5 · 8 = 40 ✓

Genişlik 5 m, uzunluk 8 m

Örnek 7 (zor, parametreli)

x² − 6x + m = 0 denkleminin çakışık iki kökü olması için m kaç olmalıdır? Reel kökü olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır?

Çözüm:

a = 1, b = −6, c = m

Δ = (−6)² − 4·1·m = 36 − 4m

Çakışık kök için Δ = 0: 36 − 4m = 0 → 4m = 36 → m = 9

Reel kök olmaması için Δ < 0: 36 − 4m < 0 → 36 < 4m → m > 9

Çakışık kök için m = 9; reel kök olmaması için m > 9

Sık yapılan hatalar

• Negatif b’nin karesini yanlış almak. Yanlış: x² − 5x + 6 = 0 için b² = −25 yazmak. Doğrusu: (−5)² = 25. Negatif bir sayının karesi pozitiftir; b’yi parantez içinde yazarsan bu hatayı yapmazsın.
• c negatifken −4ac işaretini karıştırmak. Yanlış: 2x² − 3x − 2 = 0 için Δ = 9 − 16 = −7. Doğrusu: −4·2·(−2) = +16, yani Δ = 9 + 16 = 25.
• Yalnızca √Δ’yı 2a’ya bölmek. Yanlış: x = −b ± √Δ/2a. Doğrusu: x = (−b ± √Δ) / 2a. Payın tamamı 2a’ya bölünür.
• Denklemi genel biçime getirmeden katsayı okumak. Yanlış: x² = 3x − 2 için a = 1, b = 3, c = −2 demek. Doğrusu: önce x² − 3x + 2 = 0 yazılır; a = 1, b = −3, c = 2.
• Δ = 0 durumunu “kök yok” sanmak. Yanlış: Δ = 0 ise çözüm kümesi boştur. Doğrusu: Δ = 0 ise tek bir değer (x = −b/2a) iki kez kök olur; çözüm kümesi boş değildir.

Alıştırma

1) x² − 7x + 10 = 0 denkleminin diskriminantını ve köklerini bulunuz.

2) x² + 4x + 4 = 0 denklemini çözünüz.

3) x² − 2x + 3 = 0 denkleminin reel kökleri var mıdır?

4) 3x² − 5x + 2 = 0 denklemini çözünüz.

5) x² − 2x − 2 = 0 denklemini çözünüz.

6) 2x² + x − 6 = 0 denklemini çözünüz.

7) x² = 4x + 5 denklemini çözünüz.

8) x² + 8x + m = 0 denkleminin çakışık iki kökü varsa m kaçtır?

9) x² − 2x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

10) 5x² + 3x − 7 = 0 denkleminin kaç reel kökü vardır? (İpucu: a ile c’nin işaretlerine bak.)

Cevap Anahtarı

1) Δ = 9, Ç = {2, 5}. İpucu: Δ = 49 − 40 = 9 ve x = (7 ± 3)/2.

2) Ç = {−2} (çakışık kök). İpucu: Δ = 16 − 16 = 0 olduğundan x = −4/2 = −2.

3) Hayır, reel kök yoktur. İpucu: Δ = 4 − 12 = −8 < 0.

4) Ç = {2/3, 1}. İpucu: Δ = 25 − 24 = 1 ve x = (5 ± 1)/6.

5) Ç = {1 − √3, 1 + √3}. İpucu: Δ = 4 + 8 = 12, √12 = 2√3 ve x = (2 ± 2√3)/2.

6) Ç = {−2, 3/2}. İpucu: Δ = 1 + 48 = 49 ve x = (−1 ± 7)/4.

7) Ç = {−1, 5}. İpucu: Önce x² − 4x − 5 = 0 yaz; Δ = 16 + 20 = 36 ve x = (4 ± 6)/2.

8) m = 16. İpucu: Δ = 64 − 4m = 0 eşitliğinden m bulunur.

9) m < 1. İpucu: Δ = 4 − 4m > 0 eşitsizliği çözülür.

10) İki farklı reel kök. İpucu: a ile c ters işaretli olduğundan −4ac pozitiftir, bu yüzden Δ = 9 + 140 = 149 > 0.

Dersin özeti

• ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) denkleminin kökleri x = (−b ± √Δ) / 2a formülüyle bulunur. Bu formül tam kareye tamamlamanın sonucudur.
• Δ = b² − 4ac sayısı, kökleri hesaplamadan kaç reel kök olduğunu söyler.
• Δ > 0 ise iki farklı reel kök, Δ = 0 ise çakışık iki kök (x = −b/2a), Δ < 0 ise reel kök yoktur. Nedeni, (x + b/2a)² ifadesinin negatif olamamasıdır.
• Formülü uygulamadan önce denklemi genel biçime getir, a, b, c değerlerini işaretleriyle yaz ve bulduğun kökü denklemde yerine koyarak kontrol et.
• a ile c ters işaretliyse Δ her zaman pozitiftir. Sonraki derste köklerle katsayılar arasındaki bağıntıları inceleyeceğiz. İlerleyen derslerde ise Δ’nın işaretinin, parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini nasıl gösterdiğini göreceğiz.