Kökler ile Katsayılar Arasındaki Bağıntılar

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derste ikinci dereceden denklemleri çarpanlara ayırarak ve diskriminant (Δ = b² − 4ac) ile çözdük; köklerin formülünü de gördük: x = (−b ± √Δ) / (2a). Bu derste o formülü bir adım öteye taşıyacağız ve kökleri hiç bulmadan köklerin toplamını, çarpımını ve bunlardan kurulan başka ifadeleri hesaplayacağız. Sonraki derste parabolü çizerken burada öğrendiklerimiz, grafiğin x eksenini nerede kestiğini ve simetri eksenini yorumlamada işimize yarayacak.

Günlük hayattan giriş

Bir arkadaşın sana şöyle bir bilmece sorsun: “Aklımda iki sayı tuttum. Toplamları 10, çarpımları 21. Sayılar ne?” Biraz deneyince 3 ile 7 olduğunu bulursun. Burada dikkat et: Sayıları bilmeden önce onlar hakkında iki bilgin vardı, toplamları ve çarpımları. Bu iki bilgi, sayıları bulmaya yetti.

İkinci dereceden denklemlerde durum tam tersidir. Elimizde denklem vardır, kökler ise saklıdır. Kökleri bulmak bazen uğraştırıcıdır, özellikle kökler √3 gibi köklü sayılar içerdiğinde. Oysa pek çok soruda bizden kökün kendisi değil, “köklerin kareleri toplamı” veya “köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı” gibi bir ifade istenir. İşte bu durumda, denklemin katsayılarına bakarak toplam ve çarpımı doğrudan okuyabiliriz.

Tersini de düşünebiliriz: Bir mühendis ya da bir bilgisayar programı, belirli iki değerde sıfır olan bir ifade arıyor olabilir. Kökleri bildiğimizde denklemi kurmak, bu dersin ikinci önemli becerisidir. Kısacası bu ders, bilmecedeki “toplam ve çarpım” fikrinin denklem dilindeki karşılığıdır.

Tanım ve kural

a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olsun. O zaman:

x₁ + x₂ = −b/a ve x₁ · x₂ = c/a

Neden böyle? 1. yol: Kök formülüyle

Kökler x₁ = (−b + √Δ) / (2a) ve x₂ = (−b − √Δ) / (2a) biçimindedir.

Toplam: Paylar toplanır, √Δ ile −√Δ birbirini götürür.

x₁ + x₂ = (−b − b) / (2a) = −2b / (2a) = −b/a

Çarpım: Paylar çarpılır. (−b + √Δ)(−b − √Δ) iki kare farkıdır: b² − Δ.

b² − Δ = b² − (b² − 4ac) = 4ac

x₁ · x₂ = 4ac / (4a²) = c/a

Neden böyle? 2. yol: Çarpanlara ayrılmış biçimle

Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem a(x − x₁)(x − x₂) = 0 biçiminde yazılabilir. Parantezleri açalım:

a(x − x₁)(x − x₂) = ax² − a(x₁ + x₂)x + a·x₁x₂

Bu ifade ax² + bx + c ile aynı olmalı. x’in katsayılarını eşitlersek −a(x₁ + x₂) = b, yani x₁ + x₂ = −b/a olur. Sabit terimleri eşitlersek a·x₁x₂ = c, yani x₁x₂ = c/a olur.

Bu ikinci yol bize bir hediye daha verir: a = 1 alırsak, kökleri x₁ ve x₂ olan denklem x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 olur. Kısaca toplama s, çarpıma p dersek: x² − sx + p = 0.

Birçok ifade s ve p cinsinden yazılabilir. Örneğin (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² olduğundan x₁² + x₂² = s² − 2p olur. Aşağıdaki tablo en sık kullanılanları özetliyor (s = x₁ + x₂, p = x₁ · x₂):

Not: Soruda “reel kökler” söz konusuysa Δ ≥ 0 olduğunu kontrol etmeyi unutma; bağıntılar hesap olarak çalışsa bile denklemin reel kökü olmayabilir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

x² − 5x + 6 = 0 denkleminin köklerinin toplamını ve çarpımını bulunuz.

Çözüm:

a = 1, b = −5, c = 6.

x₁ + x₂ = −b/a = −(−5)/1 = 5

x₁ · x₂ = c/a = 6/1 = 6

Kontrol: Denklem (x − 2)(x − 3) = 0 olduğundan kökler 2 ve 3; toplam 5, çarpım 6.

Toplam 5, çarpım 6

Örnek 2

2x² + 7x − 4 = 0 denkleminin köklerinin toplamını ve çarpımını bulunuz.

Çözüm:

a = 2, b = 7, c = −4.

x₁ + x₂ = −7/2

x₁ · x₂ = −4/2 = −2

Kontrol: Δ = 49 + 32 = 81, kökler (−7 ± 9)/4, yani 1/2 ve −4. Toplam 1/2 − 4 = −7/2, çarpım (1/2)·(−4) = −2.

Toplam −7/2, çarpım −2

Örnek 3

x² − 6x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁² + x₂² ve 1/x₁ + 1/x₂ değerlerini bulunuz.

Çözüm:

s = x₁ + x₂ = 6, p = x₁ · x₂ = 2. (Δ = 36 − 8 = 28 > 0, kökler reel.)

x₁² + x₂² = s² − 2p = 36 − 4 = 32

1/x₁ + 1/x₂ = s/p = 6/2 = 3

x₁² + x₂² = 32, 1/x₁ + 1/x₂ = 3

Örnek 4

Kökleri 3 ve −5 olan, başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

Çözüm:

s = 3 + (−5) = −2

p = 3 · (−5) = −15

x² − sx + p = 0 → x² − (−2)x + (−15) = 0

Kontrol: (x − 3)(x + 5) = x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15.

x² + 2x − 15 = 0

Örnek 5

x² − 9x + m = 0 denkleminin köklerinden biri diğerinin 2 katıdır. m kaçtır?

Çözüm:

Kökler x₂ ve x₁ = 2x₂ olsun.

Toplam: 2x₂ + x₂ = 3x₂ = 9 → x₂ = 3, x₁ = 6

Çarpım: m = x₁ · x₂ = 6 · 3 = 18

Kontrol: x² − 9x + 18 = (x − 3)(x − 6), kökler 3 ve 6.

m = 18

Örnek 6

x² − 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri x₁ + 1 ve x₂ + 1 olan denklemi yazınız.

Çözüm:

Eski denklemde s = 4, p = 1.

Yeni toplam: (x₁ + 1) + (x₂ + 1) = s + 2 = 6

Yeni çarpım: (x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = p + s + 1 = 1 + 4 + 1 = 6

Yeni denklem: x² − 6x + 6 = 0

Kontrol: Eski kökler 2 ± √3, yeni kökler 3 ± √3. Toplam 6, çarpım 9 − 3 = 6.

x² − 6x + 6 = 0

Sık yapılan hatalar

• İşareti unutmak: x² − 5x + 6 = 0 için “toplam −5” demek yanlıştır. Doğrusu: toplam −b/a = −(−5) = 5.
• a’ya bölmeyi unutmak: 3x² − 6x + 1 = 0 için “toplam 6, çarpım 1” yanlıştır. Doğrusu: toplam 6/3 = 2, çarpım 1/3.
• Kareler toplamını s² sanmak: x₁² + x₂² = s² değildir. Doğrusu: s² − 2p, çünkü (x₁ + x₂)² içinde fazladan 2x₁x₂ vardır.
• Tersler toplamında hata: 1/x₁ + 1/x₂ = 1/(x₁ + x₂) yanlıştır. Doğrusu: payda eşitlenir, sonuç (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = s/p.
• Denklem kurarken işaret karışıklığı: Kökleri verilen denklemi x² + sx + p = 0 yazmak yanlıştır. Doğrusu: x² − sx + p = 0.

Alıştırma

1) x² − 7x + 10 = 0 denkleminin köklerinin toplamı ve çarpımı kaçtır?

2) 3x² + 12x − 5 = 0 denkleminin köklerinin toplamı ve çarpımı kaçtır?

3) x² − 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ise x₁² + x₂² kaçtır?

4) x² − 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ise 1/x₁ + 1/x₂ kaçtır?

5) Kökleri −2 ve 7 olan, başkatsayısı 1 olan denklemi yazınız.

6) x² − (m − 1)x + 6 = 0 denkleminin köklerinin toplamı 5 ise m kaçtır?

7) x² + 4x + m = 0 denkleminin köklerinden biri diğerinin 3 katıdır. m kaçtır?

8) x² − 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ise x₁²x₂ + x₁x₂² kaçtır?

9) x² − 3x − 2 = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ise kökleri 2x₁ ve 2x₂ olan denklemi yazınız.

10) 2x² − 8x + k = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ve x₁² + x₂² = 10 ise k kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) Toplam 7, çarpım 10: −b/a = 7 ve c/a = 10.
• 2) Toplam −4, çarpım −5/3: −12/3 = −4 ve −5/3.
• 3) 19: s = 5, p = 3 olduğundan 25 − 6 = 19.
• 4) 5/3: s/p = 5/3.
• 5) x² − 5x − 14 = 0: s = 5, p = −14 ile x² − sx + p = 0.
• 6) m = 6: toplam m − 1 = 5 olduğundan m = 6.
• 7) m = 3: 3x₂ + x₂ = −4 ile x₂ = −1, x₁ = −3, çarpım m = 3.
• 8) 24: ifade x₁x₂(x₁ + x₂) = p·s = 4 · 6 = 24.
• 9) x² − 6x − 8 = 0: yeni toplam 2s = 6, yeni çarpım 4p = −8.
• 10) k = 6: s = 4, p = k/2 olduğundan 16 − k = 10.

Dersin özeti

• ax² + bx + c = 0 denkleminde köklerin toplamı −b/a, çarpımı c/a’dır; bu, kök formülünden veya a(x − x₁)(x − x₂) açılımından gelir.
• Köklerle ilgili birçok ifade (x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂, (x₁ − x₂)² gibi) kökleri bulmadan s ve p ile hesaplanır.
• Kökleri bilinen denklem x² − sx + p = 0 biçiminde kurulur.
• Kökler arasında bir ilişki verilirse (biri diğerinin katı gibi) toplam bağıntısıyla kökler, çarpım bağıntısıyla bilinmeyen katsayı bulunur.
• Sonraki derste parabolü inceleyeceğiz; köklerin toplamının yarısı olan −b/(2a) değerinin parabolün simetri ekseni olduğunu orada göreceğiz.