KPSS Geometri: Analitik Geometri — Konu Testi ve Çözümlü Sorular

📝 Analitik Geometri testleri

Her test sabittir: aynı seviyeyi yeniden açtığında aynı sorular gelir, ilerlemeni kıyaslayabilirsin. 6 kolay, 8 orta, 4 zor soru.

📚 Analitik Geometri konu anlatımı

Temel bilgiler
Çözümlü örnek 1
Çözümlü örnek 2
Sık yapılan hatalar
Sınavda nasıl sorulur?

Analitik geometri, noktaları ve doğruları koordinat düzleminde sayılarla inceler. Şekle bakıp tahmin etmek yerine hesap yaparsınız. KPSS'de bu konudan az soru gelir, ama kurallar az ve net olduğu için öğrenen kişi bu puanı kolay alır.

Temel bilgiler

Nokta: A(x, y) yazılır; x apsis, y ordinattır. Örnek: A(3, −2) noktasında apsis 3, ordinat −2'dir ve nokta dördüncü bölgededir.
İki nokta arası uzaklık: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Örnek: A(1, 2) ve B(4, 6) için √(3² + 4²) = √25 = 5.
Orta nokta: Koordinatların ortalaması alınır: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Örnek: A(1, 2) ve B(5, 8) için orta nokta (3, 5).
Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Örnek: A(1, 2) ve B(3, 8) için m = 6/2 = 3.
Doğru denklemi: y = mx + n biçiminde m eğimdir, doğru y eksenini (0, n) noktasında keser. Örnek: y = 2x + 3 doğrusunun eğimi 2'dir, y eksenini (0, 3) noktasında keser.
Genel denklemde eğim: ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi −a/b'dir. Örnek: 2x + 3y − 6 = 0 için eğim −2/3.
Paralel ve dik doğrular: Paralel doğruların eğimleri eşittir. Dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir. Örnek: y = 2x + 1 ile y = −x/2 + 4 diktir, çünkü 2 × (−1/2) = −1.
Eksenleri kesen noktalar: x yerine 0 yazınca y eksenini, y yerine 0 yazınca x eksenini kestiği nokta bulunur. Örnek: x + y = 5 doğrusu eksenleri (5, 0) ve (0, 5) noktalarında keser.
Noktanın doğruya uzaklığı: (x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Örnek: (0, 0) noktasının 3x + 4y − 10 = 0 doğrusuna uzaklığı 10/5 = 2.

Çözümlü örnek 1

Soru: Koordinat düzleminde A(−2, 1) ve B(8, 7) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta noktası C olduğuna göre, C noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm:

Önce orta noktayı bulalım. Apsis: (−2 + 8)/2 = 3. Ordinat: (1 + 7)/2 = 4. Yani C(3, 4).
Orijin O(0, 0) noktasıdır. Uzaklık: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Cevap 5 birimdir.

Denetim: C'den A'ya gitmek için 5 sola 3 aşağı, C'den B'ye gitmek için 5 sağa 3 yukarı gidilir; adımlar eşit olduğundan C gerçekten orta noktadır ve 3-4-5 üçgeni sonucu doğrular.

Çözümlü örnek 2

Soru: 3x + 2y − 12 = 0 doğrusunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm:

x = 0 yazalım: 2y = 12, y = 6. Doğru y eksenini (0, 6) noktasında keser.
y = 0 yazalım: 3x = 12, x = 4. Doğru x eksenini (4, 0) noktasında keser.
Eksenler birbirine dik olduğundan üçgen dik üçgendir. Dik kenarlar 4 ve 6 birimdir.
Alan = (4 × 6)/2 = 12.
Cevap 12 birimkaredir.

Denetim: (4, 0) için 12 + 0 − 12 = 0 ve (0, 6) için 0 + 12 − 12 = 0 çıkar; iki nokta da doğrunun üzerindedir, alan doğrudur.

Sık yapılan hatalar

Eğimde x farkını üste yazmak. Doğrusu: y farkı üstte, x farkı alttadır.
Farkları alırken sırayı karıştırmak. Doğrusu: üstte hangi noktadan başladıysanız altta da o noktadan başlarsınız.
Negatif sayının karesini negatif almak. Doğrusu: (−5)² = 25'tir, uzaklık hiçbir zaman negatif çıkmaz.
ax + by + c = 0 doğrusunda eğimi a/b almak. Doğrusu: −a/b'dir; emin değilseniz y'yi yalnız bırakın.
Dik doğruda yalnız işareti değiştirmek. Doğrusu: eğim hem ters çevrilir hem işaret değiştirir; 2'ye dik eğim −1/2'dir.

Sınavda nasıl sorulur?

En sık görülen tipler: iki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim, doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı ve köşeleri verilen şeklin alanı ya da çevresi.
Sorular çoğu zaman tek kuralla çözülür; bazen iki kural art arda kullanılır (önce orta nokta, sonra uzaklık gibi).
Şekil verilmemişse kaba bir koordinat düzlemi çizin. Noktaları yerine koymak işaret hatasını azaltır.
3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 gibi dik üçgenleri tanırsanız karekök hesabı kısalır.
Sınavda soru başına ortalama bir dakika kadar süre düşer. Bu konudaki soruyu bir dakikada bitirmeyi hedefleyin; takılırsanız işaretleyip geçin, sonra dönün.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.

🔎 Çözümlü örnek sorular

1. Analitik düzlemde A(4, 1) noktasının x + 2y − 1 = 0 doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?

A) (3, −1)

B) (2, −3)

C) (6, 5)

D) (−2, 3)

E) (3, 1)

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: B

🧭 Bu soru neyi ölçüyor? Bir noktanın bir doğruya göre simetriği bulunurken iki şart kullanılır: nokta ile simetriğini birleştiren doğru, verilen doğruya diktir ve bu iki noktanın orta noktası verilen doğrunun üzerindedir. Önce noktadan doğruya inen dikmenin ayağı bulunur. Simetrik nokta, bu ayağın öbür tarafında aynı uzaklıktadır. Dikme ayağını simetrik nokta sanmak sık yapılan bir hatadır.

💡 Çözüm 1) Doğrunun eğimi −1/2'dir. A'dan geçen dik doğrunun eğimi 2 olur: y − 1 = 2(x − 4) → y = 2x − 7. 2) Dikme ayağı H: x + 2(2x − 7) − 1 = 0 → 5x − 15 = 0 → x = 3, y = −1. H(3, −1). 3) H, A ile simetriği A' arasındaki orta noktadır: A' = 2H − A = (6 − 4, −2 − 1) = (2, −3). 4) Kontrol: A ile A'nın orta noktası (3, −1) doğru üzerindedir: 3 − 2 − 1 = 0. Cevap: (2, −3).

2. m bir gerçek sayı olmak üzere (m + 2)x + (m − 1)y − 3m = 0 denklemiyle verilen doğruların tamamı, m'nin her değeri için aynı bir noktadan geçmektedir. Bu sabit noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?

A) √2

B) 3

C) √5

D) √13

E) 5

Cevabı ve çözümü göster

Doğru cevap: C

🧭 Bu soru neyi ölçüyor? Parametre içeren bir doğru denkleminde terimler, parametreli olanlar ve olmayanlar diye iki gruba ayrılır: m·(…) + (…) = 0. Denklemin m'nin her değeri için sağlanması, iki parantezin de sıfır olmasıyla mümkündür. Bu iki denklemin ortak çözümü, bütün doğruların geçtiği sabit noktayı verir. İki nokta arasındaki uzaklık ise √(Δx² + Δy²) ile hesaplanır.

💡 Çözüm 1) Denklemi düzenleyelim: mx + 2x + my − y − 3m = 0 → m(x + y − 3) + (2x − y) = 0. 2) Her m için sağlanması için: x + y − 3 = 0 ve 2x − y = 0. 3) İkinciden y = 2x. Birinciye yazalım: 3x = 3 → x = 1, y = 2. Sabit nokta (1, 2). 4) Kontrol: m = 1 için 3x − 3 = 0, yani x = 1. m = −2 için −3y + 6 = 0, yani y = 2. İkisi de (1, 2)'den geçiyor. 5) Orijine uzaklık: √(1² + 2²) = √5.

KPSS Geometri konuları

← Çember, Daire ve Katı Cisimler

Açılar ve Üçgenler Dörtgenler ve Çokgenler Çember, Daire ve Katı Cisimler Analitik Geometri

📏 KPSS Geometri — Analitik Geometri