📏 KPSS Geometri — Açılar ve Üçgenler

📚 Açılar ve Üçgenler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Açılar ve üçgenler, geometrinin temelidir: çokgen, çember ve alan sorularının çoğu sonunda bir üçgene iner. KPSS'de geometri soruları az sayıdadır, ama kuralı bilen için kısa sürede çözülür. Bu yüzden birkaç sağlam kuralı ezbere değil, şekil üzerinde görerek öğrenmek yeter.

Temel bilgiler

• Tümler ve bütünler açı: Toplamı 90° olan iki açı tümler, 180° olan iki açı bütünlerdir. Örnek: 35°'nin tümleri 55°, bütünleri 145°'dir.
• Ters açılar: Kesişen iki doğruda karşılıklı açılar eşittir. Örnek: Biri 70° ise karşısındaki de 70°'dir.
• Paralel doğrular: Yöndeş açılar eşittir, iç ters açılar eşittir. Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir. Örnek: Karşı durumlu açılardan biri 110° ise diğeri 70°'dir.
• İç açılar toplamı: Üçgende iç açıların toplamı 180°'dir. Örnek: İki açı 50° ve 60° ise üçüncüsü 70°'dir.
• Dış açı: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Dış açıların toplamı 360°'dir. Örnek: İç açılar 50° ve 60° ise üçüncü köşedeki dış açı 110°'dir.
• İkizkenar üçgen: Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. Örnek: Tepe açısı 40° ise taban açıları 70°'şer derecedir.
• Eşkenar üçgen: Üç kenar eşittir, her açı 60°'dir.
• Açı-kenar ilişkisi: Büyük açının karşısında uzun kenar bulunur. Örnek: Açılar 80°, 60°, 40° ise en uzun kenar 80°'nin karşısındadır.
• Üçgen eşitsizliği: Bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür. Örnek: Kenarlar 5 ve 8 ise üçüncü kenar 3'ten büyük, 13'ten küçüktür.
• Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Örnek: 3² + 4² = 5². Sık çıkan üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ve bunların katları.
• Alan: Taban × yükseklik ÷ 2. Örnek: Taban 10 cm, yükseklik 6 cm ise alan 30 cm²'dir.

Çözümlü örnek 1

Soru: ABC üçgeninde |AB| = |AC|'dir. A açısının ölçüsü, B açısının ölçüsünün 2 katından 20° fazladır. C köşesindeki dış açı kaç derecedir?

Çözüm: |AB| = |AC| olduğundan bu kenarların karşısındaki açılar eşittir, yani B = C. B açısına x diyelim. O zaman C = x ve A = 2x + 20 olur.

İç açılar toplamı: x + x + 2x + 20 = 180. Buradan 4x = 160 ve x = 40 bulunur.

C açısı 40°'dir. Dış açı, iç açının bütünleridir: 180 − 40 = 140°.

Denetim: Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır; A + B = 100 + 40 = 140° çıkar, sonuç tutar.

Çözümlü örnek 2

Soru: Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?

Çözüm: Önce hipotenüsü bulalım. 9 ve 12, 3-4-5 üçlüsünün 3 katıdır. Hipotenüs 5 × 3 = 15 cm'dir.

Alanı dik kenarlardan hesaplayalım: 9 × 12 ÷ 2 = 54 cm².

Aynı alanı hipotenüs ve ona ait yükseklikle yazalım: 15 × h ÷ 2 = 54. Buradan 15 × h = 108 ve h = 108/15 = 7,2 cm bulunur.

Denetim: 15 × 7,2 ÷ 2 = 54 cm² eder ve yükseklik iki dik kenardan da kısadır, sonuç tutarlıdır.

Sık yapılan hatalar

• Dış açıyı yanındaki iç açıyla toplamak. Doğrusu: dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.
• İkizkenar üçgende eşit açıları yanlış köşeye yazmak. Doğrusu: eşit açılar, eşit kenarların karşısında durur.
• Üçgen eşitsizliğinde sınırları dahil etmek. Doğrusu: kenarlar 5 ve 8 ise üçüncü kenar 3 ya da 13 olamaz; tam sayı değerler 4'ten 12'ye kadardır.
• Pisagor'da hipotenüsü dik kenar gibi kullanmak. Doğrusu: hipotenüs 90°'nin karşısındaki en uzun kenardır ve eşitliğin tek başına duran tarafına yazılır.
• Alan hesabında ikiye bölmeyi unutmak ya da yüksekliği yanlış kenarla eşleştirmek. Doğrusu: yükseklik, hangi kenara dik iniyorsa o kenarla çarpılır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Çoğu soru şekillidir. Paralel doğrular arasında kırık çizgiyle açı bulma, ikizkenar ve eşkenar üçgenlerin iç içe verildiği açı soruları ve dik üçgende uzunluk ya da alan soruları sık görülür.
• Verilen her bilgiyi şeklin üzerine yaz. Eşit kenarları işaretle, bulduğun açıyı hemen yerine koy.
• Paralel doğru sorularında kırılma noktasından üçüncü bir paralel çizmek işi kolaylaştırır.
• Şekil ölçekli çizilmemiş olabilir. Göze güvenme, kurala güven.
• Sınavda 120 soru için 130 dakika verilir. Bir geometri sorusuna 1-1,5 dakika ayır. Yol göremediysen işaretle, sonra dön.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.